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Goldenes Dreieck Geometrie In Geometrie und Elementargeometrie ist ein Goldenes Dreieck ein gleichschenkliges Dreieck be

Goldenes Dreieck (Geometrie)

In Geometrie und Elementargeometrie ist ein Goldenes Dreieck ein gleichschenkliges Dreieck, bei dem die Längen von Grundseite und Schenkel im Verhältnis des Goldenen Schnitts stehen. Man unterscheidet zwischen dem Goldenen Dreieck erster Art und dem Goldenen Dreieck zweiter Art: Das Goldene Dreieck erster Art ist ein gleichschenklig-spitzwinkliges Dreieck und hat die Winkel , und . Das Goldene Dreieck zweiter Art ist ein gleichschenklig-stumpfwinkliges Dreieck und hat die Winkel , und .

Goldene Dreiecke erster Art ( und ) und zweiter Art (); der rote Winkel ist jeweils

Bestimmung der Winkel Bearbeiten

Elementargeometrisch Bearbeiten

Auf der längsten Seite von trägt man, ggf. ausgehend von dem Eckpunkt mit dem kleineren Winkel, die kürzeste Seite ab und verbindet den so entstehenden Abtragungspunkt mit dem gegenüberliegenden Eckpunkt. Auf diese Weise wird in zwei Teildreiecke und zerlegt.

Mit den Ähnlichkeitssätzen ergibt sich, dass entweder oder zu ähnlich ist. Daraus zieht man die Folgerung, dass die Innenwinkelsumme gleich dem Fünffachen des kleinsten Winkels ist. Folglich ist einer der Winkel gleich . Ist dies der Winkel an der Spitze von , so ist ein Goldenes Dreieck erster Art. Ist es ein Basiswinkel, so ist ein Goldenes Dreieck zweiter Art. Mit dem Innenwinkelsummensatz ergibt sich dann, dass im ersten Fall das Innenwinkeltripel gleich sein muss, im zweiten Fall dagegen allein in Frage kommt.

Trigonometrisch Bearbeiten

Goldenes Dreieck erster Art Bearbeiten

Ist ein solches mit Grundseite und Schenkeln und , so bedeutet dies für und  :

Ist nun der Basiswinkel bei und der Winkel an der Spitze von , so erhält man

und weiter

und schließlich mit dem Innenwinkelsummensatz

Goldenes Dreieck zweiter Art Bearbeiten

Mit den gleichen Überlegungen wie oben erhält man

und weiter

und damit

und schließlich mit dem Innenwinkelsummensatz

Charakterisierung Bearbeiten

Die Goldenen Dreiecke sind exakt diejenigen gleichschenkligen Dreiecke, die einen Winkel von enthalten.

Konstruktion Bearbeiten

Euklid von Alexandria beschrieb in seinem Werk Die Elemente ein spezielles gleichschenkliches Triangel, heute bekannt als das Goldene Dreieck. Dieses Dreieck findet sich wieder in seiner Beschreibung für ein gleichseitiges und gleichwinkliches Pentagon mit einem gegebenen Umkreis.

Ausgangssituation ist eine beliebige Strecke die im Verhältnis des Goldenen Schnitts zu teilen ist. Hierzu verwendet man die sogenannte innere Teilung. Entsprechend dem obigen Bild Goldene Dreiecke erster und zweiter Art ergeben sich dabei der Schnittpunkt und damit die beiden Abschnitte und Um die beiden Goldenen Dreiecke erster und zweiter Art zu finden, bedarf es noch des Punktes mit seinen gleichen Abständen zu den Punkten und Nach dem Verbinden der Punkte und mit dem Punkt entsteht das Goldene Dreieck erster Art sowie das Goldene Dreieck zweiter Art

Goldene Dreiecke erster und zweiter Art, auch ist ein Goldenes Dreieck erster Art, Animation siehe

Bildende Kunst Bearbeiten

Das künstlerische Bild Dreiecke im Goldenen Schnitt (Pigmente, Acryl auf Leinwand), erstellt von Irene Schramm-Biermann, zeigt bei genauer Betrachtung auch eine dünn eingezeichnete spiralförmige Linie. Sie entspringt aus dem kleinsten gelben Dreieck und ist eine logarithmischen Spirale. Für den Betrachter bleibt offen: Wurde mithilfe der logarithmischen Spirale das goldene Dreieck geformt oder wurde anhand eines goldenen Dreiecks die logarithmische Spirale bestimmt. Beides ist möglich.

