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Volumenformel des allgemeinen Tetraeders Die ist eine mathematische Formel der Stereometrie Sie wurde von Leonhard Euler

Volumenformel des allgemeinen Tetraeders

Die Volumenformel des allgemeinen Tetraeders ist eine mathematische Formel der Stereometrie. Sie wurde von Leonhard Euler (1707–1793) in dessen berühmter Abhandlung E 231 (Demonstratio nonnullarum insignium proprietatum quibus solida hederis planis inclusa sunt praedita.) angegeben. Euler behandelt und löst unter Punkt 20 dieser Abhandlung das Problem, eine Formel für das Volumen des allgemeinen Tetraeders allein unter Bezug auf die Längen der sechs Tetraederkanten anzugeben. Der Volumenformel des allgemeinen Tetraeders liegt also die gleiche Aufgabenstellung zugrunde wie der zur Formel von Heron in der Dreiecksgeometrie.

Die Eulerformel Bearbeiten

Vereinfachte Eulerformel bei Gleichschenkligkeit und Regularität Bearbeiten

Für gleichschenkliges Tetraeder gilt bei jeder der sechs -Kanten . Hier vereinfacht sich die Eulerformel wie folgt:

Hieraus ergibt sich unmittelbar die bekannte Volumenformel für das reguläre Tetraeder:

Vereinfachte Eulerformel bei rechtwinkligen Tetraedern Bearbeiten

Für rechtwinklige Tetraeder gilt der Satz des Pythagoras usw. bei jeder der drei -Kanten der Grundfläche. Hier vereinfacht sich die Eulerformel mit dem Spatprodukt der gegenüberliegenden Kanten zu:

Determinantendarstellung Bearbeiten

Zur Darstellung des Tetraedervolumens lassen sich in eleganter Weise auch die folgenden Identitäten benutzen, welche auf Determinanten symmetrischer Matrizen beruhen:

Die dabei zuerst auftretende Determinante nennt man (nach den beiden Mathematikern Arthur Cayley und Karl Menger) auch eine Cayley–Menger-Determinante.

Anwendung der Cayley-Menger-Determinante Bearbeiten

Die Cayley-Menger-Determinantendarstellung des Tetraedervolumens kann herangezogen werden, um einen klassischen Lehrsatz von Leonhard Euler zu formulieren, nämlich den sogenannten Vierpunktesatz von Euler:

Die Aussage des eulerschen Vierpunktesatzes ist demnach die folgende:

Literatur Bearbeiten

Originalarbeiten

  • Leonhard Euler: Demonstratio nonnullarum insignium proprietatum quibus solida hederis planis inclusa sunt praedita. In: Novi commentarii academiae scientiarum Petropolitanae (1752/53). Band 4, 1753, S. 140–160.

Monographien

  • Nathan Altshiller-Court: Modern Pure Solid Geometry. 2. Auflage. Chelsea Publishing, Bronx NY 1964, OCLC 1597161.
  • György Hajós: Einführung in die Geometrie. B. G. Teubner Verlag, Leipzig (ungarisch: Bevezetés A Geometriába. Übersetzt von G. Eisenreich [Leipzig, auch Redaktion]).
  • Maximilian Miller: Stereometrie (Sammlung Crantz). B. G. Teubner Verlag, Leipzig 1957.
  • Alexander Ostermann, Gerhard Wanner: Geometry by Its History (= Undergraduate Texts in Mathematics. Readings in Mathematics). Springer Verlag, Heidelberg / New York / Dordrecht / London 2012, ISBN 978-3-642-29162-3, doi:10.1007/978-3-642-29163-0 (MR2918594).
  • Andreas Speiser et al. (Redaktion): Leonhardi Euleri Opera omnia. Series prima. Opera mathematica. Volumen XXVI: Commentationes geometricae. Volumen I. Orell Füssli, Zürich 1953.

