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Numerische Differentiation In der Numerischen Mathematik bezeichnet man mit numerischer Differentiation die näherungswei

Numerische Differentiation

In der Numerischen Mathematik bezeichnet man mit numerischer Differentiation die näherungsweise Berechnung der Ableitung aus gegebenen Funktionswerten, meist mittels eines Differenzenquotienten. Dies ist nötig, falls die Ableitungsfunktion nicht gegeben ist oder die Funktion selbst nur indirekt, beispielsweise über Messwerte, zur Verfügung steht. Im Gegensatz dazu wird beim automatischen Differenzieren der Code, der die betrachtete Funktion definiert, um eine Ableitungsfunktion erweitert.

Alternativ kann man auch differenzierbare Approximationen von Funktionen wie zum Beispiel kubische Smoothing Splines verwenden. Ist man nicht am gesamten Funktionsverlauf, sondern nur an einzelnen Stellen interessiert, so existieren spezielle Formeln.

Differenzenquotient Bearbeiten

Fehlerverhalten der numerischen Differentiation, für kleine h ist der Fehler aufgrund von Auslöschung groß, während der Fehler bei größeren h (wo die Maschinengenauigkeit ausreicht) linear wächst.

Ein naheliegender Ansatz ist die Verwendung des Vorwärtsdifferenzenquotienten:

beschreibt, dass der Fehler linear mit der Schrittweite anwächst. Für weitere Details der -Notation siehe Landau-Symbole. Ist der Abstand (h) der Funktionswerte gering, so wäre bei beliebig genauer Rechnung die Näherung zunächst besser. Allerdings tritt bei der Berechnung mittels Gleitkommazahlen Auslöschung auf, weswegen das gewählte h von der Maschinengenauigkeit abhängige Schranken nicht unterschreiten darf.

Eine bessere Näherung als den Vorwärtsdifferenzenquotient erhält man durch Verwendung des zentralen Differenzenquotienten:

Für den zentralen Differenzenquotienten ist die optimale Schrittweite in der Größenordnung der dritten Wurzel der Maschinengenauigkeit.

Unter Benutzung von Taylorreihenentwicklungen höherer Ordnung lassen sich Finite-Differenzenquotienten mit kleinerem Fehlerterm herleiten, wenn :

Numerische Differentiation unter Verwendung komplexer Variable Bearbeiten

Ein Problem bei der Anwendung eines klassischen Differenzenquotienten ist die Wahl einer optimalen Schrittweite . Ein zu großes führt zu Rundungsfehlern, während ein zu kleines zu Auslöschung führt. Die numerische Auslöschung infolge der Subtraktion kann durch die komplexwertige Approximation

verhindert werden.

Herleitung Bearbeiten

Wir betrachten die Taylorreihe von am Entwicklungspunkt

Abbruch nach dem linearen Glied und Umstellung nach liefert den oben genannten Vorwärtsdifferenzenquotienten. Wir ersetzen nun die reelle Schrittweite durch die imaginäre Schrittweite und erhalten

Betrachten wir nun nur den Imaginäranteil dieser Taylorreihe, so erhalten wir

was bei Abbruch nach dem linearen Glied auf die oben angegebene Näherung der Ableitung mit dem Fehler führt.

Numerische Differentiation verrauschter Daten Bearbeiten

In praktischer Anwendung sind die Funktionswerte oft verrauscht. Das einfache Anwenden finiter Differenzenmethoden auf verrauschte Daten führt dazu, dass die erhaltene numerische Ableitung starke Ausreißer hat. Es gibt für verrauschte Daten spezielle Methoden um die Ableitung dennoch zuverlässig zu berechnen, beispielsweise kann die Datenreihe zunächst geglättet werden oder eine approximierende Funktion durch Ausgleichungsrechnung gefunden werden und anschließend die numerische Differentiation durchgeführt werden. Bei der Kantendetektion werden beispielsweise Sobel-Operatoren verwendet, die gleichzeitig eine Glättung durchführen. Eine weitere Möglichkeit bietet die Verwendung von geglätteten Splines (auch Ausgleichssplines).

