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Einschnürungssatz Der Einschließungssatz Dreifolgensatz oder Sandwichsatz u a Schachtelungssatz Quetschlemma resp Satz v

Einschnürungssatz

Der Einschnürungssatz, Einschließungssatz, Dreifolgensatz oder Sandwichsatz (u. a.: Schachtelungssatz, Quetschlemma resp. Satz von den zwei Polizisten, Sandwichlemma; englisch sandwich theorem) ist in der Analysis ein Satz über den Grenzwert einer Funktion. Gemäß dem Einschnürungssatz strebt eine Funktion, die von oben und unten durch zwei gegen denselben Wert strebende Funktionen „eingezwängt“ wird, auch gegen diesen Wert.

Sandwichsatz: Wenn eine Folge zwischen zwei konvergierenden Folgen mit demselben Grenzwert liegt, dann muss sie auch gegen diesen Grenzwert konvergieren.

Der Einschnürungssatz wird typischerweise dazu verwendet, einen Grenzwert einer Funktion nachzuweisen, indem man die Funktion mit zwei anderen vergleicht, deren Grenzwerte bekannt oder einfach zu bestimmen sind. Er wurde geometrisch schon von den Mathematikern Archimedes und Eudoxos verwendet, um die Kreiszahl π zu berechnen. Die moderne Formulierung des Satzes stammt ursprünglich von Carl Friedrich Gauß.

Der Satz gilt insbesondere auch für Grenzwerte von Folgen: eine Funktion, die von oben und unten durch zwei gegen denselben Wert strebende Folgen beschränkt wird, konvergiert ebenfalls gegen diesen Wert.

Einschließungsregel für Folgen Bearbeiten

Seien und zwei reelle Folgen mit , und für fast alle (alle bis auf endlich viele) . Ist eine weitere Folge mit für fast alle , so konvergiert , und zwar ebenfalls gegen .

Beispiel Bearbeiten

Sei

eine Folge. Da für ist der Nenner immer größer als . Daher gilt

Da sowohl als auch gegen konvergieren, folgt aus der Einschließungsregel, dass ebenfalls gegen konvergiert.

Einschnürungssatz für Funktionen Bearbeiten

Es sei ein Intervall, das einen Wert enthält. Es seien , und auf definierte Funktionen. Wenn für jedes aus gilt

sowie

dann ist .

muss nicht inmitten von liegen. Ist Randpunkt von , so handelt es sich bei obigen Grenzwerten um links- bzw. rechtsseitige. Ähnliches gilt auch für unendliche Intervalle: Ist beispielsweise , so gilt der Satz auch für die Grenzwertuntersuchung .

Zum Beweis folgt aus den Annahmen direkt

so dass die Ungleichungen tatsächlich Gleichungen sind und daher auch gegen strebt.

Beispiele und Anwendungen Bearbeiten

Die folgenden Beispiele zeigen, wie der Satz praktisch angewendet wird.

Beispiel 1 Bearbeiten

f (blau) mit Schrankenfunktionen g (rot) und h (grün)

Man betrachte , das auf ganz außer für definiert ist. Den Grenzwert für auf konventionelle Art zu berechnen fällt schwer: Eine direkte Substitution schlägt fehl, weil die Funktion bei nicht definiert ist (geschweige denn stetig), und die Regel von de L’Hospital kann auch nicht angewendet werden, da überall oszilliert und keinen Grenzwert hat. Mit passenden oberen und unteren Schrankenfunktionen lässt sich jedoch der Einschnürungssatz anwenden.

Da die Sinusfunktion betragsmäßig durch 1 begrenzt ist, ist betragsmäßig eine passende Schranke für . In anderen Worten gilt mit und :

und sind Polynomfunktionen und deshalb stetig, daher gilt

Aus dem Einschnürungssatz folgt nun

Beispiel 2 Bearbeiten

Das obige Beispiel ist eine spezielle Anwendung eines häufig auftretenden allgemeinen Falles. Angenommen, wir wollen zeigen, dass gilt:

