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Lindeberg Bedingung Die ist ein Begriff aus der Stochastik Erfüllt eine Folge von stochastisch unabhängigen Zufallsvaria

Lindeberg-Bedingung

Die Lindeberg-Bedingung ist ein Begriff aus der Stochastik. Erfüllt eine Folge von stochastisch unabhängigen Zufallsvariablen diese Bedingung, so gilt für sie der Zentrale Grenzwertsatz, auch wenn die Zufallsvariablen nicht zwingenderweise identisch verteilt sind. Allgemeiner lässt sich die Lindeberg-Bedingung auch für Schemata von Zufallsvariablen formulieren, hier ist dann sogar ein gewisses Maß an Abhängigkeit zwischen den Zufallsvariablen zulässig. Diese Formulierung spielt eine wichtige Rolle im zentralen Grenzwertsatz von Lindeberg-Feller, einer Verallgemeinerung des "gewöhnlichen" zentralen Grenzwertsatzes.

Die Lindeberg-Bedingung wurde nach dem finnischen Mathematiker Jarl Waldemar Lindeberg benannt. Eine weitere hinreichende Bedingung für den zentralen Grenzwertsatz ist die Ljapunow-Bedingung.

Formulierung für Folgen von Zufallsvariablen Bearbeiten

Seien unabhängige, quadratisch integrierbare Zufallsvariablen mit für alle und seien

Gilt dann die Lindeberg-Bedingung

wobei die Indikatorfunktion bezeichnet, so genügt die Folge dem zentralen Grenzwertsatz, d. h. die Größe

konvergiert in Verteilung für gegen eine standardnormalverteilte Zufallsgröße , sprich

wobei hier die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung beschreibt.

Umkehrung Bearbeiten

Die Umkehrung des obigen Sachverhaltes gilt i. A. nicht. Hierfür ist eine zusätzliche Forderung an die Folge notwendig:

Die unabhängige Folge quadratisch integrierbarer, reeller Zufallsvariablen mit genüge dem zentralen Grenzwertsatz und erfülle weiter die Feller-Lévy-Bedingung

Dann erfüllt die Folge auch die Lindeberg-Bedingung.

Formulierung für Schemata von Zufallsvariablen Bearbeiten

Gegeben sei ein zentriertes Schema von Zufallsvariablen , bei dem jede Zufallsvariable quadratintegrierbar ist, und seien

die Summen über die zweiten Indizes. Das Schema erfüllt nun die Lindeberg-Bedingung, wenn für jedes gilt, dass

ist.