Dreiecke im Goldenen Schnitt

Vorkommen Bearbeiten

Die oben beschriebene Zerlegung von in die Teildreiecke und liefert beide Formen des Goldenen Dreiecks. Beide Formen treten also stets gemeinsam auf. Sie ergeben sich regelmäßig bei der Konstruktion mit Zirkel und Lineal von regulärem Fünfeck und regulärem Zehneck. Die Winkel , und sind also allein mit Zirkel und Lineal konstruierbar.

Anschauungsbeispiele für das Vorkommen Goldener Dreiecke im regelmäßigen Fünfeck Bearbeiten

Das große Goldene Dreieck erster Art (grün / blau) lässt sich zerlegen in ein Goldenes Dreieck erster Art (grün) und ein Goldenes Dreieck zweiter Art (blau).
Das große Goldene Dreieck zweiter Art (grün / blau) lässt sich zerlegen in ein Goldenes Dreieck erster Art (grün) und ein Goldenes Dreieck zweiter Art (blau).

Parkettierung eines regelmäßigen Zehnecks mit goldenen Dreiecken Bearbeiten

Es gibt zahlreiche Möglichkeiten, ein Zehneck mit Goldenen Dreiecken zu parkettieren. Die folgenden Beispiele zeigen Parkettierungsmöglichkeiten mit Goldenen Dreiecken erster Art (spitzwinklig) und Goldenen Dreiecken zweiter Art (stumpfwinklig).

Links und rechts besteht die Parkettierung aus jeweils 10 Goldenen Dreiecken erster und 10 Goldenen Dreiecken zweiter Art und in der Mitte aus 20 Goldenen Dreiecken erster Art und 10 Goldenen Dreiecken zweiter Art.

Literatur Bearbeiten

  • Siegfried Krauter: Erlebnis Elementargeometrie. Spektrum Akademischer Verlag, München 2005, ISBN 3-8274-1644-2.
  • Theophil Lambacher, Wilhelm Schweizer (Hrsg.): Lambacher-Schweizer. Mathematisches Unterrichtswerk für höhere Schulen. Geometrie. Ausgabe E. Teil 2. 13. Auflage. Ernst Klett Verlag, Stuttgart 1965.
  • Mario Livio: The Golden Ratio. The Story of Phi, the World’s Most Astonishing Number. Broadway Books, New York 2003, ISBN 0-7679-0816-3.