Es ist dann ausreichend, eine Funktion zu finden, die auf einem enthaltenden Intervall definiert ist (außer möglicherweise bei ), für die gilt

und außerdem für alle aus gilt

In Worten gesprochen heißt das, dass der Fehler zwischen und beliebig klein gemacht werden kann, wählt man nahe genug an . Diese Bedingungen sind ausreichend, da die Betragsfunktion überall nicht negativ ist, so dass wir

wählen können und den Einschnürungssatz anwenden können. Da nun

gilt auch und damit

Beispiel 3 Bearbeiten

Durch elementargeometrische Überlegungen am Einheitskreis (siehe Zeichnung rechts) lässt sich zeigen, dass

Wegen

folgt mit dem Einschnürungssatz

Dieser Grenzwert ist bei der Bestimmung der Ableitungsfunktion des Sinus behilflich.

Beweis Bearbeiten

Die Hauptidee dieses Beweises ist es, die relativen Unterschiede der Funktionen , und zu betrachten. Dies hat den Effekt, dass die untere Schrankenfunktion konstant null ist, was den Beweis im Detail deutlich einfacher macht. Der allgemeine Fall wird dann auf algebraischem Wege bewiesen. Im Spezialfall und gilt

Sei ein fester Wert. Gemäß der Definition des Grenzwerts einer Funktion existiert nun ein , sodass

Für alle aus gilt gemäß Annahme

also gilt

Daraus schließt man, dass

Damit ist bewiesen, dass

Für beliebige und gilt nun für jedes aus

Nun subtrahiert man von jedem Ausdruck:

Da für sowohl als auch gegen streben gilt

Mit dem oben bewiesenen Spezialfall folgt

und daraus dann

Verallgemeinerungen Bearbeiten

Eine maßtheoretische Verallgemeinerung ist der Satz von Pratt, bei dem durch die Einschnürung mittels lokal nach Maß konvergenten Funktionenfolgen auf die Vertauschbarkeit von Grenzwertbildung und Integration der eingeschnürten Funktionenfolge sowie auf die Integrierbarkeit der Grenzfunktion geschlossen werden kann.

Literatur Bearbeiten

  • Wolfgang Walter: Analysis 1. Springer, 5-te Auflage, 2013, ISBN 9783662056981, S. 63, 119

Weblinks Bearbeiten

Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Sandwichsatz, Einschnürungssatz, Einschließungssatz – Lern- und Lehrmaterialien
  • C. Sean Bohun: The Squeeze Theorem. 9. Februar 2013, abgerufen am 6. April 2013 (englisch, PDF).
  • Joseph M. Ling: (PDF; 96 kB) 2. Oktober 2001, archiviert vom Original am 20. September 2008; abgerufen am 9. Februar 2013 (englisch).