Literatur Bearbeiten

Weblink Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Eric W. Weisstein: Feller-Lévy Condition. In: MathWorld (englisch).
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Die Lindeberg Bedingung ist ein Begriff aus der Stochastik Erfullt eine Folge von stochastisch unabhangigen Zufallsvariablen diese Bedingung so gilt fur sie der Zentrale Grenzwertsatz auch wenn die Zufallsvariablen nicht zwingenderweise identisch verteilt sind Allgemeiner lasst sich die Lindeberg Bedingung auch fur Schemata von Zufallsvariablen formulieren hier ist dann sogar ein gewisses Mass an Abhangigkeit zwischen den Zufallsvariablen zulassig Diese Formulierung spielt eine wichtige Rolle im zentralen Grenzwertsatz von Lindeberg Feller einer Verallgemeinerung des gewohnlichen zentralen Grenzwertsatzes Die Lindeberg Bedingung wurde nach dem finnischen Mathematiker Jarl Waldemar Lindeberg benannt Eine weitere hinreichende Bedingung fur den zentralen Grenzwertsatz ist die Ljapunow Bedingung Inhaltsverzeichnis 1 Formulierung fur Folgen von Zufallsvariablen 2 Umkehrung 3 Formulierung fur Schemata von Zufallsvariablen 4 Literatur 5 Weblink 6 EinzelnachweiseFormulierung fur Folgen von Zufallsvariablen BearbeitenSeien X 1 X 2 X 3 displaystyle X 1 X 2 X 3 ldots nbsp unabhangige quadratisch integrierbare Zufallsvariablen mit s n 2 Var X n gt 0 displaystyle sigma n 2 mbox Var X n gt 0 nbsp fur alle n N displaystyle n in mathbb N nbsp und seien s n k 1 n s k 2 m n E X n displaystyle s n sqrt sum k 1 n sigma k 2 quad quad mu n mbox E X n nbsp Gilt dann die Lindeberg Bedingung e gt 0 lim n i 1 n E X i m i 2 s n 2 1 X i m i gt e s n lim n 1 s n 2 i 1 n x m i gt e s n x m i 2 P X i d x 0 displaystyle forall varepsilon gt 0 quad lim n to infty sum i 1 n mbox E left frac X i mu i 2 s n 2 cdot 1 left X i mu i gt varepsilon s n right right lim n to infty frac 1 s n 2 sum i 1 n int left x mu i gt varepsilon s n right x mu i 2 P X i dx 0 nbsp wobei 1 T displaystyle 1 T nbsp die Indikatorfunktion bezeichnet so genugt die Folge X i i displaystyle X i i nbsp dem zentralen Grenzwertsatz d h die Grosse 1 s n i 1 n X i m i displaystyle frac 1 s n sum i 1 n X i mu i nbsp konvergiert in Verteilung fur n displaystyle n to infty nbsp gegen eine standardnormalverteilte Zufallsgrosse Z N 0 1 displaystyle Z sim mathcal N 0 1 nbsp sprich z R lim n P 1 s n i 1 n X i m i z P Z z F z displaystyle forall z in mathbb R quad lim n rightarrow infty mbox P left frac 1 s n sum i 1 n X i mu i leq z right mbox P Z leq z Phi z nbsp wobei hier F displaystyle Phi nbsp die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung beschreibt Umkehrung BearbeitenDie Umkehrung des obigen Sachverhaltes gilt i A nicht Hierfur ist eine zusatzliche Forderung an die Folge X 1 X 2 displaystyle X 1 X 2 dots nbsp notwendig Die unabhangige Folge X i i displaystyle X i i nbsp quadratisch integrierbarer reeller Zufallsvariablen mit s i 2 gt 0 i displaystyle sigma i 2 gt 0 forall i nbsp genuge dem zentralen Grenzwertsatz und erfulle weiter die Feller Levy Bedingung 1 lim n max j 1 n s j s n 0 displaystyle lim n to infty left max j in 1 n frac sigma j s n right 0 nbsp Dann erfullt die Folge X i i displaystyle X i i nbsp auch die Lindeberg Bedingung Formulierung fur Schemata von Zufallsvariablen BearbeitenGegeben sei ein zentriertes Schema von Zufallsvariablen X n l n N l 1 k n displaystyle X n l n in mathbb N l 1 ldots k n nbsp bei dem jede Zufallsvariable X n l displaystyle X n l nbsp quadratintegrierbar ist und seien S n l 1 k n X n l displaystyle S n sum l 1 k n X n l nbsp die Summen uber die zweiten Indizes Das Schema erfullt nun die Lindeberg Bedingung wenn fur jedes e gt 0 displaystyle varepsilon gt 0 nbsp gilt dass lim n 1 Var S n l 1 k n E X n l 2 x X n l 2 gt e 2 Var S n 0 displaystyle lim n to infty frac 1 operatorname Var S n sum l 1 k n operatorname E left X n l 2 chi X n l 2 gt varepsilon 2 operatorname Var S n right 0 nbsp ist Literatur BearbeitenHeinz Bauer Wahrscheinlichkeitstheorie De Gruyter Berlin New York 2002 ISBN 3110172364 S 239 J W Lindeberg Eine neue Herleitung des Exponentialgesetzes in der Wahrscheinlichkeitsrechnung In Mathematische Zeitschrift Band 15 1922 S 211 225 Achim Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie 3 Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 2013 ISBN 978 3 642 36017 6 doi 10 1007 978 3 642 36018 3 David Meintrup Stefan Schaffler Stochastik Theorie und Anwendungen Springer Verlag Berlin Heidelberg New York 2005 ISBN 978 3 540 21676 6 doi 10 1007 b137972 Weblink BearbeitenEric W Weisstein Lindeberg Condition auf MathWorld Einzelnachweise Bearbeiten Eric W Weisstein Feller Levy Condition In MathWorld englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Lindeberg Bedingung amp oldid 211620389