Einzelnachweise und Anmerkungen Bearbeiten

  1. Maximilian Miller: Stereometrie. 1957, S. 41
  2. Der Titel der Abhandlung E 231 lautet auf Deutsch etwa wie folgt: Darlegung einiger kennzeichnender Eigenschaften, mit denen von ebenen Flächen eingeschlossene Körper ausgestattet sind. In dieser Abhandlung gibt Euler den ersten Beweis der Polyederformel an, welche er schon in einer früheren Abhandlung (E 230, abgedruckt unter Elementa doctrinae solidorum, Novi commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 4, S. 109–140; vgl. Einleitung zu den Commentationes geometricae) erwähnt, aber noch nicht bewiesen hatte.
  3. Andreas Speiser et al.: Leonhardi Euleri Opera omnia. Series prima. Opera mathematica. Volumen XXVI: Commentationes geometricae. Volumen I. 1953, S. 106–107
  4. Dies ergibt sich bei Berücksichtigung der Formel
  5. Nathan Altshiller-Court: Modern Pure Solid Geometry. 1964, S. 112
  6. Miller, op. cit., S. 46
  7. I. N. Bronstein, K. A. Semendjajev et al.: Taschenbuch der Mathematik. 2008, S. 157
  8. György Hajós: Einführung in die Geometrie. 1970, S. 383
  9. Alexander Ostermann, Gerhard Wanner: Geometry by Its History. 2012, S. 297
  10. György Hajós: Einführung in die Geometrie. B. G. Teubner Verlag, Leipzig, S. 384 (ungarisch: Bevezetés A Geometriába. Übersetzt von G. Eisenreich [Leipzig, auch Redaktion]).
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Veröffentlichungsdatum:
Die Volumenformel des allgemeinen Tetraeders ist eine mathematische Formel der Stereometrie Sie wurde von Leonhard Euler 1707 1793 in dessen beruhmter Abhandlung E 231 Demonstratio nonnullarum insignium proprietatum quibus solida hederis planis inclusa sunt praedita angegeben 1 2 Euler behandelt und lost unter Punkt 20 dieser Abhandlung das Problem eine Formel fur das Volumen des allgemeinen Tetraeders allein unter Bezug auf die Langen der sechs Tetraederkanten anzugeben 3 Der Volumenformel des allgemeinen Tetraeders liegt also die gleiche Aufgabenstellung zugrunde wie der zur Formel von Heron in der Dreiecksgeometrie Inhaltsverzeichnis 1 Die Eulerformel 2 Vereinfachte Eulerformel bei Gleichschenkligkeit und Regularitat 3 Vereinfachte Eulerformel bei rechtwinkligen Tetraedern 4 Determinantendarstellung 5 Anwendung der Cayley Menger Determinante 6 Literatur 7 Einzelnachweise und AnmerkungenDie Eulerformel BearbeitenGegeben sei ein Tetraeder T R 3 displaystyle mathcal T subset mathbb R 3 nbsp also eine Pyramide mit dreieckiger Grundflache Die zur dreieckigen Grundflache gehorigen T displaystyle mathcal T nbsp Kanten seien mit a b c displaystyle a b c nbsp bezeichnet und die im Raum gegenuberliegenden drei T displaystyle mathcal T nbsp Kanten mit a b c displaystyle a b c nbsp Weiter sei fur jede T displaystyle mathcal T nbsp Kanten x displaystyle x nbsp die Lange dieser Kante mit x displaystyle x nbsp bezeichnet Dann gilt fur das Tetraedervolumen V V T displaystyle V V mathcal T nbsp V 1 12 a 2 a 2 f a b 2 b 2 f b c 2 c 2 f c d displaystyle V tfrac 1 12 cdot sqrt a 2 cdot a 2 cdot f a b 2 cdot b 2 cdot f b c 2 cdot c 2 cdot f c delta nbsp mitf a b 2 b 2 c 2 c 2 a 2 