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Mathematische Leitfäden. 17. Auflage. Teil 1. Vieweg+Teubner (Springer), Wiesbaden 2009, ISBN 978-3-8348-0777-9, S. 152 (Auszug).
  2. Selim G. Krejn, V.N. Uschakowa: Vorstufe zur höheren Mathematik. Springer, 2013, ISBN 9783322986283, S. 80-81. Siehe auch Salman Khan : Proof: limit of (sin x)/x at x=0 (Video, Khan Academy (englisch))
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Veröffentlichungsdatum:
Der Einschnurungssatz Einschliessungssatz Dreifolgensatz oder Sandwichsatz u a Schachtelungssatz Quetschlemma resp Satz von den zwei Polizisten Sandwichlemma englisch sandwich theorem ist in der Analysis ein Satz uber den Grenzwert einer Funktion Gemass dem Einschnurungssatz strebt eine Funktion die von oben und unten durch zwei gegen denselben Wert strebende Funktionen eingezwangt wird auch gegen diesen Wert Sandwichsatz Wenn eine Folge zwischen zwei konvergierenden Folgen mit demselben Grenzwert liegt dann muss sie auch gegen diesen Grenzwert konvergieren Der Einschnurungssatz wird typischerweise dazu verwendet einen Grenzwert einer Funktion nachzuweisen indem man die Funktion mit zwei anderen vergleicht deren Grenzwerte bekannt oder einfach zu bestimmen sind Er wurde geometrisch schon von den Mathematikern Archimedes und Eudoxos verwendet um die Kreiszahl p zu berechnen Die moderne Formulierung des Satzes stammt ursprunglich von Carl Friedrich Gauss Der Satz gilt insbesondere auch fur Grenzwerte von Folgen eine Funktion die von oben und unten durch zwei gegen denselben Wert strebende Folgen beschrankt wird konvergiert ebenfalls gegen diesen Wert Inhaltsverzeichnis 1 Einschliessungsregel fur Folgen 1 1 Beispiel 2 Einschnurungssatz fur Funktionen 3 Beispiele und Anwendungen 3 1 Beispiel 1 3 2 Beispiel 2 3 3 Beispiel 3 4 Beweis 5 Verallgemeinerungen 6 Literatur 7 Weblinks 8 EinzelnachweiseEinschliessungsregel fur Folgen BearbeitenSeien x n displaystyle x n nbsp und y n displaystyle y n nbsp zwei reelle Folgen mit x n a displaystyle x n rightarrow a nbsp y n a displaystyle y n rightarrow a nbsp und x n y n displaystyle x n leq y n nbsp fur fast alle alle bis auf endlich viele n displaystyle n nbsp Ist w n displaystyle w n nbsp eine weitere Folge mit x n w n y n displaystyle x n leq w n leq y n nbsp fur fast alle n displaystyle n nbsp so konvergiert w n displaystyle w n nbsp und zwar ebenfalls gegen a displaystyle a nbsp 1 Beispiel Bearbeiten Sei w n 1 n log n 2 3 displaystyle w n frac 1 n log n 2 3 nbsp eine Folge Da log n 0 displaystyle log n geq 0 nbsp fur n 1 displaystyle n geq 1 nbsp ist der Nenner immer grosser als n displaystyle n nbsp Daher gilt 0 w n 1 n displaystyle 0 leq w n leq frac 1 n nbsp Da sowohl 1 n displaystyle frac 1 n nbsp als auch 0 displaystyle 0 nbsp gegen 0 displaystyle 0 nbsp konvergieren folgt aus der Einschliessungsregel dass w n displaystyle w n nbsp ebenfalls gegen 0 displaystyle 0 nbsp konvergiert Einschnurungssatz fur Funktionen BearbeitenEs sei I displaystyle I nbsp ein Intervall das einen Wert a displaystyle a nbsp enthalt Es seien f displaystyle f nbsp g displaystyle g nbsp und h displaystyle h nbsp auf I a displaystyle I setminus lbrace a rbrace nbsp definierte Funktionen Wenn fur jedes x a displaystyle x neq a nbsp aus I displaystyle I nbsp gilt g x f x h x displaystyle g x leq f x leq h x nbsp sowie lim x a g x lim x a h x L displaystyle lim x to a g x lim x to a h x L nbsp dann ist lim x a f x L displaystyle lim x to a f x L nbsp a displaystyle a nbsp muss nicht inmitten von I displaystyle I nbsp liegen Ist a displaystyle a nbsp Randpunkt von I displaystyle I nbsp so handelt es sich bei obigen Grenzwerten um links bzw rechtsseitige Ahnliches