Literatur Bearbeiten

  • Hans Rudolf Schwarz: Numerische Mathematik. 4., überarbeitete und erweiterte Auflage. B. G. Teubner, Stuttgart 1997, ISBN 3-519-32960-3.
  • Martin Hanke-Bourgeois: Grundlagen der numerischen Mathematik und des wissenschaftlichen Rechnens. B. G. Teubner, Stuttgart u. a. 2002, ISBN 3-519-00356-2.
  • Martin Hermann: Numerische Mathematik, Band 2: Analytische Probleme. 4., überarbeitete und erweiterte Auflage. Walter de Gruyter Verlag, Berlin und Boston 2020. ISBN 978-3-11-065765-4.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Tim Sauer: Numerical analysis. Third edition Auflage. [Hoboken, New Jersey] 2018, ISBN 978-0-13-469645-4, S. 248.
  2. W. Squire, G. Trapp (1998) Using Complex Variables to Estimate Derivatives of Real Function, SIAM Rev., 40(1):110-112. doi:10.1137/S003614459631241X
  3. Karsten Ahnert, Markus Abel: Numerical differentiation of experimental data: local versus global methods. In: Computer Physics Communications. Band 177, Nr. 10, November 2007, ISSN 0010-4655, S. 764–774, doi:10.1016/j.cpc.2007.03.009.
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In der Numerischen Mathematik bezeichnet man mit numerischer Differentiation die naherungsweise Berechnung der Ableitung aus gegebenen Funktionswerten meist mittels eines Differenzenquotienten Dies ist notig falls die Ableitungsfunktion nicht gegeben ist oder die Funktion selbst nur indirekt beispielsweise uber Messwerte zur Verfugung steht Im Gegensatz dazu wird beim automatischen Differenzieren der Code der die betrachtete Funktion definiert um eine Ableitungsfunktion erweitert Alternativ kann man auch differenzierbare Approximationen von Funktionen wie zum Beispiel kubische Smoothing Splines verwenden Ist man nicht am gesamten Funktionsverlauf sondern nur an einzelnen Stellen interessiert so existieren spezielle Formeln Inhaltsverzeichnis 1 Differenzenquotient 2 Numerische Differentiation unter Verwendung komplexer Variable 2 1 Herleitung 3 Numerische Differentiation verrauschter Daten 4 Literatur 5 EinzelnachweiseDifferenzenquotient Bearbeiten Hauptartikel Differenzenquotient nbsp Fehlerverhalten der numerischen Differentiation fur kleine h ist der Fehler aufgrund von Ausloschung gross wahrend der Fehler bei grosseren h wo die Maschinengenauigkeit ausreicht linear wachst Ein naheliegender Ansatz ist die Verwendung des Vorwartsdifferenzenquotienten f x f x h f x h O h displaystyle f x frac f x h f x h mathcal O h nbsp O h displaystyle mathcal O h nbsp beschreibt dass der Fehler linear mit der Schrittweite h displaystyle h nbsp anwachst Fur weitere Details der O displaystyle mathcal O nbsp Notation siehe Landau Symbole Ist der Abstand h der Funktionswerte gering so ware bei beliebig genauer Rechnung die Naherung zunachst besser Allerdings tritt bei der Berechnung mittels Gleitkommazahlen Ausloschung auf weswegen das gewahlte h von der Maschinengenauigkeit abhangige Schranken nicht unterschreiten darf Eine bessere Naherung als den Vorwartsdifferenzenquotient erhalt man durch Verwendung des zentralen Differenzenquotienten f x f x h f x h 2 h O h 2 displaystyle f x frac f x h f x h 2h mathcal O h 2 nbsp Fur den zentralen Differenzenquotienten ist die optimale Schrittweite h displaystyle h nbsp in der Grossenordnung der dritten Wurzel der Maschinengenauigkeit 1 Unter Benutzung von Taylorreihenentwicklungen hoherer Ordnung lassen sich Finite Differenzenquotienten mit kleinerem Fehlerterm herleiten wenn h lt 1 displaystyle