Satz von Krein Šmulian Der benannt nach Mark Grigorjewitsch Krein und Witold Lwowitsch Šmulian ist ein mathematischer Sa

Satz von Krein-Šmulian

Der Satz von Krein-Šmulian, benannt nach Mark Grigorjewitsch Krein und Witold Lwowitsch Šmulian, ist ein mathematischer Satz aus der Funktionalanalysis, der ein Kriterium für die Abgeschlossenheit einer konvexen Menge bezüglich der schwach-*-Topologie darstellt.

Formulierung des Satzes Bearbeiten

Ist ein Banachraum, so sei die abgeschlossene -Kugel im Dualraum von , wobei sei. Diese ist nach dem Satz von Banach-Alaoglu bezüglich der schwach-*-Topologie kompakt und daher abgeschlossen. Ist also eine schwach-*-abgeschlossene Teilmenge, so sind auch die Mengen schwach-*-abgeschlossen. Der hier zu besprechende Satz sagt aus, dass für konvexe Mengen auch die Umkehrung gilt:

Satz von Krein-Šmulian: Seien ein Banachraum und eine konvexe Menge. Wenn für jedes schwach-*-abgeschlossen ist, dann ist auch schwach-*-abgeschlossen.

Bemerkungen Bearbeiten

Ein Beispiel Bearbeiten

Wie das folgende Beispiel zeigt, ist die Aussage des Satzes von Krein-Šmulian falsch, wenn nicht konvex ist. Dazu seien -dimensionale Teilräume mit und sei die Kugelfläche mit Radius in . Da diese Kugelflächen kompakt sind, gibt es ein endliches 1/n-Netz . Setze .

Dann ist für jedes endlich und daher schwach-*-abgeschlossen. selbst ist aber nicht schwach-*-abgeschlossen, denn 0 liegt im schwach-*-Abschluss von . Dazu ist zu zeigen, dass jede Menge der Form , wobei und , ein Element aus enthält. Wähle dazu so groß, dass und . Wegen letzterem gibt es aus Dimensionsgründen ein mit . Wähle nun ein mit . Dann ist , denn für alle .

Die bw*-Topologie Bearbeiten

Man erkläre eine Menge als abgeschlossen, wenn der Durchschnitt für jedes schwach-*-abgeschlossen ist. Leicht überlegt man sich, dass dadurch eine Topologie, die sogenannte bw*-Topologie, definiert ist. Wie obiges Beispiel zeigt, ist diese Topologie im Falle unendlich-dimensionaler Banachräume echt feiner als die schwach-*-Topologie. Der Satz von Krein-Šmulian kann nun wie folgt umformuliert werden:

Seien ein Banachraum und eine konvexe Menge. Dann stimmen der schwach-*-Abschluss und der bw*-Abschluss von überein.

Satz von Banach-Dieudonné Bearbeiten

Seien ein Banachraum und ein Unterraum. ist genau dann schwach-*-abgeschlossen, wenn schwach-*-abgeschlossen ist.

Dieser nach Banach und Dieudonné benannte Satz ist wegen offenbar ein Korollar zum Satz von Krein-Šmulian.

Quellen Bearbeiten

M. M. Day: Normed Linear Spaces Springer-Verlag GmbH, dritte Auflage (1973) ISBN 3540061487

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Veröffentlichungsdatum: Februar 07, 2024, 12:46 pm

