Verallgemeinerter Logarithmus Als verallgemeinerter Logarithmus und verallgemeinerte Exponentialfunktion werden speziell

Verallgemeinerter Logarithmus

Als verallgemeinerter Logarithmus und verallgemeinerte Exponentialfunktion werden spezielle Funktionen bezeichnet, welche ähnliche Wachstumseigenschaften und Beziehungen zueinander haben wie Logarithmus und Exponentialfunktion und über bestimmte Funktionalgleichungen iterativ von einem Intervall auf der reellen Achse ausgehend definiert werden.

Eingeführt wurden sie 1986 durch Charles William Clenshaw, Daniel W. Lozier, Frank W. J. Olver und Peter R. Turner, wenn es auch Vorgänger in der Literatur gibt. Die Hauptanwendung ist in der Gleitkomma-Arithmetik.

Definition Bearbeiten

Eine verallgemeinerte Exponentialfunktion erfüllt folgende drei Bedingungen:

Dabei ist wie üblich die gewöhnliche Exponentialfunktion (und ist im Folgenden der natürliche Logarithmus, die Eulersche Zahl).

ist streng monoton zunehmend von zu wenn von bis zunimmt und besitzt damit eine Inverse auf , den zugehörigen verallgemeinerten Logarithmus .

Für den verallgemeinerten Logarithmus gilt:

Die Werte an den ganzzahligen Stellen sind gleich: , , usw. Wie bei der Gammafunktion kann die vollständige Funktion aus den Werten an den ganzzahligen Stellen konstruiert werden.

Die Lösung ist aber nicht eindeutig, sondern hängt von der Wahl des Wachstums im Interval ab. Die einfachste Wahl besteht darin, dass man vorgibt:

Das entspricht auch der hauptsächlichen Anwendungen in der Gleitkommaarithmetik (siehe unten). Dann folgt:

und allgemein nach -facher Iteration:

Analog für den Logarithmus:

und allgemein nach -facher Iteration (mit der -fachen Iteration des gewöhnlichen Logarithmus):

und ein , dass durch bestimmt ist.

Die erste Ableitung von ist stetig bei , die zweite Ableitung hat einen Sprung von auf (entsprechend an den anderen ganzzahligen Stellen).

Anwendung Bearbeiten

Die Funktionen finden Anwendung in einer Darstellung reeller Zahlen für die Präzisionsarithmetik im Computer, die als Level-Index-Arithmetik (LI) bezeichnet wird und von Clenshaw und Olver 1984 eingeführt wurde. In der Gleitkommaarithmetik muss ein Kompromiss zwischen Präzision und der Möglichkeit der Darstellung sehr großer Zahlen gefunden werden. In der LI werden Zahlen durch Iteration der Exponentialfunktion dargestellt, wobei der Iterationsgrad als Stufe (Level) bezeichnet wird.

Der Exponent ist der Index. Beispiel: : wird dargestellt als

Literatur Bearbeiten

C. W. Clenshaw, D. W. Lozier, F. W. J. Olver, P. R. Turner: Generalized exponential and logarithmic functions. In: Computers & Mathematics with Applications. Band 12, Nr. 5–6, 1986, S. 1091–1101, doi:10.1016/0898-1221(86)90233-6.
C. W. Clenshaw, F. W. J. Olver, P. R. Turner: Level-index arithmetic: An introductory survey, in: Turner (Hrsg.), Numerical Analysis and Parallel Processing. Lecture Notes in Mathematics. 1397, 1989, S. 95–168.

Hellmuth Kneser: Reelle analytische Lösungen der Gleichung und verwandter Funktionalgleichungen. In: J. Reine Angew. Math. Band 187, 1950, ISSN 0075-4102, S. 56–67 (uni-goettingen.de).

