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Satz von Moivre Laplace Der auch Grenzwertsatz von de Moivre Laplace 1 oder zentraler Grenzwertsatz von de Moivre Laplac

Satz von Moivre-Laplace

Der Satz von Moivre-Laplace, auch Grenzwertsatz von de Moivre-Laplace oder zentraler Grenzwertsatz von de Moivre-Laplace genannt, ist ein Satz aus der Wahrscheinlichkeitstheorie. Nach diesem Satz konvergiert die Binomialverteilung für und Wahrscheinlichkeiten gegen die Normalverteilung. Bei großem Stichprobenumfang kann daher die Normalverteilung als Näherung der Binomialverteilung verwendet werden, was insbesondere bei der Normal-Approximation und bei Hypothesentests Anwendung findet. Für kann diese Approximation durch das Galtonbrett experimentell veranschaulicht werden.

Mit wachsender Zahl von Punkten nähert sich die diskrete Binomialverteilung der stetigen Normalverteilung an.

Beim Satz von de Moivre-Laplace handelt es sich aus historischer Sicht um den ersten zentralen Grenzwertsatz. Im Jahre 1730 zeigte Abraham de Moivre die Aussage für und im Jahre 1812 wurde von Pierre-Simon Laplace der allgemeine Fall gezeigt.

Aussage Bearbeiten

Sei eine Folge stochastisch unabhängiger und identisch bernoulli-verteilter Zufallsvariablen mit dem Parameter . Dann ist die Summe binomialverteilt mit den Parametern und . Die Zufallsvariable hat den Erwartungswert und die positive Standardabweichung . bezeichne die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung und bezeichne die Dichtefunktion einer normalverteilten Zufallsvariablen mit dem Erwartungswert und der Varianz .

Dann gelten der lokale Grenzwertsatz von de Moivre-Laplace

und der globale Grenzwertsatz von de Moivre-Laplace

Interpretation und Anwendung Bearbeiten

Der lokale Grenzwertsatz von de Moivre-Laplace besagt, dass die Wahrscheinlichkeiten einer binomialverteilten Zufallsvariablen für gegen die Werte der Dichtefunktion einer normalverteilten Zufallsvariablen mit demselben Erwartungswert und derselben Varianz konvergieren. Er dient zur Rechtfertigung der Approximation

wobei auf der rechten Seite des Approximationszeichens die Dichtefunktion einer Zufallsvariablen mit der Normalverteilung an der Stelle steht.

Der globale Grenzwertsatz von de Moivre-Laplace ist ein spezieller zentraler Grenzwertsatz, der besagt, dass die standardisierten Zufallsvariablen für in Verteilung gegen die Standardnormalverteilung konvergieren. Er wird auch in der Form

angegeben, die die theoretische Grundlage der Normal-Approximation ist.

Dies ist eine Methode, mit der Wahrscheinlichkeitsaussagen für eine Binomialverteilung durch Wahrscheinlichkeitsaussagen für eine Normalverteilung mit demselben Erwartungswert und derselben Varianz approximiert werden können. Ausgehend von der Approximation kann die Verteilungsfunktion der binomialverteilten Zufallsvariable mit Hilfe der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung angenähert werden, in dem man die Approximation

verwendet. Bei der Normal-Approximation wird zur Verringerung des Näherungsfehlers noch zusätzlich eine sogenannte Stetigkeitskorrektur eingeführt, die den Fehler kompensieren soll, der durch den Übergang von einer diskreten zu einer stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilung verursacht wird.

Literatur Bearbeiten

  • Hans Fischer: A History of the Central Limit Theorem – From Classical to Modern Probability Theorem (= Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences). Springer, New York / Dordrecht / Heidelberg / London 2011, ISBN 978-0-387-87857-7.
  • Norbert Henze: Stochastik für Einsteiger. Eine Einführung in die faszinierende Welt des Zufalls. 13., überarbeitete und aktualisierte Auflage. Springer Spektrum, Berlin 2021, ISBN 978-3-662-63839-2, S. 226–232, doi:10.1007/978-3-662-63840-8.
  • Ulrich Krengel: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 7. Auflage. Vieweg-Verlag, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-67259-5, doi:10.1007/978-3-322-93581-6, S. 80–83.
  • P. H. Müller (Hrsg.): Lexikon der Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. 5. Auflage. Akademie-Verlag, Berlin 1991, ISBN 978-3-05-500608-1, Zentraler Grenzwertsatz (central limit theorem), S. 507–509.

