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Cayley Menger Determinante In der Mathematik ist die vor allem bei der Volumenberechnung von Bedeutung Sie wurde 1841 vo

Cayley-Menger-Determinante

In der Mathematik ist die Cayley-Menger-Determinante vor allem bei der Volumenberechnung von Bedeutung.

Sie wurde 1841 von Cayley angegeben und berechnet das Volumen von Dreiecken, Tetraedern und höherdimensionalen Simplizes.

Definition Bearbeiten

Sei ein Simplex mit Ecken im -dimensionalen Raum .

Sei die symmetrische -Matrix, deren erste Zeile bzw. Spalte sind und deren Einträge für

sind. Dann ist die Cayley-Menger-Determinante des Simplexes definiert als Determinante von .

Volumenberechnung von Simplizes Bearbeiten

Allgemeine Formel Bearbeiten

Das Volumen des Simplexes berechnet sich mittels der Cayley-Menger-Determinante durch

Beispiele Bearbeiten

Fläche eines Dreiecks Bearbeiten

Allgemeines Dreieck

Die Fläche eines Dreiecks mit Seitenlängen berechnet sich als Quadratwurzel aus

Das ist eine Umformulierung des Satzes von Heron.

Volumen eines Tetraeders Bearbeiten

Allgemeiner Tetraeder

Das Volumen eines Tetraeders mit Kantenlängen berechnet sich als Quadratwurzel aus

Insbesondere gilt wenn die vier Punkte in einer Ebene liegen.

Eine im Wesentlichen äquivalente Formel war schon im 15. Jahrhundert von Piero della Francesca angegeben worden. Im englischen Sprachraum wird sie häufig als Tartaglia's Formel bezeichnet.

Charakterisierung euklidischer Räume Bearbeiten

Karl Menger verwandte die Cayley-Menger-Determinante, um eine rein metrische Charakterisierung euklidischer Räume unter den metrischen Räumen zu geben. Marcel Berger gab später eine allgemeinere Charakterisierung Riemannscher Mannigfaltigkeiten konstanter Schnittkrümmung mittels der Cayley-Menger-Determinante.

Verschiedene Resultate der Abstandsgeometrie lassen sich mit Hilfe der Cayley-Menger-Determinante beweisen, zum Beispiel der Satz von Stewart.

Symmetrien Bearbeiten

Die Gruppe der linearen Abbildungen des , welche die Cayley-Menger-Determinante eines Tetraeders (als Funktion der 6 Kantenlängen) invariant lassen, hat Ordnung 23040 und ist isomorph zur Weyl-Gruppe .

Diese Symmetrien erhalten auch die Dehn-Invariante und bilden somit jedes Tetraeder in ein zerlegungsgleiches Tetraeder ab.

Literatur Bearbeiten

  • A. Cayley: A theorem in the geometry of position. Cambridge Mathematical Journal, II:267–271 (1841). online
  • L. Blumenthal: Theory and applications of distance geometry. Clarendon Press, Oxford (1953). Kapitel IV.40
  • M. Berger: Geometry I. Springer-Verlag, Berlin (1987). Kapitel 9.7

