Die beschränkte schwach-*-Topologie, kurz bw*-Topologie (nach der englischen Bezeichnung "bounded weak* topology"), ist eine im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersuchte Topologie auf dem Dualraum eines normierten Raums. Sie ist eng mit der schwach-*-Topologie verbunden.
Definition Bearbeiten
Sei ein normierter Raum und sein Dualraum. Die bw*-Topologie ist die feinste Topologie auf , deren Relativtopologie auf allen beschränkten Mengen mit der schwach-*-Topologie übereinstimmt.
Definiert man zu jeder beschränkten Menge die Inklusion , so ist die bw*-Topologie die Finaltopologie der Abbildungen . Eine Menge ist genau dann bw*-offen, wenn der Durchschnitt für alle beschränkten Mengen relativ schwach-*-offen ist.
Basis der bw*-Topologie Bearbeiten
Die hier beschriebene Basis der bw*-Topologie geht auf Jean Dieudonné zurück. Ist ein normierter Raum, ein Element des Dualraums und eine Nullfolge in , so sei
Diese Mengen bilden eine Umgebungsbasis offener Mengen von . Da diese Mengen offenbar konvex sind, ist die bw*-Topologie eine lokalkonvexe Hausdorff-Topologie. Ist eine Nullfolge, so ist durch
eine Halbnorm auf definiert und die bw*-Topologie ist genau die von diesen Halbnormen erzeugte lokalkonvexe Topologie.
Vollständigkeit Bearbeiten
Ist ein normierter Raum, so ist der Dualraum mit der bw*-Topologie vollständig, das heißt jedes bw*-Cauchy-Netz konvergiert. Genauer bedeutet das: Ist ein Netz in , so dass es zu jeder Nullfolge aus einen Index gibt, so dass für alle , so gibt es ein mit bzgl. der bw*-Topologie.
Insbesondere ergibt sich, dass die bw*-Topologie für unendlichdimensionale Räume echt feiner ist als die schwach-*-Topologie ist, denn letztere ist bekanntlich nicht vollständig.
bw*-stetige lineare Funktionale Bearbeiten
Ist ein Banachraum, so fallen die schwach-*-stetigen und die bw*-stetigen linearen Funktionale auf zusammen. Daraus ergibt sich
- Ein lineares Funktional auf ist genau dann schwach-*-stetig, wenn die Einschränkung auf die Einheitskugel schwach-*-stetig ist.
Außerdem kann daraus sehr leicht der Satz von Krein-Šmulian über schwach-*-abgeschlossene, konvexe Mengen hergeleitet werden. Dies ist im unten angegebenen Lehrbuch ausgeführt.
Kompakte Operatoren Bearbeiten
Mittels der bw*-Topologie können kompakte Operatoren charakterisiert werden. Ist ein stetiger, linearer Operator zwischen Banachräumen, so ist der adjungierte Operator bekanntlich stetig, wenn auf beiden Räumen die Normtopologie, die schwach-*-Topologie oder die bw*-Topologie betrachtet wird. Interessante Aussagen sind also erst zu erwarten, wenn man auf den Räumen unterschiedliche Topologien betrachtet. Es gilt folgender Satz:
- Ein stetiger linearer Operator zwischen Banachräumen ist genau dann kompakt, wenn der adjungierte Operator stetig ist bzgl. der bw*-Topologie auf und der Normtopologie auf .
bw-Topologie und cbw-Topologie Bearbeiten
In Analogie zur bw*-Topologie auf einem Dualraum kann man die bw-Topologie auf dem Ausgangsraum als feinste Topologie, die auf allen beschränkten Mengen mit der relativen schwachen Topologie übereinstimmt, definieren. Diese Topologie hat bei Weitem nicht die Bedeutung wie die bw*-Topologie, denn sie ist im Allgemeinen nicht lokalkonvex. 1974 hat R. F. Wheeler gezeigt, dass die bw-Topologie auf dem Folgenraum nicht lokalkonvex ist, und 1984 konnte J. Gómez Gil sogar zeigen, dass die bw-Topologie genau dann lokalkonvex ist, wenn der Raum reflexiv ist. Für reflexive Räume bringt die bw-Topologie aber nichts Neues, denn dann ist selbst ein Dualraum, und die bw-Topologie stimmt mit der bw*-Topologie überein, wenn man mit identifiziert.
Um eine lokalkonvexe Topologie zu erhalten, definiert man auf die cbw-Topologie, die von allen konvexen, offenen Mengen der bw-Topologie erzeugt wird. Diese ist lokalkonvex und stimmt mit der relativen bw*-Topologie von überein, wenn man bzgl. der kanonischen Einbettung als Unterraum von auffasst.
Einzelnachweise Bearbeiten
- J. Dieudonné: Natural homomorphisms in Banach spaces, Proceedings American Mathematical Society (1950), Band 1, Seiten 54–59
- Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer-Verlag, 1998, ISBN 0-387-98431-3, Satz 2.7.2
- Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer-Verlag, 1998, ISBN 0-387-98431-3, Satz 2.7.6 mit Korollar 2.7.7
- Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer-Verlag, 1998, ISBN 0-387-98431-3, Theorem 2.7.8 – 2.7.11
- Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer-Verlag, 1998, ISBN 0-387-98431-3, Theorem 3.4.16
- R. F. Wheeler: The equicontinuous weak* topology and semi-reflexivity, Studia Mathematica (1972), Band 41, Seiten 243–256
- J. Gómez Gil: On local convexity of bounded weak topologies on Banach spaces, Pacific J. Math. (1984), Band 110, Nummer 1, Seiten 71–76
- J.G. Llavona: Approximation of Continuously Differentiable Functions, Elsevier Science Publishers (1986), ISBN 0-444-70128-1, Definition 4.2.2, Theorem 4.2.3