Weblinks Bearbeiten

Wikibooks: Beweis des Satzes von Moivre-Laplace

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. P. H. Müller (Hrsg.): Lexikon der Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. 5. Auflage. Akademie-Verlag, Berlin 1991, ISBN 978-3-05-500608-1, Zentraler Grenzwertsatz (central limit theorem), S. 508.
  2. Norbert Henze: Stochastik für Einsteiger. Eine Einführung in die faszinierende Welt des Zufalls. 13., überarbeitete und aktualisierte Auflage. Springer Spektrum, Berlin 2021, ISBN 978-3-662-63839-2, S. 226, doi:10.1007/978-3-662-63840-8.
  3. A.V. Prokhorov: Laplace theorem. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).
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Veröffentlichungsdatum:
Der Satz von Moivre Laplace auch Grenzwertsatz von de Moivre Laplace 1 oder zentraler Grenzwertsatz von de Moivre Laplace 2 genannt ist ein Satz aus der Wahrscheinlichkeitstheorie Nach diesem Satz konvergiert die Binomialverteilung fur n displaystyle n rightarrow infty und Wahrscheinlichkeiten 0 lt p lt 1 displaystyle 0 lt p lt 1 gegen die Normalverteilung Bei grossem Stichprobenumfang kann daher die Normalverteilung als Naherung der Binomialverteilung verwendet werden was insbesondere bei der Normal Approximation und bei Hypothesentests Anwendung findet Fur p 1 2 displaystyle p tfrac 1 2 kann diese Approximation durch das Galtonbrett experimentell veranschaulicht werden Mit wachsender Zahl von Punkten nahert sich die diskrete Binomialverteilung der stetigen Normalverteilung an Beim Satz von de Moivre Laplace handelt es sich aus historischer Sicht um den ersten zentralen Grenzwertsatz Im Jahre 1730 zeigte Abraham de Moivre die Aussage fur p 1 2 displaystyle p tfrac 1 2 und im Jahre 1812 wurde von Pierre Simon Laplace der allgemeine Fall gezeigt 3 Inhaltsverzeichnis 1 Aussage 2 Interpretation und Anwendung 3 Literatur 4 Weblinks 5 EinzelnachweiseAussage BearbeitenSei X 1 X 2 X 3 displaystyle X 1 X 2 X 3 cdots nbsp eine Folge stochastisch unabhangiger und identisch bernoulli verteilter Zufallsvariablen mit dem Parameter p 0 1 displaystyle p in 0 1 nbsp Dann ist die Summe S n i 1 n X i displaystyle S n sum i 1 n X i nbsp binomialverteilt mit den Parametern n N displaystyle n in mathbb N nbsp und p 0 1 displaystyle p in 0 1 nbsp Die Zufallsvariable S n displaystyle S n nbsp hat den Erwartungswert m n E S n n p displaystyle mu n operatorname E S n np nbsp und die positive Standardabweichung s n Var S n n p 1 p displaystyle sigma n sqrt operatorname Var S n sqrt np 1 p nbsp F displaystyle Phi nbsp bezeichne die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung und f m s 2 displaystyle varphi mu sigma 2 nbsp bezeichne die Dichtefunktion einer normalverteilten Zufallsvariablen mit dem Erwartungswert m displaystyle mu nbsp und der Varianz s 2 displaystyle sigma 2 nbsp Dann gelten der lokale Grenzwertsatz von de Moivre Laplace lim n P S n k f m n s n 2 k 1 k 0 1 n displaystyle lim n to infty frac operatorname P S n k varphi mu n sigma n 2 k 1 quad k 0 1 dots n nbsp und der globale Grenzwertsatz von de Moivre Laplace lim n P S n m n s n t F t fur alle t R displaystyle lim n to infty operatorname P left frac S n mu n sigma n leq t right Phi t quad text fur alle t in mathbb R nbsp Interpretation und Anwendung BearbeitenDer lokale Grenzwertsatz von de Moivre Laplace besagt dass die Wahrscheinlichkeiten einer binomialverteilten Zufallsvariablen fur n displaystyle n to infty nbsp gegen die Werte der Dichtefunktion einer normalverteilten Zufallsvariablen mit demselben Erwartungswert und derselben Varianz konvergieren Er dient zur Rechtfertigung der Approximation P S n k 1 2 p s n exp k m n s n 2 f m n s n 2 k k 0 1 n