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UMD Raum Ein von englisch unconditional martingale difference space ist in der Funktionalanalysis und der stochastischen

UMD-Raum

Ein UMD-Raum (von englisch unconditional martingale difference space) ist in der Funktionalanalysis und der stochastischen Analysis ein Banach-Raum, in dem alle Martingal-Differenzenfolgen eines beliebigen endlichen Martingals unbedingt konvergente Reihen sind. Solche Räume besitzen viele der guten Eigenschaften eines Hilbert-Raumes und Martingal-Differenzfolgen teilen Eigenschaften von orthogonalen Folgen. Man sagt, dass Banach-Räume die UMD-Eigenschaft besitzen, wenn sie UMD-Räume sind.

Der Begriff wurde von den französischen Mathematiker Bernard Maurey und Gilles Pisier eingeführt. Motivation war es, eine genügend große Klasse von Banach-Räumen zu finden, so dass auch klassische Banach-Räume wie die Lp-Räume für enthalten sind, die Räume sich aber trotzdem wie Hilbert-Räume verhalten, deshalb lassen sich viele der Aussagen für Hilbert-Räume direkt auf UMD-Räume übertragen. Obwohl der UMD-Raum eine probabilistische Definition hat, stellt sich heraus, dass die UMD-Eigenschaft zu einigen analytischen Eigenschaften äquivalent ist, wie zum Beispiel, dass die Hilbert-Transformation auf beschränkt ist.

Um den Begriff des UMD-Raumes zu definieren, führt man zuerst den UMD-Raum für ein ein. Ein tiefes Resultat von Maurey und Pisier sagt dann, dass ein Banach-Raum, der ein UMD-Raum für ein bestimmtes ist, auch ein UMD-Raum für alle anderen ist. Deshalb spricht man häufig nur von UMD-Räumen.

Mit Hilfe von UMD-Räumen lässt sich die Itô-Isometrie auf Banach-Räume erweitern und folglich ergibt sich eine Theorie der stochastischen Integration bezüglich einer brownschen Bewegung für Banach-wertige Zufallsvariablen.

UMD-Raum Bearbeiten

Sei ein Wahrscheinlichkeitsraum mit Filtration und ein Banach-Raum. Mit meinen wir .

Grundbegriffe Bearbeiten

konvergiert.
  • Sei ein -wertiges -adaptiertes Martingal. ist ein -Martingal, falls für alle , das bedeutet
  • Für ein Martingal ist die Martingal-Differenzfolge definiert als
mit . Ist ein -Martingal, dann nennt man eine -Martingal-Differenzfolge.

Definition Bearbeiten

Sei eine Folge mit für alle .

Ein Banach-Raum ist ein UMDp-Raum, falls für ein eine Konstante existiert, so dass für alle -wertigen -Martingale-Differenzfolgen mit und alle die folgende Ungleichung gilt

Erläuterungen Bearbeiten

  • Die in der Gleichung benützte Norm ist die Norm von . Analog lässt sich die Gleichung auch mittels der -Norm schreiben.
  • Die bilden eine unbedingt konvergente Basis in .
  • Ersetzt man mit erhält man die Umgekehrte-Gleichung
  • Der Wahrscheinlichkeitsraum lässt sich durch einen beliebigen σ-endlichen Raum ersetzen.

p-Unabhängigkeit Bearbeiten

Falls ein UMD-Raum für ein ist, dann ist auch ein UMD-Raum für alle .

Eigenschaften Bearbeiten

  • Alle UMD-Räume sind reflexiv. Sie sind sogar super-reflexiv.
  • Alle UMD-Räume sind K-konvex.

Beziehung zu singulären Integraloperatoren Bearbeiten

Eine rein analytische Charakterisierung der UMD-Räume über die Hilbert-Transformation stammt von Burkholder () und Bourgain (). Sei eine beliebiger UMD-Raum und der Torus. Dann bewiesen sie, dass die UMD-Räume gerade diejenigen Räume sind, auf denen

und somit sind sie auch für alle beschränkt.

Existenz einer symmetrischen, bikonvexen Funktion Bearbeiten

Folgendes ist äquivalent:

  1. ist ein UMD-Raum
  2. Es existiert eine symmetrische, bikonvexe Funktion auf , so dass und falls

Beispiele Bearbeiten

Folgende Räume sind u. a. UMD-Räume:

Räume ohne UMD-Eigenschaft Bearbeiten

  • Alle nicht-reflexiven Räume (, usw. für ein σ-endlicher Raum )