Weblinks Bearbeiten

Commons: Goldenes Dreieck (Mathematik) – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Krauter: S. 200
  2. In englischsprachigen Quellen (vgl. etwa Livio: The Golden Ratio. S. 79. ) versteht man unter Golden Triangle allein das Goldene Dreieck erster Art, während für das Goldene Dreieck zweiter Art die Bezeichnung Golden Gnomon (von Gnomon, altgriechisch γνώμων, gleichbedeutend mit Zeiger an der Sonnenuhr) geläufig ist.
  3. Lambacher-Schweizer: S. 165
  4. Krauter: S. 199–200
  5. Lambacher-Schweizer: S. 165
  6. Johann Friedrich Lorenz: Euklids Elemente, fünfzehn Bücher. Hrsg.: Im Verlag der Buchhandlung des Waysenhauses. Halle 1781, S. 61 ff. (Euklids Elemente, Viertes Buch, Der 10. Satz., Seite 61: Einen gleichschenklichen Triangel zu beschreiben ..., Seite 62: Es sey eine gerade Linie, AB ... [abgerufen am 18. Dezember 2016]).
  7. Johann Friedrich Lorenz: Euklids Elemente, fünfzehn Bücher. Hrsg.: Im Verlag der Buchhandlung des Waysenhauses. Halle 1781, S. 62 ff. (Euklids Elemente, Viertes Buch, Der 11. Satz., In einem gegebnen Cirkel, ABCDE, ein gleichseitiges und gleichwinkliches Pentagon... [abgerufen am 18. Dezember 2016]).
  8. Carsten Stohn, Sebastian Neumann, Tobias Högel: 8.2 Spira mirabilis. Projekt für Theoretische Mathematik, Spiralen in Naturwissenschaft, Technik und Kunst. Universität Freiburg, 2002, abgerufen am 27. März 2021.
  9. Livio: S. 79
  10. Krauter: S. 201
  11. Heinz Klaus Strick: Kunterbunte Mathematik, Springer-Verlag GmbH, Berlin 2023, ISBN 978-3-662-67312-6, S. 176/177
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Veröffentlichungsdatum:
In Geometrie und Elementargeometrie ist ein Goldenes Dreieck ein gleichschenkliges Dreieck bei dem die Langen von Grundseite und Schenkel im Verhaltnis des Goldenen Schnitts stehen 1 Man unterscheidet zwischen dem Goldenen Dreieck erster Art und dem Goldenen Dreieck zweiter Art 2 Das Goldene Dreieck erster Art ist ein gleichschenklig spitzwinkliges Dreieck und hat die Winkel 72 displaystyle 72 circ 72 displaystyle 72 circ und 36 displaystyle 36 circ Das Goldene Dreieck zweiter Art ist ein gleichschenklig stumpfwinkliges Dreieck und hat die Winkel 36 displaystyle 36 circ 36 displaystyle 36 circ und 108 displaystyle 108 circ 3 Goldene Dreiecke erster Art D A C B displaystyle Delta ACB und D C B X displaystyle Delta CBX und zweiter Art D A C X displaystyle Delta ACX der rote Winkel ist jeweils 36 displaystyle 36 circ Inhaltsverzeichnis 1 Bestimmung der Winkel 1 1 Elementargeometrisch 1 2 Trigonometrisch 1 2 1 Goldenes Dreieck erster Art 1 2 2 Goldenes Dreieck zweiter Art 1 3 Charakterisierung 2 Konstruktion 3 Bildende Kunst 4 Vorkommen 4 1 Anschauungsbeispiele fur das Vorkommen Goldener Dreiecke im regelmassigen Funfeck 4 2 Parkettierung eines regelmassigen Zehnecks mit goldenen Dreiecken 5 Literatur 6 Weblinks 7 EinzelnachweiseBestimmung der Winkel BearbeitenElementargeometrisch Bearbeiten Auf der langsten Seite von D displaystyle Delta nbsp tragt man ggf ausgehend von dem Eckpunkt mit dem kleineren Winkel die kurzeste Seite ab und verbindet den so entstehenden Abtragungspunkt mit dem gegenuberliegenden Eckpunkt Auf diese Weise wird D displaystyle Delta nbsp in zwei Teildreiecke D 1 displaystyle Delta 1 nbsp und D 2 displaystyle Delta 2 nbsp zerlegt Mit den Ahnlichkeitssatzen ergibt sich dass entweder D 1 displaystyle Delta 1 nbsp oder D 2 displaystyle Delta 2 nbsp zu D displaystyle Delta nbsp ahnlich ist Daraus zieht man die Folgerung dass die Innenwinkelsumme gleich dem Funffachen des kleinsten Winkels ist Folglich ist einer der Winkel