gilt auch fur unendliche Intervalle Ist beispielsweise I 0 displaystyle I 0 infty nbsp so gilt der Satz auch fur die Grenzwertuntersuchung x displaystyle x to infty nbsp Zum Beweis folgt aus den Annahmen direkt L lim x a g x lim inf x a f x lim sup x a f x lim x a h x L displaystyle L lim x to a g x leq liminf x to a f x leq limsup x to a f x leq lim x to a h x L nbsp so dass die Ungleichungen tatsachlich Gleichungen sind und f displaystyle f nbsp daher auch gegen L displaystyle L nbsp strebt Beispiele und Anwendungen BearbeitenDie folgenden Beispiele zeigen wie der Satz praktisch angewendet wird Beispiel 1 Bearbeiten nbsp f blau mit Schrankenfunktionen g rot und h grun Man betrachte f x x 2 sin 1 x displaystyle f x x 2 sin left tfrac 1 x right nbsp das auf ganz R displaystyle mathbb R nbsp ausser fur x 0 displaystyle x 0 nbsp definiert ist Den Grenzwert fur x 0 displaystyle x to 0 nbsp auf konventionelle Art zu berechnen fallt schwer Eine direkte Substitution schlagt fehl weil die Funktion bei x 0 displaystyle x 0 nbsp nicht definiert ist geschweige denn stetig und die Regel von de L Hospital kann auch nicht angewendet werden da sin 1 x displaystyle sin left tfrac 1 x right nbsp uberall oszilliert und keinen Grenzwert hat Mit passenden oberen und unteren Schrankenfunktionen lasst sich jedoch der Einschnurungssatz anwenden Da die Sinusfunktion betragsmassig durch 1 begrenzt ist ist x 2 displaystyle x 2 nbsp betragsmassig eine passende Schranke fur f displaystyle f nbsp In anderen Worten gilt mit g x x 2 displaystyle g x x 2 nbsp und h x x 2 displaystyle h x x 2 nbsp 1 sin 1 x 1 x 2 x 2 sin 1 x x 2 g x f x h x displaystyle begin matrix 1 amp leq amp sin frac 1 x amp leq amp 1 x 2 amp leq amp x 2 sin frac 1 x amp leq amp x 2 g x amp leq amp f x amp leq amp h x end matrix nbsp g displaystyle g nbsp und h displaystyle h nbsp sind Polynomfunktionen und deshalb stetig daher gilt lim x 0 g x lim x 0 h x 0 displaystyle lim x to 0 g x lim x to 0 h x 0 nbsp Aus dem Einschnurungssatz folgt nun lim x 0 f x 0 displaystyle lim x to 0 f x 0 nbsp Beispiel 2 Bearbeiten Das obige Beispiel ist eine spezielle Anwendung eines haufig auftretenden allgemeinen Falles Angenommen wir wollen zeigen dass gilt lim x a f x L displaystyle lim x to a f x L nbsp Es ist dann ausreichend eine Funktion h displaystyle h nbsp zu finden die auf einem a displaystyle a nbsp enthaltenden Intervall I displaystyle I nbsp definiert ist ausser moglicherweise bei a displaystyle a nbsp fur die gilt lim x a h x 0 displaystyle lim x to a h x 0 nbsp und ausserdem fur alle x a displaystyle x neq a nbsp aus I displaystyle I nbsp gilt f x L h x displaystyle f x L leq h x nbsp In Worten gesprochen heisst das dass der Fehler zwischen f x displaystyle f x nbsp und L displaystyle L nbsp beliebig klein gemacht werden kann wahlt man x displaystyle x nbsp nahe genug an a displaystyle a nbsp Diese Bedingungen sind ausreichend da die Betragsfunktion uberall nicht negativ ist so dass wir g x 0 displaystyle g x 0 nbsp fur alle x displaystyle x nbsp wahlen konnen und den Einschnurungssatz anwenden konnen Da nun fur x a displaystyle x to a nbsp gilt f x L 0 displaystyle f x L to 0 nbsp gilt auch f x L 0 displaystyle f x L to 0 nbsp und damit f x f x L L 0 L L displaystyle f x f x L L longrightarrow 0 L L nbsp Beispiel 3 Bearbeiten nbsp F A D F F Sektor A D B F A D B 1 2 tan x 1 x 2 p p 1 2 sin x 1 sin x cos x x sin x cos x sin x 1 x 1 sin x cos x sin x x 1 displaystyle begin aligned amp F triangle ADF geq F text Sektor ADB geq F triangle ADB Rightarrow amp frac 1 2 cdot tan x cdot 1 geq frac x 2 pi cdot pi geq frac 1 2 cdot sin x cdot 1 Rightarrow amp frac sin x cos x geq x geq sin x Rightarrow amp