Als äquivalente Normen bezeichnet man in der Mathematik ein Paar von abstrahierten Abstandsbegriffen, sogenannten Normen, die identische Konvergenzbegriffe erzeugen. Etwas detaillierter unterscheidet man in stärkere Normen (synonym auch feinere Normen genannt) und schwächere Normen (synonym auch gröbere Normen genannt) und nennt zwei Normen äquivalent, wenn sie sowohl stärker als auch schwächer als ihr Gegenstück sind.
Definition Bearbeiten
Gegeben sei ein Vektorraum über (in den meisten Fällen oder ), auf dem zwei Normen und definiert sind.
Dann heißt, stärker oder feiner als , wenn eine positive Zahl existiert, sodass
ist. Entsprechend wird dann auch schwächer oder gröber als genannt.
Die Normen und heißen äquivalent, wenn es positive Zahlen gibt, sodass
gilt. Zwei Normen sind somit äquivalent, wenn stärker ist als und stärker ist als .
Beispiele Bearbeiten
Endlichdimensional Bearbeiten
Gegeben sei der , versehen mit der Maximumsnorm und der Summennorm
Dann ist wegen auch immer
Somit ist
demnach ist die Maximumsnorm stärker als die Summennorm. Umgekehrt ist immer
da der betragsgrößte Eintrag eines Vektors nie größer ist als die Summe der Beträge aller Einträge des Vektors. Somit ist die Summennorm stärker als die Maximumsnorm. Insgesamt gilt dann
Maximumsnorm und Summennorm im sind also äquivalent. Tatsächlich lässt sich zeigen, dass auf beliebigen endlichdimensionalen Vektorräumen alle Normen äquivalent sind.
Unendlichdimensional Bearbeiten
Betrachtet man den Vektorraum der reellwertigen stetigen Funktionen auf dem abgeschlossenen Intervall von null bis eins, so lassen sich zwei Normen definieren:
- Einerseits die Supremumsnorm , die aufgrund der Beschränktheit stetiger Funktionen auf dem kompakten Intervall wohldefiniert ist.
- Andererseits sind stetige Funktionen in diesem Kontext immer messbar und wegen ihrer Beschränktheit im Lp-Raum enthalten. Somit lässt sich auch die L1-Norm
Das Integral lässt sich nach oben aber immer durch den größtmöglichen Funktionswert abschätzen, es gilt hier also
und somit
Die Supremumsnorm ist also stärker als die L1-Norm.
Die beiden Normen sind jedoch nicht äquivalent: Beispielsweise gilt für die durch mit definierten Funktionen und . Es kann also keine Konstante mit für alle Funktionen in geben.
Interpretation Bearbeiten
Sind zwei Normen und gegeben und ist stärker als , etwa , so gilt für Normkugeln die Beziehung
Damit ist auch geometrisch-anschaulich klar, dass eine Konvergenz bzgl. die Konvergenz bzgl. nach sich zieht, denn wenn die Differenzen in kleinen -Kugeln liegen, so liegen sie auch in (bis auf einen konstanten Faktor ) kleinen -Kugeln.
Die Äquivalenz der Normen bedeutet nun, dass sowohl stärker als ist als auch, dass stärker als ist. Nach dem obigen Argument konvergiert demnach eine Folge bezüglich genau dann, wenn sie bezüglich konvergiert.
Eigenschaften Bearbeiten
- Ist die Norm stärker als , so gilt für die erzeugten Metriken
- Analog gilt: Ist stärker als , so ist die von erzeugte Topologie feiner bzw. stärker als die von erzeugte Topologie.
- In endlichdimensionalen Vektorräumen sind alle Normen äquivalent.
Literatur Bearbeiten
- Hans Wilhelm Alt: Lineare Funktionalanalysis. 6. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/ Heidelberg 2012, ISBN 978-3-642-22260-3, doi:10.1007/978-3-642-22261-0.
- Dirk Werner: Funktionalanalysis. 7., korrigierte und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Heidelberg/ Dordrecht/ London/ New York 2011, ISBN 978-3-642-21016-7, doi:10.1007/978-3-642-21017-4.