h lt 1 nbsp f x 1 12 h f x 2 h 8 f x h 8 f x h f x 2 h O h 4 displaystyle f x frac 1 12h left f x 2h 8f x h 8f x h f x 2h right mathcal O h 4 nbsp Numerische Differentiation unter Verwendung komplexer Variable BearbeitenEin Problem bei der Anwendung eines klassischen Differenzenquotienten ist die Wahl einer optimalen Schrittweite h displaystyle h nbsp Ein zu grosses h displaystyle h nbsp fuhrt zu Rundungsfehlern wahrend ein zu kleines h displaystyle h nbsp zu Ausloschung fuhrt Die numerische Ausloschung infolge der Subtraktion kann durch die komplexwertige Approximation f x ℑ f x i h h O h 2 displaystyle f x frac Im f x mathrm i h h mathcal O h 2 nbsp verhindert werden 2 Herleitung Bearbeiten Wir betrachten die Taylorreihe von f x h displaystyle f x h nbsp am Entwicklungspunkt x displaystyle x nbsp f x h f x h f x h 2 f x 2 h 3 f x 6 displaystyle f x h f x hf x frac h 2 f x 2 frac h 3 f x 6 dots nbsp Abbruch nach dem linearen Glied und Umstellung nach f x displaystyle f x nbsp liefert den oben genannten Vorwartsdifferenzenquotienten Wir ersetzen nun die reelle Schrittweite h displaystyle h nbsp durch die imaginare Schrittweite i h displaystyle mathrm i h nbsp und erhalten f x i h f x i h f x h 2 f x 2 i h 3 f x 6 displaystyle f x mathrm i h f x mathrm i hf x frac h 2 f x 2 frac mathrm i h 3 f x 6 dots nbsp Betrachten wir nun nur den Imaginaranteil dieser Taylorreihe so erhalten wir ℑ f x i h h f x h 3 f x 6 displaystyle Im f x mathrm i h hf x frac h 3 f x 6 dots nbsp was bei Abbruch nach dem linearen Glied auf die oben angegebene Naherung der Ableitung mit dem Fehler O h 2 displaystyle mathcal O h 2 nbsp fuhrt Numerische Differentiation verrauschter Daten BearbeitenIn praktischer Anwendung sind die Funktionswerte oft verrauscht Das einfache Anwenden finiter Differenzenmethoden auf verrauschte Daten fuhrt dazu dass die erhaltene numerische Ableitung starke Ausreisser hat Es gibt fur verrauschte Daten spezielle Methoden um die Ableitung dennoch zuverlassig zu berechnen beispielsweise kann die Datenreihe zunachst geglattet werden oder eine approximierende Funktion durch Ausgleichungsrechnung gefunden werden und anschliessend die numerische Differentiation durchgefuhrt werden 3 Bei der Kantendetektion werden beispielsweise Sobel Operatoren verwendet die gleichzeitig eine Glattung durchfuhren Eine weitere Moglichkeit bietet die Verwendung von geglatteten Splines auch Ausgleichssplines Literatur BearbeitenHans Rudolf Schwarz Numerische Mathematik 4 uberarbeitete und erweiterte Auflage B G Teubner Stuttgart 1997 ISBN 3 519 32960 3 Martin Hanke Bourgeois Grundlagen der numerischen Mathematik und des wissenschaftlichen Rechnens B G Teubner Stuttgart u a 2002 ISBN 3 519 00356 2 Martin Hermann Numerische Mathematik Band 2 Analytische Probleme 4 uberarbeitete und erweiterte Auflage Walter de Gruyter Verlag Berlin und Boston 2020 ISBN 978 3 11 065765 4 Einzelnachweise Bearbeiten Tim Sauer Numerical analysis Third edition Auflage Hoboken New Jersey 2018 ISBN 978 0 13 469645 4 S 248 W Squire G Trapp 1998 Using Complex Variables to Estimate Derivatives of Real Function SIAM Rev 40 1 110 112 doi 10 1137 S003614459631241X Karsten Ahnert Markus Abel Numerical differentiation of experimental data local versus global methods In Computer Physics Communications Band 177 Nr 10 November 2007 ISSN 0010 4655 S 764 774 doi 10 1016 j cpc 2007 03 009 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Numerische Differentiation amp oldid 214046384