frac cos x sin x leq frac 1 x leq frac 1 sin x Rightarrow amp cos x leq frac sin x x leq 1 end aligned nbsp Durch elementargeometrische Uberlegungen am Einheitskreis siehe Zeichnung rechts lasst sich zeigen dass cos x sin x x 1 displaystyle cos x leq frac sin x x leq 1 nbsp 2 Wegen lim x 0 cos x 1 displaystyle lim x to 0 cos x 1 nbsp folgt mit dem Einschnurungssatz lim x 0 sin x x 1 displaystyle lim x to 0 frac sin x x 1 nbsp Dieser Grenzwert ist bei der Bestimmung der Ableitungsfunktion des Sinus behilflich Beweis BearbeitenDie Hauptidee dieses Beweises ist es die relativen Unterschiede der Funktionen f displaystyle f nbsp g displaystyle g nbsp und h displaystyle h nbsp zu betrachten Dies hat den Effekt dass die untere Schrankenfunktion konstant null ist was den Beweis im Detail deutlich einfacher macht Der allgemeine Fall wird dann auf algebraischem Wege bewiesen Im Spezialfall g x 0 displaystyle g x 0 nbsp und L 0 displaystyle L 0 nbsp gilt lim x a h x 0 displaystyle lim x to a h x 0 nbsp Sei e gt 0 displaystyle varepsilon gt 0 nbsp ein fester Wert Gemass der Definition des Grenzwerts einer Funktion existiert nun ein d gt 0 displaystyle delta gt 0 nbsp sodass wenn gilt 0 lt x a lt d displaystyle 0 lt x a lt delta nbsp dann ist h x lt e displaystyle h x lt varepsilon nbsp Fur alle x a displaystyle x neq a nbsp aus I displaystyle I nbsp gilt gemass Annahme 0 g x f x h x displaystyle 0 g x leq f x leq h x nbsp also gilt f x h x displaystyle f x leq h x nbsp Daraus schliesst man dass wenn gilt 0 lt x a lt d displaystyle 0 lt x a lt delta nbsp dann ist f x h x lt e displaystyle f x leq h x lt varepsilon nbsp Damit ist bewiesen dass lim x a f x 0 displaystyle lim x to a f x 0 nbsp Fur beliebige g displaystyle g nbsp und L displaystyle L nbsp gilt nun fur jedes x a displaystyle x neq a nbsp aus I displaystyle I nbsp g x f x h x displaystyle g x leq f x leq h x nbsp Nun subtrahiert man g x displaystyle g x nbsp von jedem Ausdruck 0 f x g x h x g x displaystyle 0 leq f x g x leq h x g x nbsp Da fur x a displaystyle x to a nbsp sowohl g x displaystyle g x nbsp als auch h x displaystyle h x nbsp gegen L displaystyle L nbsp streben gilt h x g x L L 0 displaystyle h x g x to L L 0 nbsp Mit dem oben bewiesenen Spezialfall folgt f x g x 0 displaystyle f x g x to 0 nbsp fur x a displaystyle x to a nbsp und daraus dann f x f x g x g x 0 L L displaystyle f x f x g x g x to 0 L L nbsp Verallgemeinerungen BearbeitenEine masstheoretische Verallgemeinerung ist der Satz von Pratt bei dem durch die Einschnurung mittels lokal nach Mass konvergenten Funktionenfolgen auf die Vertauschbarkeit von Grenzwertbildung und Integration der eingeschnurten Funktionenfolge sowie auf die Integrierbarkeit der Grenzfunktion geschlossen werden kann Literatur BearbeitenWolfgang Walter Analysis 1 Springer 5 te Auflage 2013 ISBN 9783662056981 S 63 119Weblinks Bearbeiten nbsp Wikibooks Mathe fur Nicht Freaks Sandwichsatz Einschnurungssatz Einschliessungssatz Lern und Lehrmaterialien C Sean Bohun The Squeeze Theorem 9 Februar 2013 abgerufen am 6 April 2013 englisch PDF Joseph M Ling Examples on Limits of Functions The Squeeze Theorem PDF 96 kB 2 Oktober 2001 archiviert vom Original am 20 September 2008 abgerufen am 9 Februar 2013 englisch Einzelnachweise Bearbeiten Harro Heuser Lehrbuch der Analysis Mathematische Leitfaden 17 Auflage Teil 1 Vieweg Teubner Springer Wiesbaden 2009 ISBN 978 3 8348 0777 9 S 152 Auszug Selim G Krejn V N Uschakowa Vorstufe zur hoheren Mathematik Springer 2013 ISBN 9783322986283 S 80 81 Siehe auch Salman Khan Proof limit of sin x x at x 0 Video Khan Academy englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Einschnurungssatz amp oldid 237268536