Literatur Bearbeiten

  • Tuomas Hytönen, Jan van Neerven, Mark Veraar und Lutz Weis: Analysis in Banach Spaces : Volume I: Martingales and Littlewood-Paley Theory. Hrsg.: Springer International Publishing. Cham 2016, ISBN 978-3-319-48520-1, S. 267–372, doi:10.1007/978-3-319-48520-1_4.
  • Gilles Pisier: Martingales in Banach Spaces. In: Cambridge University Press (Hrsg.): Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 2016, S. 151–217, doi:10.1017/CBO9781316480588.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. ↑ Tuomas Hytönen, Jan van Neerven, Mark Veraar und Lutz Weis: Analysis in Banach Spaces : Volume I: Martingales and Littlewood-Paley Theory. Hrsg.: Springer International Publishing. Cham 2016, ISBN 978-3-319-48520-1, S. 267–372, doi:10.1007/978-3-319-48520-1_4.
  2. J. M. A. M. van Neerven, M. C. Veraar und L. Weis: Stochastic integration in UMD Banach spaces. In: Institute of Mathematical Statistics (Hrsg.): The Annals of Probability. Band 35, Nr. 4, 2007, S. 1438 - 1478, doi:10.1214/009117906000001006.
  3. Zdzislaw Brzezniak, Jan van Neerven, Mark Veraar und Lutz Weis: Itô's formula in UMD Banach spaces and regularity of solution of the Zaka equation. In: Journal of Differential Equations. Band 245, Nr. 1, 2008, S. 30–58, doi:10.1016/j.jde.2008.03.026.
  4. Burkholder, D.L.: A geometric condition that implies the existence of certain singular integrals of Banach-space-valued functions. In: Conference on Harmonic Analysis in Honor of Antoni Zygmund, vol. I, II (Chicago, Ill., 1981), pp. 270–286, Wadsworth Math. Ser., Wadsworth (1983)
  5. ↑ J. Bourgain: Some remarks on Banach spaces in which martingale difference sequences are unconditional. In: Ark. Mat. Band 21, Nr. 1-2, 198, S. 163 - 168, doi:10.1007/BF02384306.
  6. Tuomas Hytönen, Jan van Neerven, Mark Veraar und Lutz Weis: Analysis in Banach Spaces : Volume I: Martingales and Littlewood-Paley Theory. Hrsg.: Springer International Publishing. Cham 2016, ISBN 978-3-319-48520-1, S. 356, doi:10.1007/978-3-319-48520-1_4.
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Ein UMD Raum von englisch unconditional martingale difference space ist in der Funktionalanalysis und der stochastischen Analysis ein Banach Raum in dem alle Martingal Differenzenfolgen eines beliebigen endlichen Martingals unbedingt konvergente Reihen sind Solche Raume besitzen viele der guten Eigenschaften eines Hilbert Raumes und Martingal Differenzfolgen teilen Eigenschaften von orthogonalen Folgen Man sagt dass Banach Raume die UMD Eigenschaft besitzen wenn sie UMD Raume sind Der Begriff wurde von den franzosischen Mathematiker Bernard Maurey und Gilles Pisier eingefuhrt Motivation war es eine genugend grosse Klasse von Banach Raumen zu finden so dass auch klassische Banach Raume wie die Lp Raume fur 1 lt p lt displaystyle 1 lt p lt infty enthalten sind die Raume sich aber trotzdem wie Hilbert Raume verhalten deshalb lassen sich viele der Aussagen fur Hilbert Raume direkt auf UMD Raume ubertragen Obwohl der UMD Raum eine probabilistische Definition hat stellt sich heraus dass die UMD Eigenschaft zu einigen analytischen Eigenschaften aquivalent ist wie zum Beispiel dass die Hilbert Transformation auf L p displaystyle L p beschrankt ist Um den Begriff des UMD Raumes zu definieren fuhrt man zuerst den UMDp displaystyle p Raum fur ein p 1 displaystyle p in 1 infty ein Ein tiefes Resultat von Maurey und Pisier sagt dann dass ein Banach Raum der ein UMDp displaystyle p Raum fur ein bestimmtes p displaystyle p ist auch ein UMDq displaystyle q Raum fur alle anderen q 1 displaystyle q in 1 infty ist Deshalb spricht man haufig nur von UMD Raumen 1 Mit Hilfe von UMD Raumen lasst sich die Ito Isometrie auf Banach Raume erweitern und folglich ergibt sich eine Theorie der stochastischen Integration bezuglich einer brownschen Bewegung fur Banach wertige Zufallsvariablen 2 3 Inhaltsverzeichnis 1 UMD Raum 1 1 Grundbegriffe 1 2 Definition 1 2 1 Erlauterungen 1 3 p Unabhangigkeit 1 4 Eigenschaften 1 4 1 Beziehung zu singularen Integraloperatoren 1 4 2 Existenz einer symmetrischen bikonvexen Funktion 2 Beispiele 