Der Dirac-Kamm (auch Dirac-Stoß-Folge oder Schah-Funktion) beschreibt eine periodische Folge von Dirac-Stößen. Anschaulich besitzt er die Form eines Kamms und wird wegen dieser Ähnlichkeit auch häufig mit dem kyrillischen Buchstaben Ш (Schah) symbolisiert.
Anwendung findet der Dirac-Kamm in der Mathematik und der Signalverarbeitung mittels Fourier-Analysis.
Definition Bearbeiten
Der Dirac-Kamm stellt eine periodische temperierte Distribution dar, die von der diracschen Delta-Distribution Gebrauch macht.
für eine Periode . Anschaulich ist der Dirac-Kamm also aus unendlich vielen Dirac-Stößen zusammengesetzt, die im Abstand zueinander stehen.
Für die Anwendung des Dirac-Kamms auf eine Testfunktion gilt
Fourier-Transformation des Dirac-Kamms Bearbeiten
Die Poissonsche Summenformel besagt, dass der Dirac-Kamm (der Periode 1) ein Fixpunkt der Fourier-Transformation ist. Allgemeiner gilt
wobei für die kontinuierliche Fourier-Transformation die in der Literatur zur Signalverarbeitung übliche Konvention
verwendet wird.
Abtastung und Alias-Effekte Bearbeiten
Mit Hilfe des Dirac-Kamms lässt sich das Abtasten einer Funktion mathematisch durch Multiplikation mit der abzutastenden Funktion beschreiben:
Die Multiplikation eines glatten, schnellfallenden kontinuierlichen Signals mit einem Dirac-Kamm ist das Modell eines idealen Abtasters (engl.: sampler) mit der Abtastrate T.
In der Theorie der Signalverarbeitung stellt der Dirac-Kamm ein elegantes Hilfsmittel dar, um das Nyquist-Shannon-Abtasttheorem zu beweisen und störende Alias-Effekte zu verstehen.
Literatur Bearbeiten
- Hans Dieter Lüke: Signalübertragung. 11. Auflage. Springer, 2010, ISBN 978-3-642-10199-1.