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Zentraler Grenzwertsatz von Lindeberg Feller Der zentrale Grenzwertsatz von Lindeberg Feller 1 auch Grenzverteilungssatz

Zentraler Grenzwertsatz von Lindeberg-Feller

Der zentrale Grenzwertsatz von Lindeberg-Feller, auch Grenzverteilungssatz von Lindeberg-Feller genannt, ist ein mathematischer Satz der Wahrscheinlichkeitstheorie. Er gehört zu den zentralen Grenzwertsätzen und somit auch den Grenzwertsätzen der Stochastik und ist eine Verallgemeinerung des zentralen Grenzwertsatzes von Lindeberg-Lévy. Dieser besagt, dass unter gewissen Voraussetzungen die normierten Mittelwerte von Zufallsvariablen in Verteilung gegen die Standardnormalverteilung konvergieren. Der zentrale Grenzwertsatz von Lindeberg-Feller schwächt diese Voraussetzungen ab, indem er auf Schemata von Zufallsvariablen zurückgreift, bei denen sogar ein gewisses Maß an stochastischer Abhängigkeit zwischen den Zufallsvariablen erlaubt ist. Der Satz ist nach Jarl Waldemar Lindeberg und William Feller benannt. Teils wird der Satz auch in seine Teilaussagen zerlegt. Dabei wird die eine Implikation dann als Lindeberg-Theorem oder zentraler Grenzverteilungssatz von Lindeberg bezeichnet, die andere als Satz von Feller.

Rahmenbedingungen Bearbeiten

Bei dem gewöhnlichen Grenzwertsatz wird immer gefordert, dass die betrachtete Folge von Zufallsvariablen stochastisch unabhängige Zufallsvariablen und die Varianzen endlich sind. Bei schwächeren Formulierungen wird außerdem gefordert, dass die Zufallsvariablen identisch verteilt sind. Diese Forderung kann man allerdings durch die Lindeberg-Bedingung (für Folgen) und die Ljapunow-Bedingung (für Folgen) ersetzen.

Nun stellt sich die Frage, ob man die Voraussetzungen für den Satz weiter abschwächen kann und ein gewisses Maß an Abhängigkeit möglich ist. Diese Frage lässt sich positiv beantworten. Dazu definiert man ein sogenanntes Schema von Zufallsvariablen. Dieses entspricht einer Folge von Kleingruppen von Zufallsvariablen. Jede dieser Kleingruppen von Zufallsvariablen hat Elemente. Formal werden Schemata von Zufallsvariablen als Folge von diesen Kleingruppen unter Verwendung von Doppelindizes definiert. Nun kann man zeigen, dass (unter gewissen weiteren Voraussetzungen) es für die Konvergenz ausreichend ist, die Unabhängigkeit der Zufallsvariablen nur innerhalb der Kleingruppen zu fordern. Die Beziehungen der Zufallsvariablen zwischen unterschiedlichen Kleingruppen spielen keine Rolle.

Aussage Bearbeiten

Gegeben sei ein Schema von Zufallsvariablen und sei

Außerdem sei ein normiertes, zentriertes und unabhängiges Schema.

Dann gilt die Lindeberg-Bedingung (für Schemata von Zufallsvariablen) genau dann, wenn ein asymptotisch vernachlässigbares Schema ist und die Verteilung von in Verteilung gegen die Standardnormalverteilung konvergiert, also gilt.

Bemerkung Bearbeiten

Da aus der Ljapunow-Bedingung (für Schemata) die Lindeberg-Bedingung folgt, kann man aus der Ljapunow-Bedingung auf die Konvergenz in Verteilung und die asymptotische Vernachlässigbarkeit schließen. Die Rückrichtung ist aber im Allgemeinen falsch, da aus der Lindeberg-Bedingung nicht notwendigerweise die Ljapunow-Bedingung folgt.

Geschichte Bearbeiten

Der Beweis des Satzes folgte in zwei Teilen. Dabei entsprach jeder Teil einer Implikation der oben formulierten Äquivalenz. Der Schluss von der Lindeberg-Bedingung auf die Konvergenz in Verteilung und die asymptotische Vernachlässigbarkeit wurde von Jarl Waldemar Lindeberg 1922 gezeigt. Dieser Teil ist meist interessanter für die Anwendungen und trägt teilweise den eigenständigen Namen Lindeberg-Theorem. Die Rückrichtung (Satz von Feller) wurde dann von William Feller 1935 und 1937 bewiesen.

