Ein Umgebungssystem ist ein spezielles Mengensystem in der mengentheoretischen Topologie, einer Grundlagendisziplin der Mathematik. Ein Umgebungssystem eines Punktes besteht aus allen Mengen, in denen der Punkt „echt enthalten“ ist, sich also in ihrem Inneren befindet. Somit ist das Umgebungssystem eines Punktes die Menge aller Umgebungen eines Punktes. Umgebungssysteme spielen eine wichtige Rolle in der Topologie, wo durch sie der Konvergenzbegriff für Folgen passend auf topologische Räume verallgemeinert wird. In diesem Zusammenhang werden Umgebungssysteme auch Umgebungsfilter genannt.
Definition Bearbeiten
Gegeben sei ein topologischer Raum sowie ein beliebiges .
Das Umgebungssystem oder der Umgebungsfilter von ist die Menge aller Umgebungen von und wird mit bezeichnet. Es ist also
(Eine Menge heißt eine Umgebung von , wenn es eine Menge gibt, so dass gilt)
Beispiel Bearbeiten
Gegeben sei eine Menge , versehen mit der diskreten Topologie, sprich jede Teilmenge von ist eine offene Menge. Dann ist jede Menge, die enthält, stets offen und somit eine Umgebung. Das Umgebungssystem ist also
Betrachtet man umgekehrt die indiskrete Topologie, bei der nur die gesamte Menge und die leere Menge offen sind, so ist die einzige Umgebung jedes Punktes und somit
Eigenschaften Bearbeiten
Umgebungssysteme haben folgende Eigenschaften:
- Ist und , so ist auch . Denn ist eine Umgebung von , so existiert ein . Dann ist aber auch und somit ist auch eine Umgebung von .
- Für jedes ist trivialerweise .
- Für und , wobei ist, gilt
- Zu jeder Umgebung gibt es eine Umgebung , so dass eine Umgebung der Menge ist.
Somit handelt es sich bei dem Umgebungssystem um einen Mengenfilter, worauf die Benennung als Umgebungsfilter beruht.
Verwendung Bearbeiten
Erzeugung von Topologien Bearbeiten
Mittels Umgebungssystemen lassen sich Topologien definieren. Dazu nutzt man aus, dass eine Menge genau dann offen ist, wenn sie Umgebung jedes ihrer Punkte ist. Dies entspricht für alle
Sind nun zu jedem Mengensysteme angegeben, welche die vier oben unter Eigenschaften aufgeführten Punkte erfüllen, so lässt sich eine Topologie wie folgt erklären:
Diese Topologie ist eindeutig bestimmt und besitzt die Mengensysteme als Umgebungssysteme von .
Filterkonvergenz Bearbeiten
In allgemeinen Topologischen Räumen ist der gewöhnlich Konvergenzbegriff mittels Folgen nicht mehr ausreichend, daher greift man auf Netze oder Mengenfilter zurück, um die Konvergenz sinnvoll zu erweitern. So heißt dann ein Filter konvergent gegen , wenn ist. Mit diesem neuen Konvergenzbegriff lassen sich viele Formulierungen für Folgen aus metrischen Räumen äquivalent formulieren: So ist genau dann, wenn ein Filter existiert, der gegen konvergiert und enthält. Ebenso lassen sich mittels der Konvergenz von Filtern auch Hausdorff-Räume charakterisieren.
Weiterführende Begriffe Bearbeiten
Eine Menge heißt eine Umgebungsbasis, wenn jede beliebige Menge ein enthält. Die Mächtigkeit von Umgebungsbasen hat weitreichende strukturelle Folgen. Von topologischen Räumen, in denen alle Punkte abzählbare Umgebungsbasen haben, sagt man auch, dass sie das erste Abzählbarkeitsaxiom erfüllen. In ihnen kann beispielsweise auf die Filterkonvergenz verzichtet werden, die Folgenkonvergenz ist uneingeschränkt gültig.
Weblinks Bearbeiten
- B.A. Pasynkov: Neighbourhood. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).
Literatur Bearbeiten
- Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2001, ISBN 978-3-540-67790-1, doi:10.1007/978-3-642-56860-2.