Der Satz von Krein Smulian benannt nach Mark Grigorjewitsch Krein und Witold Lwowitsch Smulian ist ein mathematischer Satz aus der Funktionalanalysis der ein Kriterium fur die Abgeschlossenheit einer konvexen Menge bezuglich der schwach Topologie darstellt Inhaltsverzeichnis 1 Formulierung des Satzes 2 Bemerkungen 2 1 Ein Beispiel 2 2 Die bw Topologie 3 Satz von Banach Dieudonne 4 QuellenFormulierung des Satzes BearbeitenIst E displaystyle E nbsp ein Banachraum so sei E r displaystyle E r nbsp die abgeschlossene r displaystyle r nbsp Kugel im Dualraum von E displaystyle E nbsp wobei r gt 0 displaystyle r gt 0 nbsp sei Diese ist nach dem Satz von Banach Alaoglu bezuglich der schwach Topologie kompakt und daher abgeschlossen Ist also M E displaystyle M subset E nbsp eine schwach abgeschlossene Teilmenge so sind auch die Mengen M E r r gt 0 displaystyle M cap E r r gt 0 nbsp schwach abgeschlossen Der hier zu besprechende Satz sagt aus dass fur konvexe Mengen M displaystyle M nbsp auch die Umkehrung gilt Satz von Krein Smulian Seien E displaystyle E nbsp ein Banachraum und M E displaystyle M subset E nbsp eine konvexe Menge Wenn M E r displaystyle M cap E r nbsp fur jedes r gt 0 displaystyle r gt 0 nbsp schwach abgeschlossen ist dann ist auch M displaystyle M nbsp schwach abgeschlossen Bemerkungen BearbeitenEin Beispiel Bearbeiten Wie das folgende Beispiel zeigt ist die Aussage des Satzes von Krein Smulian falsch wenn M displaystyle M nbsp nicht konvex ist Dazu seien F n E displaystyle F n subset E nbsp n displaystyle n nbsp dimensionale Teilraume mit F 1 F 2 F 3 displaystyle F 1 subset F 2 subset F 3 subset ldots nbsp und S n f F n f n displaystyle S n f in F n f n nbsp sei die Kugelflache mit Radius n displaystyle n nbsp in F n displaystyle F n nbsp Da diese Kugelflachen kompakt sind gibt es ein endliches 1 n Netz M n S n displaystyle M n subset S n nbsp Setze M M 1 M 2 M 3 displaystyle M M 1 cup M 2 cup M 3 cup ldots nbsp Dann ist M E r displaystyle M cap E r nbsp fur jedes r gt 0 displaystyle r gt 0 nbsp endlich und daher schwach abgeschlossen M displaystyle M nbsp selbst ist aber nicht schwach abgeschlossen denn 0 liegt im schwach Abschluss von M displaystyle M nbsp Dazu ist zu zeigen dass jede Menge der Form U f E f x 1 lt ϵ f x m lt ϵ displaystyle U f in E f x 1 lt epsilon ldots f x m lt epsilon nbsp wobei x 1 x m E displaystyle x 1 ldots x m in E nbsp und ϵ gt 0 displaystyle epsilon gt 0 nbsp ein Element aus M displaystyle M nbsp enthalt Wahle dazu n displaystyle n nbsp so gross dass max i 1 m x i lt n ϵ displaystyle max i 1 ldots m x i lt n epsilon nbsp und n gt m displaystyle n gt m nbsp Wegen letzterem gibt es aus Dimensionsgrunden ein g S n displaystyle g in S n nbsp mit g x 1 g x m 0 displaystyle g x 1 ldots g x m 0 nbsp Wahle nun ein f M n displaystyle f in M n nbsp mit f g lt 1 n displaystyle f g lt 1 n nbsp Dann ist f M U displaystyle f in M cap U nbsp denn f x i f x i g x i f g x i lt ϵ displaystyle f x i f x i g x i leq f g cdot x i lt epsilon nbsp fur alle i 1 m displaystyle i 1 ldots m nbsp Die bw Topologie Bearbeiten Hauptartikel Beschrankte schwach Topologie Man erklare eine Menge M E displaystyle M subset E nbsp als abgeschlossen wenn der Durchschnitt M E r displaystyle M cap E r nbsp fur jedes r gt 0 displaystyle r gt 0 nbsp schwach abgeschlossen ist Leicht uberlegt man sich dass dadurch eine Topologie die sogenannte bw Topologie definiert ist Wie obiges Beispiel zeigt ist diese Topologie im Falle unendlich dimensionaler Banachraume echt feiner als die schwach Topologie Der Satz von Krein Smulian kann nun wie folgt umformuliert werden Seien E displaystyle E nbsp ein Banachraum und M E displaystyle M subset E nbsp eine konvexe Menge Dann stimmen der schwach Abschluss und der bw Abschluss von M displaystyle M nbsp uberein Satz von Banach Dieudonne BearbeitenSeien E displaystyle E nbsp ein Banachraum und U E displaystyle U subset E nbsp ein Unterraum U displaystyle U nbsp ist genau dann schwach abgeschlossen wenn U E 1 displaystyle U cap E 1 nbsp schwach abgeschlossen ist Dieser nach Banach und Dieudonne benannte Satz ist wegen U E r r U E 1 displaystyle U cap E r r cdot U cap E 1 nbsp offenbar ein Korollar zum Satz von Krein Smulian Quellen BearbeitenM M Day Normed Linear Spaces Springer Verlag GmbH dritte Auflage 1973 ISBN 3540061487 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Krein Smulian amp oldid 138150640