gleich 36 displaystyle 36 circ nbsp Ist dies der Winkel an der Spitze von D displaystyle Delta nbsp so ist D displaystyle Delta nbsp ein Goldenes Dreieck erster Art Ist es ein Basiswinkel so ist D displaystyle Delta nbsp ein Goldenes Dreieck zweiter Art Mit dem Innenwinkelsummensatz ergibt sich dann dass im ersten Fall das Innenwinkeltripel gleich 72 72 36 displaystyle 72 circ 72 circ 36 circ nbsp sein muss im zweiten Fall dagegen allein 36 36 108 displaystyle 36 circ 36 circ 108 circ nbsp in Frage kommt 4 5 Trigonometrisch Bearbeiten Goldenes Dreieck erster Art Bearbeiten Ist D A B C displaystyle Delta ABC nbsp ein solches mit Grundseite A B displaystyle AB nbsp und Schenkeln A C displaystyle AC nbsp und B C displaystyle BC nbsp so bedeutet dies fur a A C B C displaystyle a overline AC overline BC nbsp und c A B displaystyle c overline AB nbsp c a 5 1 2 displaystyle frac c a frac sqrt 5 1 2 nbsp Ist nun a displaystyle alpha nbsp der Basiswinkel bei A displaystyle A nbsp und g displaystyle gamma nbsp der Winkel an der Spitze C displaystyle C nbsp von D displaystyle Delta nbsp so erhalt man cos a c 2 a 5 1 4 displaystyle cos alpha frac c 2 cdot a frac sqrt 5 1 4 nbsp und weiter a 72 displaystyle alpha 72 circ nbsp und schliesslich mit dem Innenwinkelsummensatz g 36 displaystyle gamma 36 circ nbsp Goldenes Dreieck zweiter Art Bearbeiten Mit den gleichen Uberlegungen wie oben erhalt man a c 5 1 2 displaystyle frac a c frac sqrt 5 1 2 nbsp und weiter cos a c 2 a 1 2 c a 1 2 2 5 1 1 5 1 5 1 4 displaystyle cos alpha frac c 2 cdot a frac 1 2 cdot frac c a frac 1 2 cdot frac 2 sqrt 5 1 frac 1 sqrt 5 1 frac sqrt 5 1 4 nbsp und damit a 36 displaystyle alpha 36 circ nbsp und schliesslich mit dem Innenwinkelsummensatz g 108 displaystyle gamma 108 circ nbsp Charakterisierung Bearbeiten Die Goldenen Dreiecke sind exakt diejenigen gleichschenkligen Dreiecke die einen Winkel von 36 displaystyle 36 circ nbsp enthalten Konstruktion BearbeitenEuklid von Alexandria beschrieb in seinem Werk Die Elemente ein spezielles gleichschenkliches Triangel 6 heute bekannt als das Goldene Dreieck Dieses Dreieck findet sich wieder in seiner Beschreibung fur ein gleichseitiges und gleichwinkliches Pentagon 7 mit einem gegebenen Umkreis Ausgangssituation ist eine beliebige Strecke A B displaystyle overline AB nbsp die im Verhaltnis des Goldenen Schnitts zu teilen ist Hierzu verwendet man die sogenannte innere Teilung Entsprechend dem obigen Bild Goldene Dreiecke erster und zweiter Art ergeben sich dabei der Schnittpunkt X displaystyle X nbsp und damit die beiden Abschnitte A X displaystyle AX nbsp und B X displaystyle BX nbsp Um die beiden Goldenen Dreiecke erster und zweiter Art zu finden bedarf es noch des Punktes C displaystyle C nbsp mit seinen gleichen Abstanden zu den Punkten B displaystyle B nbsp und X displaystyle X nbsp Nach dem Verbinden der Punkte A X displaystyle A X nbsp und B displaystyle B nbsp mit dem Punkt C displaystyle C nbsp entsteht das Goldene Dreieck erster Art X B C displaystyle XBC nbsp sowie das Goldene Dreieck zweiter Art A X C displaystyle AXC nbsp nbsp Goldene Dreiecke erster und zweiter Art auch D A B C displaystyle Delta ABC nbsp ist ein Goldenes Dreieck erster Art Animation sieheBildende Kunst BearbeitenDas kunstlerische Bild Dreiecke im Goldenen Schnitt Pigmente Acryl auf Leinwand erstellt von Irene Schramm Biermann zeigt bei genauer Betrachtung auch eine dunn eingezeichnete spiralformige Linie Sie entspringt aus dem kleinsten gelben Dreieck und ist eine logarithmischen Spirale Fur den Betrachter bleibt offen Wurde mithilfe der logarithmischen