2 1 Raume ohne UMD Eigenschaft 3 Literatur 4 EinzelnachweiseUMD Raum BearbeitenSei W F P displaystyle Omega mathcal F P nbsp ein Wahrscheinlichkeitsraum mit Filtration F displaystyle mathbb F nbsp und E E displaystyle E cdot E nbsp ein Banach Raum Mit X L p W E displaystyle X in L p Omega E nbsp meinen wir E X E p lt displaystyle mathbb E X E p lt infty nbsp Grundbegriffe Bearbeiten Eine Reihe n 1 x n displaystyle sum n 1 infty x n nbsp heisst unbedingt konvergent falls fur jede Folge e n n 1 displaystyle left varepsilon n right n 1 infty nbsp mit e n 1 1 displaystyle varepsilon n in 1 1 nbsp die Reihe n 1 e n x n displaystyle sum n 1 infty varepsilon n x n nbsp dd konvergiert Sei M n n N displaystyle M n n in N nbsp ein E displaystyle E nbsp wertiges F displaystyle mathbb F nbsp adaptiertes Martingal M n n N displaystyle M n n in N nbsp ist ein L p displaystyle L p nbsp Martingal falls M n L p W E displaystyle M n in L p Omega E nbsp fur alle n 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Differenzfolgen d M n n 1 N displaystyle dM n n 1 N nbsp mit N N displaystyle N in mathbb N nbsp und alle e n n N displaystyle varepsilon n n in mathbb N nbsp die folgende Ungleichung gilt E n 1 N e n d M n E p b p E n 1 N d M n E p displaystyle mathbb E left bigg sum limits n 1 N varepsilon n dM n bigg E p right leq beta p mathbb E left bigg sum limits n 1 N dM n bigg E p right nbsp 1 Erlauterungen Bearbeiten Die in der Gleichung benutzte Norm ist die Norm von E displaystyle E nbsp Analog lasst sich die Gleichung auch mittels der L p displaystyle L p nbsp Norm X L p W E E X E p 1 p displaystyle X L p Omega E mathbb E X E p 1 p nbsp schreiben Die d M n displaystyle dM n nbsp bilden eine unbedingt konvergente Basis in L p displaystyle L p nbsp Ersetzt man d M n displaystyle dM n nbsp mit e n d M n displaystyle varepsilon n dM n nbsp erhalt man die Umgekehrte Gleichung E n 1 N d M n E p b p E n 1 N e n d M n E p displaystyle mathbb E left bigg sum limits n 1 N dM n bigg E p right leq 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S displaystyle L 1 S nbsp C S displaystyle C S nbsp usw fur ein s endlicher Raum S S m displaystyle S Sigma mu nbsp Literatur BearbeitenTuomas Hytonen Jan van Neerven Mark Veraar und Lutz Weis Analysis in Banach Spaces Volume I Martingales and Littlewood Paley Theory Hrsg Springer International Publishing Cham 2016 ISBN 978 3 319 48520 1 S 267 372 doi 10 1007 978 3 319 48520 1 4 Gilles Pisier Martingales in Banach Spaces In Cambridge University Press Hrsg Cambridge Studies in Advanced Mathematics 2016 S 151 217 doi 10 1017 CBO9781316480588 Einzelnachweise Bearbeiten a b Tuomas Hytonen Jan van Neerven Mark Veraar und Lutz Weis Analysis in Banach Spaces Volume I Martingales and Littlewood Paley Theory Hrsg Springer International Publishing Cham 2016 ISBN 978 3 319 48520 1 S 267 372 doi 10 1007 978 3 319 48520 1 4 J M A M van Neerven M C Veraar und L Weis Stochastic integration in UMD Banach spaces In Institute of Mathematical Statistics Hrsg The Annals of Probability Band 35 Nr 4 2007 S 1438 1478 doi 10 1214 009117906000001006 Zdzislaw Brzezniak Jan van Neerven Mark Veraar und Lutz Weis Ito s formula in UMD Banach spaces and regularity of solution of the Zaka equation In Journal of Differential Equations Band 245 Nr 1 2008 S 30 58 doi 10 1016 j jde 2008 03 026 Burkholder D L A geometric condition that implies the existence of certain singular integrals of Banach space valued functions In Conference on Harmonic Analysis in Honor of Antoni Zygmund vol I II Chicago Ill 1981 pp 270 286 Wadsworth Math Ser Wadsworth 1983 a b J Bourgain Some remarks on Banach spaces in which martingale difference sequences are unconditional In Ark Mat Band 21 Nr 1 2 198 S 163 168 doi 10 1007 BF02384306 Tuomas Hytonen Jan van Neerven Mark Veraar und Lutz Weis Analysis in Banach Spaces Volume I Martingales and Littlewood Paley Theory Hrsg Springer International Publishing Cham 2016 ISBN 978 3 319 48520 1 S 356 doi 10 1007 978 3 319 48520 1 4 Abgerufen von https de wikipedia org w index php 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