displaystyle operatorname P left S n k right approx frac 1 sqrt 2 pi sigma n exp left left frac k mu n sigma n right 2 right varphi mu n sigma n 2 k quad k 0 1 dots n nbsp wobei auf der rechten Seite des Approximationszeichens die Dichtefunktion einer Zufallsvariablen mit der Normalverteilung N m n s n 2 displaystyle mathcal N mu n sigma n 2 nbsp an der Stelle k displaystyle k nbsp steht Der globale Grenzwertsatz von de Moivre Laplace ist ein spezieller zentraler Grenzwertsatz der besagt dass die standardisierten Zufallsvariablen S n m n s n displaystyle frac S n mu n sigma n nbsp fur n displaystyle n to infty nbsp in Verteilung gegen die Standardnormalverteilung konvergieren Er wird auch in der Form lim n P S n t F t m n s n 0 fur alle t R displaystyle lim n to infty left operatorname P S n leq t Phi left frac t mu n sigma n right right 0 quad quad text fur alle t in mathbb R nbsp angegeben die die theoretische Grundlage der Normal Approximation ist Hauptartikel Normal Approximation Dies ist eine Methode mit der Wahrscheinlichkeitsaussagen fur eine Binomialverteilung durch Wahrscheinlichkeitsaussagen fur eine Normalverteilung mit demselben Erwartungswert und derselben Varianz approximiert werden konnen Ausgehend von der Approximation B i n n p N m n s n 2 displaystyle mathrm Bin n p approx mathcal N mu n sigma n 2 nbsp kann die Verteilungsfunktion der binomialverteilten Zufallsvariable S n displaystyle S n nbsp mit Hilfe der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung angenahert werden in dem man die Approximation P S n k F k m n s n displaystyle P S n leq k approx Phi left frac k mu n sigma n right nbsp verwendet Bei der Normal Approximation wird zur Verringerung des Naherungsfehlers noch zusatzlich eine sogenannte Stetigkeitskorrektur eingefuhrt die den Fehler kompensieren soll der durch den Ubergang von einer diskreten zu einer stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilung verursacht wird Literatur BearbeitenHans Fischer A History of the Central Limit Theorem From Classical to Modern Probability Theorem Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences Springer New York Dordrecht Heidelberg London 2011 ISBN 978 0 387 87857 7 Norbert Henze Stochastik fur Einsteiger Eine Einfuhrung in die faszinierende Welt des Zufalls 13 uberarbeitete und aktualisierte Auflage Springer Spektrum Berlin 2021 ISBN 978 3 662 63839 2 S 226 232 doi 10 1007 978 3 662 63840 8 Ulrich Krengel Einfuhrung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik 7 Auflage Vieweg Verlag Wiesbaden 2003 ISBN 3 528 67259 5 doi 10 1007 978 3 322 93581 6 S 80 83 P H Muller Hrsg Lexikon der Stochastik Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik 5 Auflage Akademie Verlag Berlin 1991 ISBN 978 3 05 500608 1 Zentraler Grenzwertsatz central limit theorem S 507 509 Weblinks Bearbeiten nbsp Wikibooks Beweis des Satzes von Moivre Laplace Binomial und Normalverteilung Online Lehrgang mit dynamischen Arbeitsblattern Java Plugin benotigt Einzelnachweise Bearbeiten P H Muller Hrsg Lexikon der Stochastik Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik 5 Auflage Akademie Verlag Berlin 1991 ISBN 978 3 05 500608 1 Zentraler Grenzwertsatz central limit theorem S 508 Norbert Henze Stochastik fur Einsteiger Eine Einfuhrung in die faszinierende Welt des Zufalls 13 uberarbeitete und aktualisierte Auflage Springer Spektrum Berlin 2021 ISBN 978 3 662 63839 2 S 226 doi 10 1007 978 3 662 63840 8 A V Prokhorov Laplace theorem In Michiel Hazewinkel Hrsg Encyclopedia of Mathematics Springer Verlag und EMS Press Berlin 2002 ISBN 1 55608 010 7 englisch encyclopediaofmath org Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Moivre Laplace amp oldid 238978835