Spirale das goldene Dreieck geformt oder wurde anhand eines goldenen Dreiecks die logarithmische Spirale bestimmt Beides ist moglich 8 nbsp Dreiecke im Goldenen SchnittVorkommen BearbeitenDie oben beschriebene Zerlegung von D displaystyle Delta nbsp in die Teildreiecke D 1 displaystyle Delta 1 nbsp und D 2 displaystyle Delta 2 nbsp liefert beide Formen des Goldenen Dreiecks Beide Formen treten also stets gemeinsam auf 9 Sie ergeben sich regelmassig bei der Konstruktion mit Zirkel und Lineal von regularem Funfeck und regularem Zehneck Die Winkel 36 displaystyle 36 circ nbsp 72 displaystyle 72 circ nbsp und 108 displaystyle 108 circ nbsp sind also allein mit Zirkel und Lineal konstruierbar 10 Anschauungsbeispiele fur das Vorkommen Goldener Dreiecke im regelmassigen Funfeck Bearbeiten nbsp Das grosse Goldene Dreieck erster Art grun blau lasst sich zerlegen in ein Goldenes Dreieck erster Art grun und ein Goldenes Dreieck zweiter Art blau nbsp Das grosse Goldene Dreieck zweiter Art grun blau lasst sich zerlegen in ein Goldenes Dreieck erster Art grun und ein Goldenes Dreieck zweiter Art blau Parkettierung eines regelmassigen Zehnecks mit goldenen Dreiecken Bearbeiten Es gibt zahlreiche Moglichkeiten ein Zehneck mit Goldenen Dreiecken zu parkettieren Die folgenden Beispiele zeigen Parkettierungsmoglichkeiten mit Goldenen Dreiecken erster Art spitzwinklig und Goldenen Dreiecken zweiter Art stumpfwinklig nbsp Links und rechts besteht die Parkettierung aus jeweils 10 Goldenen Dreiecken erster und 10 Goldenen Dreiecken zweiter Art und in der Mitte aus 20 Goldenen Dreiecken erster Art und 10 Goldenen Dreiecken zweiter Art 11 Literatur BearbeitenSiegfried Krauter Erlebnis Elementargeometrie Spektrum Akademischer Verlag Munchen 2005 ISBN 3 8274 1644 2 Theophil Lambacher Wilhelm Schweizer Hrsg Lambacher Schweizer Mathematisches Unterrichtswerk fur hohere Schulen Geometrie Ausgabe E Teil 2 13 Auflage Ernst Klett Verlag Stuttgart 1965 Mario Livio The Golden Ratio The Story of Phi the World s Most Astonishing Number Broadway Books New York 2003 ISBN 0 7679 0816 3 Weblinks Bearbeiten nbsp Commons Goldenes Dreieck Mathematik Sammlung von Bildern Videos und AudiodateienEinzelnachweise Bearbeiten Krauter S 200 In englischsprachigen Quellen vgl etwa Livio The Golden Ratio S 79 versteht man unter Golden Triangle allein das Goldene Dreieck erster Art wahrend fur das Goldene Dreieck zweiter Art die Bezeichnung Golden Gnomon von Gnomon altgriechisch gnwmwn gleichbedeutend mit Zeiger an der Sonnenuhr gelaufig ist Lambacher Schweizer S 165 Krauter S 199 200 Lambacher Schweizer S 165 Johann Friedrich Lorenz Euklids Elemente funfzehn Bucher Hrsg Im Verlag der Buchhandlung des Waysenhauses Halle 1781 S 61 ff Euklids Elemente Viertes Buch Der 10 Satz Seite 61 Einen gleichschenklichen Triangel zu beschreiben Seite 62 Es sey eine gerade Linie AB abgerufen am 18 Dezember 2016 Johann Friedrich Lorenz Euklids Elemente funfzehn Bucher Hrsg Im Verlag der Buchhandlung des Waysenhauses Halle 1781 S 62 ff Euklids Elemente Viertes Buch Der 11 Satz In einem gegebnen Cirkel ABCDE ein gleichseitiges und gleichwinkliches Pentagon abgerufen am 18 Dezember 2016 Carsten Stohn Sebastian Neumann Tobias Hogel 8 2 Spira mirabilis Projekt fur Theoretische Mathematik Spiralen in Naturwissenschaft Technik und Kunst Universitat Freiburg 2002 abgerufen am 27 Marz 2021 Livio S 79 Krauter S 201 Heinz Klaus Strick Kunterbunte Mathematik Springer Verlag GmbH Berlin 2023 ISBN 978 3 662 67312 6 S 176 177 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Goldenes Dreieck Geometrie amp oldid 238889297