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Satz von Dini In der Mathematik besagt der nach Ulisse Dini benannte dass eine monotone Folge reellwertiger stetiger Fun

Satz von Dini

In der Mathematik besagt der (nach Ulisse Dini benannte) Satz von Dini, dass eine monotone Folge reellwertiger stetiger Funktionen mit stetiger Grenzfunktion auf Kompakta gleichmäßig konvergiert.

Aussage Bearbeiten

Sind ein kompakter topologischer Raum,

eine Folge reellwertiger, stetiger Funktionen mit

für alle natürlichen Zahlen und alle und existiert eine stetige Grenzfunktion , das heißt

für alle , so konvergiert die Folge bereits gleichmäßig gegen , das heißt

Beweis Bearbeiten

Für ein vorgegebenes setze

Da die Folge der punktweise gegen konvergiert, bilden die eine Überdeckung von , die wegen der vorausgesetzten Stetigkeit offen ist. Die Überdeckung ist monoton wachsend, da die Funktionenfolge diese Eigenschaft hat. Weil kompakt ist, wird bereits von endlich vielen der überdeckt. Ist der größte Index dieser endlich vielen Überdeckungsmengen, so gilt für alle größeren Indizes . Also ist

woraus die Behauptung folgt.

Bemerkung Bearbeiten

Der Satz von Dini gilt auch für monoton fallende Folgen, wie man entweder durch einen entsprechend angepassten Beweis oder durch Übergang zur Folge sieht.

Auf die Voraussetzung, dass die Grenzfunktion wieder stetig ist, kann nicht verzichtet werden, wie man an dem Beispiel auf einfach sehen kann.

Literatur Bearbeiten

  • Otto Forster: Analysis. Band 3: Maß- und Integrationstheorie, Integralsätze im Rn und Anwendungen, 8. verbesserte Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden, 2017, ISBN 978-3-658-16745-5.
  • Dirk Werner: Funktionalanalysis. Springer, Berlin 2005, ISBN 3-540-43586-7.
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In der Mathematik besagt der nach Ulisse Dini benannte Satz von Dini dass eine monotone Folge reellwertiger stetiger Funktionen mit stetiger Grenzfunktion auf Kompakta gleichmassig konvergiert Inhaltsverzeichnis 1 Aussage 2 Beweis 3 Bemerkung 4 LiteraturAussage BearbeitenSind X displaystyle X nbsp ein kompakter topologischer Raum f i X R i N displaystyle f i colon X rightarrow mathbb R i in mathbb N nbsp eine Folge reellwertiger stetiger Funktionen mit f i x f i 1 x displaystyle f i x leq f i 1 x nbsp fur alle naturlichen Zahlen i displaystyle i nbsp und alle x X displaystyle x in X nbsp und existiert eine stetige Grenzfunktion f displaystyle f nbsp das heisst lim i f i x f x displaystyle lim i to infty f i x f x nbsp fur alle x X displaystyle x in X nbsp so konvergiert die Folge bereits gleichmassig gegen f displaystyle f nbsp das heisst lim i sup x X f i x f x 0 displaystyle lim i to infty sup x in X f i x f x 0 nbsp Beweis BearbeitenFur ein vorgegebenes e gt 0 displaystyle varepsilon gt 0 nbsp setze E i x X f x f i x lt e displaystyle E i x in X mid f x f i x lt varepsilon nbsp Da die Folge der f i displaystyle f i nbsp punktweise gegen f displaystyle f nbsp konvergiert bilden die E i displaystyle E i nbsp eine Uberdeckung von X displaystyle X nbsp die wegen der vorausgesetzten Stetigkeit offen ist Die Uberdeckung E i i displaystyle E i i nbsp ist monoton wachsend da die Funktionenfolge diese Eigenschaft hat Weil X displaystyle X nbsp kompakt ist wird X displaystyle X nbsp bereits von endlich vielen der E i displaystyle E i nbsp uberdeckt Ist N displaystyle N nbsp der grosste Index dieser endlich vielen Uberdeckungsmengen so gilt E i X displaystyle E i X nbsp fur alle grosseren Indizes i displaystyle i nbsp Also ist f x f i x f x f i x lt e displaystyle f x f i x f x f i x lt varepsilon nbsp fur alle x X displaystyle x in X nbsp und i gt N displaystyle i gt N nbsp woraus die Behauptung folgt Bemerkung BearbeitenDer Satz von Dini gilt auch fur monoton fallende Folgen wie man entweder durch einen entsprechend angepassten Beweis oder durch Ubergang zur Folge f i i N displaystyle f i i in mathbb N nbsp sieht Auf die Voraussetzung dass die Grenzfunktion wieder stetig ist kann nicht verzichtet werden wie man an dem Beispiel f i x 1 x i displaystyle f i x 1 x i nbsp auf X 0 1 displaystyle X 0 1 nbsp einfach sehen kann Literatur BearbeitenOtto Forster Analysis Band 3 Mass und Integrationstheorie Integralsatze im Rn und Anwendungen 8 verbesserte Auflage Springer Spektrum Wiesbaden 2017 ISBN 978 3 658 16745 5 Dirk Werner Funktionalanalysis Springer Berlin 2005 ISBN 3 540 43586 7 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Dini amp oldid 190680377