a 2 displaystyle f a b 2 b 2 c 2 c 2 a 2 a 2 nbsp f b a 2 a 2 c 2 c 2 b 2 b 2 displaystyle f b a 2 a 2 c 2 c 2 b 2 b 2 nbsp f c a 2 a 2 b 2 b 2 c 2 c 2 displaystyle f c a 2 a 2 b 2 b 2 c 2 c 2 nbsp d a 2 b 2 c 2 a 2 b 2 c 2 a 2 b 2 c 2 a 2 b 2 c 2 displaystyle delta a 2 cdot b 2 cdot c 2 a 2 cdot b 2 cdot c 2 a 2 cdot b 2 cdot c 2 a 2 cdot b 2 cdot c 2 nbsp dd Vereinfachte Eulerformel bei Gleichschenkligkeit und Regularitat BearbeitenFur gleichschenkliges Tetraeder gilt x x displaystyle x x nbsp bei jeder der sechs T displaystyle mathcal T nbsp Kanten x displaystyle x nbsp Hier vereinfacht sich die Eulerformel wie folgt 4 V 2 12 b 2 c 2 a 2 a 2 c 2 b 2 a 2 b 2 c 2 displaystyle V tfrac sqrt 2 12 cdot sqrt b 2 c 2 a 2 cdot a 2 c 2 b 2 cdot a 2 b 2 c 2 nbsp 5 Hieraus ergibt sich unmittelbar die bekannte Volumenformel fur das regulare Tetraeder V 2 12 a 3 displaystyle V tfrac sqrt 2 12 cdot a 3 nbsp 6 Vereinfachte Eulerformel bei rechtwinkligen Tetraedern BearbeitenFur rechtwinklige Tetraeder gilt der Satz des Pythagoras a 2 b 2 c 2 displaystyle a 2 b 2 c 2 nbsp usw bei jeder der drei T displaystyle mathcal T nbsp Kanten a b c displaystyle a b c nbsp der Grundflache Hier vereinfacht sich die Eulerformel mit dem Spatprodukt der gegenuberliegenden Kanten a b c displaystyle a b c nbsp zu V 1 6 a b c 1 6 a b c displaystyle V tfrac 1 6 cdot a b c tfrac 1 6 cdot a b c nbsp Determinantendarstellung BearbeitenZur Darstellung des Tetraedervolumens V V T displaystyle V V mathcal T nbsp lassen sich in eleganter Weise auch die folgenden Identitaten benutzen welche auf Determinanten symmetrischer Matrizen beruhen 7 8 9 288 V 2 det 0 c 2 b 2 a 2 1 c 2 0 a 2 b 2 1 b 2 a 2 0 c 2 1 a 2 b 2 c 2 0 1 1 1 1 1 0 det 2 c 2 c 2 b 2 a 2 c 2 a 2 b 2 c 2 b 2 a 2 2 b 2 b 2 a 2 c 2 c 2 a 2 b 2 b 2 a 2 c 2 2 a 2 displaystyle begin aligned 288 cdot V 2 amp det begin pmatrix 0 amp c 2 amp b 2 amp a 2 amp 1 c 2 amp 0 amp a 2 amp b 2 amp 1 b 2 amp a 2 amp 0 amp c 2 amp 1 a 2 amp b 2 amp c 2 amp 0 amp 1 1 amp 1 amp 1 amp 1 amp 0 end pmatrix amp det begin pmatrix 2 c 2 amp c 2 b 2 a 2 amp c 2 a 2 b 2 c 2 b 2 a 2 amp 2 b 2 amp b 2 a 2 c 2 c 2 a 2 b 2 amp b 2 a 2 c 2 amp 2 a 2 end pmatrix end aligned nbsp Die dabei zuerst auftretende Determinante nennt man nach den beiden Mathematikern Arthur Cayley und Karl Menger auch eine Cayley Menger Determinante Anwendung der Cayley Menger Determinante BearbeitenDie Cayley Menger Determinantendarstellung des Tetraedervolumens kann herangezogen werden um einen klassischen Lehrsatz von Leonhard Euler zu formulieren namlich den sogenannten Vierpunktesatz von Euler 10 Vier nicht notwendig voneinander verschiedene Raumpunkte P 1 P 2 P 3 P 4 displaystyle P 1 P 2 P 3 P 4 nbsp liegen genau dann in einer Ebene wenn die Beziehung det 0 a 12 2 a 13 2 a 14 2 1 a 12 2 0 a 23 2 a 24 2 1 a 13 2 a 23 2 0 a 34 2 1 a 14 2 a 24 2 a 34 2 0 1 1 1 1 1 0 0 displaystyle det begin pmatrix 0 amp a 12 2 amp a 13 2 amp a 14 2 amp 1 a 12 2 amp 0 amp a 23 2 amp a 24 2 amp 1 a 13 2 amp a 23 2 amp 0 amp a 34 2 amp 1 a 14 2 amp a 24 2 amp a 34 2 amp 0 amp 1 1 amp 1 amp 1 amp 1 amp 0 end pmatrix 0 nbsp