Einzelnachweise Bearbeiten

Generalized Logarithms and Exponentials. Abgerufen am 6. Juni 2018 (englisch).
Peter Walker: Infinitely Differentiable Generalized Logarithmic and Exponential Functions. In: Mathematics of Computation. Band 54, Nr. 196, 1991, S. 723–733 (eretrandre.org [PDF]).
Clenshaw u. a., Computers & Mathematics with Applications, Band 12, 1986, S. 1091
Clenshaw, Olver, Beyond floating point arithmetic, Journal of the Association for Computing Machinery, Band 31, 1984, S. 319–328

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Veröffentlichungsdatum: November 27, 2023, 20:23 pm

Als verallgemeinerter Logarithmus und verallgemeinerte Exponentialfunktion werden spezielle Funktionen bezeichnet welche ahnliche Wachstumseigenschaften und Beziehungen zueinander haben wie Logarithmus und Exponentialfunktion und uber bestimmte Funktionalgleichungen iterativ von einem Intervall auf der reellen Achse ausgehend definiert werden Eingefuhrt wurden sie 1986 durch Charles William Clenshaw Daniel W Lozier Frank W J Olver und Peter R Turner wenn es auch Vorganger in der Literatur gibt Die Hauptanwendung ist in der Gleitkomma Arithmetik Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Anwendung 3 Literatur 4 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenEine verallgemeinerte Exponentialfunktion erfullt folgende drei Bedingungen 1 2 3 ϕ x 1 e ϕ x displaystyle phi x 1 e phi x nbsp fur 1 lt x lt displaystyle 1 lt x lt infty nbsp ϕ 0 0 displaystyle phi 0 0 nbsp ϕ x displaystyle phi x nbsp ist streng monoton steigend fur 0 x 1 displaystyle 0 leq x leq 1 nbsp Dabei ist e x displaystyle e x nbsp wie ublich 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leq e nbsp und allgemein nach l displaystyle l nbsp facher Iteration mit ln l x displaystyle ln l x nbsp der l displaystyle l nbsp fachen Iteration des gewohnlichen Logarithmus ps x l ln l x displaystyle psi x l ln l x nbsp fur l x displaystyle l leq x nbsp und ein l displaystyle l nbsp dass durch 0 ln l x lt 1 displaystyle 0 leq ln l x lt 1 nbsp bestimmt ist Die erste Ableitung von ϕ x displaystyle phi x nbsp ist stetig bei x 1 displaystyle x 1 nbsp die zweite Ableitung hat einen Sprung von 0 displaystyle 0 nbsp auf 1 displaystyle 1 nbsp entsprechend an den anderen ganzzahligen Stellen Anwendung BearbeitenDie Funktionen finden Anwendung in einer Darstellung reeller Zahlen fur die Prazisionsarithmetik im Computer die als Level Index Arithmetik LI bezeichnet wird und von Clenshaw und Olver 1984 eingefuhrt wurde 4 In der Gleitkommaarithmetik muss ein Kompromiss zwischen Prazision und der Moglichkeit der Darstellung sehr grosser Zahlen gefunden werden In der LI werden Zahlen durch Iteration der Exponentialfunktion dargestellt wobei der Iterationsgrad als Stufe Level l displaystyle l nbsp bezeichnet wird x e e e e f displaystyle x e e e e f nbsp Der Exponent 0 f lt 1 displaystyle 0 leq f lt 1 nbsp ist der Index Beispiel x 1234567 e e e 0 9711308 displaystyle x 1234567 e e e 0 9711308 nbsp wird dargestellt als x l f 3 0 9711308 3 9711308 displaystyle x l f 3 0 9711308 3 9711308 nbsp Literatur BearbeitenC W Clenshaw D W Lozier F W J Olver P R Turner Generalized exponential and logarithmic functions In Computers amp Mathematics with Applications Band 12 Nr 5 6 1986 S 1091 1101 doi 10 1016 0898 1221 86 90233 6 C W Clenshaw F W J Olver P R Turner Level index arithmetic An introductory survey in Turner Hrsg Numerical Analysis and Parallel Processing Lecture Notes in Mathematics 1397 1989 S 95 168 Hellmuth Kneser Reelle analytische Losungen der Gleichung f f x e x displaystyle varphi varphi x e x nbsp und verwandter Funktionalgleichungen In J Reine Angew Math Band 187 1950 ISSN 0075 4102 S 56 67 uni goettingen de Einzelnachweise Bearbeiten Generalized Logarithms and Exponentials Abgerufen am 6 Juni 2018 englisch Peter Walker Infinitely Differentiable Generalized Logarithmic and Exponential Functions In Mathematics of Computation Band 54 Nr 196 1991 S 723 733 eretrandre org PDF Clenshaw u a Computers amp Mathematics with Applications Band 12 1986 S 1091 Clenshaw Olver Beyond floating point arithmetic Journal of the Association for Computing Machinery Band 31 1984 S 319 328 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Verallgemeinerter Logarithmus amp oldid 178889716