Weblinks Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.
  • David Meintrup, Stefan Schäffler: Stochastik. Theorie und Anwendungen. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2005, ISBN 978-3-540-21676-6, doi:10.1007/b137972.
  • Norbert Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. Eine Einführung. 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-45386-1, doi:10.1007/978-3-642-45387-8.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2013, S. 328.
  2. Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. 2014, S. 307.
  3. Meintrup, Schäffler: Stochastik. 2005, S. 204.
  4. Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. 2014, S. 311.
  5. Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. 2014, S. 312.
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Veröffentlichungsdatum:
Der zentrale Grenzwertsatz von Lindeberg Feller 1 auch Grenzverteilungssatz von Lindeberg Feller 2 genannt ist ein mathematischer Satz der Wahrscheinlichkeitstheorie Er gehort zu den zentralen Grenzwertsatzen und somit auch den Grenzwertsatzen der Stochastik und ist eine Verallgemeinerung des zentralen Grenzwertsatzes von Lindeberg Levy Dieser besagt dass unter gewissen Voraussetzungen die normierten Mittelwerte von Zufallsvariablen in Verteilung gegen die Standardnormalverteilung konvergieren Der zentrale Grenzwertsatz von Lindeberg Feller schwacht diese Voraussetzungen ab indem er auf Schemata von Zufallsvariablen zuruckgreift bei denen sogar ein gewisses Mass an stochastischer Abhangigkeit zwischen den Zufallsvariablen erlaubt ist Der Satz ist nach Jarl Waldemar Lindeberg und William Feller benannt Teils wird der Satz auch in seine Teilaussagen zerlegt Dabei wird die eine Implikation dann als Lindeberg Theorem 3 oder zentraler Grenzverteilungssatz von Lindeberg 4 bezeichnet die andere als Satz von Feller 5 Inhaltsverzeichnis 1 Rahmenbedingungen 2 Aussage 3 Bemerkung 4 Geschichte 5 Weblinks 6 Literatur 7 EinzelnachweiseRahmenbedingungen BearbeitenBei dem gewohnlichen Grenzwertsatz wird immer gefordert dass die betrachtete Folge von Zufallsvariablen X n n N displaystyle X n n in mathbb N nbsp stochastisch unabhangige Zufallsvariablen und die Varianzen endlich sind Bei schwacheren Formulierungen wird ausserdem gefordert dass die Zufallsvariablen identisch verteilt sind Diese Forderung kann man allerdings durch die Lindeberg Bedingung fur Folgen und die Ljapunow Bedingung fur Folgen ersetzen Nun stellt sich die Frage ob man die Voraussetzungen fur den Satz weiter abschwachen kann und ein gewisses Mass an Abhangigkeit moglich ist Diese Frage lasst sich positiv beantworten Dazu definiert man ein sogenanntes Schema von Zufallsvariablen Dieses entspricht einer Folge von Kleingruppen von Zufallsvariablen Jede dieser Kleingruppen von Zufallsvariablen hat k n displaystyle k n nbsp Elemente Formal werden Schemata von Zufallsvariablen als Folge von diesen Kleingruppen unter Verwendung von Doppelindizes definiert Nun kann man zeigen dass unter gewissen weiteren Voraussetzungen es fur die Konvergenz ausreichend ist die Unabhangigkeit der Zufallsvariablen nur innerhalb der Kleingruppen zu fordern Die Beziehungen der Zufallsvariablen zwischen unterschiedlichen Kleingruppen spielen keine Rolle Aussage BearbeitenGegeben sei ein Schema von Zufallsvariablen X n l displaystyle X n l nbsp und sei S n l 1 k n X n l displaystyle S n sum l 1 k n X n l nbsp Ausserdem sei X n l displaystyle X n l nbsp ein normiertes zentriertes und unabhangiges Schema Dann gilt die Lindeberg Bedingung fur Schemata von Zufallsvariablen genau dann wenn X n l displaystyle X n l nbsp ein asymptotisch vernachlassigbares Schema ist und die Verteilung von S n displaystyle S n nbsp in Verteilung gegen die Standardnormalverteilung N 0 1 displaystyle mathcal N 0 1 nbsp konvergiert also S n n N 0 1 displaystyle S n stackrel n to infty implies mathcal N 0 1 nbsp gilt Bemerkung BearbeitenDa aus der Ljapunow Bedingung fur Schemata die Lindeberg Bedingung folgt kann man aus der Ljapunow Bedingung auf die Konvergenz in Verteilung und die asymptotische Vernachlassigbarkeit schliessen Die Ruckrichtung ist aber im Allgemeinen falsch da aus der Lindeberg Bedingung nicht notwendigerweise die Ljapunow Bedingung folgt Geschichte BearbeitenDer Beweis des Satzes folgte in zwei Teilen Dabei entsprach jeder Teil einer Implikation der oben formulierten Aquivalenz Der Schluss von der Lindeberg Bedingung auf die Konvergenz in Verteilung und die asymptotische Vernachlassigbarkeit wurde von Jarl Waldemar Lindeberg 1922 gezeigt Dieser Teil ist meist interessanter fur die Anwendungen und tragt teilweise den eigenstandigen Namen Lindeberg Theorem Die Ruckrichtung Satz von Feller wurde dann von William Feller 1935 und 1937 bewiesen Weblinks BearbeitenV V Petrov Lindeberg Feller theorem In Michiel Hazewinkel Hrsg Encyclopedia of Mathematics Springer Verlag und EMS Press Berlin 2002 ISBN 1 55608 010 7 englisch encyclopediaofmath org Eric W Weisstein Lindeberg Feller Central Limit Theorem In MathWorld englisch Literatur BearbeitenAchim Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie 3 Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 2013 ISBN 978 3 642 36017 6 doi 10 1007 978 3 642 36018 3 David Meintrup Stefan Schaffler Stochastik Theorie und Anwendungen Springer Verlag Berlin Heidelberg New York 2005 ISBN 978 3 540 21676 6 doi 10 1007 b137972 Norbert Kusolitsch Mass und Wahrscheinlichkeitstheorie Eine Einfuhrung 2 uberarbeitete und erweiterte Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 2014 ISBN 978 3 642 45386 1 doi 10 1007 978 3 642 45387 8 Einzelnachweise Bearbeiten Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie 2013 S 328 Kusolitsch Mass und Wahrscheinlichkeitstheorie 2014 S 307 Meintrup Schaffler Stochastik 2005 S 204 Kusolitsch Mass und Wahrscheinlichkeitstheorie 2014 S 311 Kusolitsch Mass und Wahrscheinlichkeitstheorie 2014 S 312 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Zentraler Grenzwertsatz von Lindeberg Feller amp oldid 234102370