gilt wobei a i j a j i i j 1 2 3 4 displaystyle a ij a ji i j 1 2 3 4 nbsp jeweils den euklidischen Abstand der Punkte P i displaystyle P i nbsp und P j displaystyle P j nbsp bezeichnet Die Aussage des eulerschen Vierpunktesatzes ist demnach die folgende Vier Raumpunkte liegen genau dann in einer Ebene wenn das von ihnen gebildete Tetraeder T T P 1 P 2 P 3 P 4 R 3 displaystyle mathcal T mathcal T P 1 P 2 P 3 P 4 subset mathbb R 3 nbsp ausgeartet ist und damit das Volumen V T 0 displaystyle V mathcal T 0 nbsp hat Literatur BearbeitenOriginalarbeiten Leonhard Euler Demonstratio nonnullarum insignium proprietatum quibus solida hederis planis inclusa sunt praedita In Novi commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 1752 53 Band 4 1753 S 140 160 Monographien Nathan Altshiller Court Modern Pure Solid Geometry 2 Auflage Chelsea Publishing Bronx NY 1964 OCLC 1597161 Gyorgy Hajos Einfuhrung in die Geometrie B G Teubner Verlag Leipzig ungarisch Bevezetes A Geometriaba Ubersetzt von G Eisenreich Leipzig auch Redaktion Maximilian Miller Stereometrie Sammlung Crantz B G Teubner Verlag Leipzig 1957 Alexander Ostermann Gerhard Wanner Geometry by Its History Undergraduate Texts in Mathematics Readings in Mathematics Springer Verlag Heidelberg New York Dordrecht London 2012 ISBN 978 3 642 29162 3 doi 10 1007 978 3 642 29163 0 MR2918594 Andreas Speiser et al Redaktion Leonhardi Euleri Opera omnia Series prima Opera mathematica Volumen XXVI Commentationes geometricae Volumen I Orell Fussli Zurich 1953 Einzelnachweise und Anmerkungen Bearbeiten Maximilian Miller Stereometrie 1957 S 41 Der Titel der Abhandlung E 231 lautet auf Deutsch etwa wie folgt Darlegung einiger kennzeichnender Eigenschaften mit denen von ebenen Flachen eingeschlossene Korper ausgestattet sind In dieser Abhandlung gibt Euler den ersten Beweis der Polyederformel an welche er schon in einer fruheren Abhandlung E 230 abgedruckt unter Elementa doctrinae solidorum Novi commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 4 S 109 140 vgl Einleitung zu den Commentationes geometricae erwahnt aber noch nicht bewiesen hatte Andreas Speiser et al Leonhardi Euleri Opera omnia Series prima Opera mathematica Volumen XXVI Commentationes geometricae Volumen I 1953 S 106 107 Dies ergibt sich bei Berucksichtigung der Formel a b g a b g a b g a 2 a b g b 2 a b g g 2 a b g 2 a b g displaystyle alpha beta gamma cdot alpha beta gamma cdot alpha beta gamma alpha 2 cdot alpha beta gamma beta 2 cdot alpha beta gamma gamma 2 cdot alpha beta gamma 2 cdot alpha cdot beta cdot gamma nbsp Nathan Altshiller Court Modern Pure Solid Geometry 1964 S 112 Miller op cit S 46 I N Bronstein K A Semendjajev et al Taschenbuch der Mathematik 2008 S 157 Gyorgy Hajos Einfuhrung in die Geometrie 1970 S 383 Alexander Ostermann Gerhard Wanner Geometry by Its History 2012 S 297 Gyorgy Hajos Einfuhrung in die Geometrie B G Teubner Verlag Leipzig S 384 ungarisch Bevezetes A Geometriaba Ubersetzt von G Eisenreich Leipzig auch Redaktion Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Volumenformel des allgemeinen Tetraeders amp oldid 186955384