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. K. Menger: Untersuchungen über allgemeine Metrik. Math. Ann. 100 (1928), no. 1, 75–163.doi:10.1007/BF01448840
  2. M. Berger: Une caractérisation purement métrique des variétés riemanniennes à courbure constante. E. B. Christoffel (Aachen/Monschau, 1979), S. 480–492, Birkhäuser, Basel-Boston, Mass., 1981.
  3. D. Michelucci, S. Foufou: Using Cayley-Menger Determinants for Geometric Constraint Solving. ACM Symposium on Solid Modeling and Applications (2004) online (pdf)
  4. Philip P. Boalch: Regge and Okamoto symmetries, Comm. Math. Phys. 276 (2007), no. 1, 117--130.
  5. J. Roberts.: Classical 6j-symbols and the tetrahedron. Geom. & Top. 3 (1999)
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Veröffentlichungsdatum:
In der Mathematik ist die Cayley Menger Determinante vor allem bei der Volumenberechnung von Bedeutung Sie wurde 1841 von Cayley angegeben und berechnet das Volumen von Dreiecken Tetraedern und hoherdimensionalen Simplizes Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Volumenberechnung von Simplizes 2 1 Allgemeine Formel 2 2 Beispiele 2 2 1 Flache eines Dreiecks 2 2 2 Volumen eines Tetraeders 3 Charakterisierung euklidischer Raume 4 Symmetrien 5 Literatur 6 Weblinks 7 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenSei S displaystyle S nbsp ein Simplex mit Ecken v 1 v n 1 displaystyle v 1 ldots v n 1 nbsp im n displaystyle n nbsp dimensionalen Raum R n displaystyle mathbb R n nbsp Sei B displaystyle B nbsp die symmetrische n 2 n 2 displaystyle n 2 times n 2 nbsp Matrix deren erste Zeile bzw Spalte 0 1 1 displaystyle 0 1 ldots 1 nbsp sind und deren Eintrage fur 2 i j n 2 displaystyle 2 leq i j leq n 2 nbsp b i j v i 1 v j 1 2 displaystyle b ij v i 1 v j 1 2 nbsp sind Dann ist die Cayley Menger Determinante des Simplexes definiert als Determinante von B displaystyle B nbsp Volumenberechnung von Simplizes BearbeitenAllgemeine Formel Bearbeiten Das Volumen des Simplexes S displaystyle S nbsp berechnet sich mittels der Cayley Menger Determinante durch Vol S 2 1 n 1 2 n n 2 det B displaystyle operatorname Vol S 2 frac 1 n 1 2 n n 2 det B nbsp Beispiele Bearbeiten Flache eines Dreiecks Bearbeiten nbsp Allgemeines DreieckDie Flache eines Dreiecks mit Seitenlangen a b c displaystyle a b c nbsp berechnet sich als Quadratwurzel aus 1 16 det 0 1 1 1 1 0 c 2 b 2 1 c 2 0 a 2 1 b 2 a 2 0 displaystyle frac 1 16 det left begin array cccc 0 amp 1 amp 1 amp 1 1 amp 0 amp c 2 amp b 2 1 amp c 2 amp 0 amp a 2 1 amp b 2 amp a 2 amp 0 end array right nbsp Das ist eine Umformulierung des Satzes von Heron Volumen eines Tetraeders Bearbeiten nbsp Allgemeiner Tetraeder Hauptartikel Volumenformel des allgemeinen Tetraeders Das Volumen eines Tetraeders mit Kantenlangen d i j 1 i j 4 displaystyle d ij 1 leq i j leq 4 nbsp berechnet sich als Quadratwurzel aus 1 288 det 0 1 1 1 1 1 0 d 12 2 d 13 2 d 14 2 1 d 21 2 0 d 23 2 d 24 2 1 d 31 2 d 32 2 0 d 34 2 1 d 41 2 d 42 2 d 43 2 0 displaystyle frac 1 288 det left begin array ccccc 0 amp 1 amp 1 amp 1 amp 1 1 amp 0 amp d 12 2 amp d 13 2 amp d 14 2 1 amp d 21 2 amp 0 amp d 23 2 amp d 24 2 1 amp d 31 2 amp d 32 2 amp 0 amp d 34 2 1 amp d 41 2 amp d 42 2 amp d 43 2 amp 0 end array right nbsp Insbesondere gilt det B 0 displaystyle det B 0 nbsp wenn die vier Punkte in einer Ebene liegen Eine im Wesentlichen aquivalente Formel war schon im 15 Jahrhundert von Piero della Francesca angegeben worden Im englischen Sprachraum wird sie haufig als Tartaglia s Formel bezeichnet Charakterisierung euklidischer Raume BearbeitenKarl Menger verwandte die Cayley Menger Determinante um eine rein metrische Charakterisierung euklidischer Raume unter den metrischen Raumen zu geben 1 Marcel Berger gab spater eine allgemeinere Charakterisierung Riemannscher Mannigfaltigkeiten konstanter Schnittkrummung mittels der Cayley Menger Determinante 2 Verschiedene Resultate der Abstandsgeometrie lassen sich mit Hilfe der Cayley Menger Determinante beweisen zum Beispiel der Satz von Stewart 3 Symmetrien BearbeitenDie Gruppe der linearen Abbildungen des R 6 displaystyle mathbb R 6 nbsp welche die Cayley Menger Determinante eines Tetraeders als Funktion der 6 Kantenlangen invariant lassen hat Ordnung 23040 und ist isomorph zur Weyl Gruppe D 6 displaystyle D 6 nbsp 4 Diese Symmetrien erhalten auch die Dehn Invariante und bilden somit jedes Tetraeder in ein zerlegungsgleiches Tetraeder ab 5 Literatur BearbeitenA Cayley A theorem in the geometry of position Cambridge Mathematical Journal II 267 271 1841 online L Blumenthal Theory and applications of distance geometry Clarendon Press Oxford 1953 Kapitel IV 40 M Berger Geometry I Springer Verlag Berlin 1987 Kapitel 9 7Weblinks BearbeitenCayley Menger Determinant MathWorld Simplex Volumes and the Cayley Menger Determinant MathPages Cayley Menger Determinante im Raum Beweis der 3 dimensionalen Volumenformel Einzelnachweise Bearbeiten K Menger Untersuchungen uber allgemeine Metrik Math Ann 100 1928 no 1 75 163 doi 10 1007 BF01448840 M Berger Une caracterisation purement metrique des varietes riemanniennes a courbure constante E B Christoffel Aachen Monschau 1979 S 480 492 Birkhauser Basel Boston Mass 1981 D Michelucci S Foufou Using Cayley Menger Determinants for Geometric Constraint Solving ACM Symposium on Solid Modeling and Applications 2004 online pdf Philip P Boalch Regge and Okamoto symmetries Comm Math Phys 276 2007 no 1 117 130 J Roberts Classical 6j symbols and the tetrahedron Geom amp Top 3 1999 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Cayley Menger Determinante amp oldid 239040155