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Schema von Zufallsvariablen Ein auch Dreiecksschema genannt bezeichnet in der Wahrscheinlichkeitstheorie eine Verallgeme

Schema von Zufallsvariablen

Ein Schema von Zufallsvariablen, auch Dreiecksschema genannt, bezeichnet in der Wahrscheinlichkeitstheorie eine Verallgemeinerung einer Folge von Zufallsvariablen, bei der die Zufallsvariablen über einen zweiten Index in kleinere Gruppen zusammengefasst werden. Dies hat den Vorteil, dass man gewisse Eigenschaften (Normiertheit, Zentriertheit, Unabhängigkeit) nur für diese Untergruppen fordern muss und nicht für die gesamte Folge und dabei trotzdem noch gewisse Aussagen treffen kann. Schemata von Zufallsvariablen spielen eine Rolle bei dem zentralen Grenzwertsatz von Lindeberg-Feller, einer Verallgemeinerung des zentralen Grenzwertsatzes für Partialsummen von Schemata von Zufallsvariablen.

Definition Bearbeiten

Für jedes sei ein gegeben und Zufallsvariablen . Dann heißt

ein Schema von Zufallsvariablen. Die Zufallsvariablen werden also immer in Gruppen der Größe zusammengefasst.

Beispiel Bearbeiten

Gegeben sei eine Folge unabhängig identisch verteilter Zufallsvariablen. Wir setzen der Einfachheit halber für alle . Die Gruppen bestehen also alle aus 4 Zufallsvariablen. Das Schema sei nun definiert als

Es werden also immer Teilsummen der Folgen gebildet, welche die Länge haben und sich gegenseitig nicht überlappen. Ausgeschrieben würde das Schema so aussehen:

Präzisierungen Bearbeiten

Wie auch bei Folgen von Zufallsvariablen lassen sich für Schemata von Zufallsvariablen noch einige Präzisierungen des Begriffs angeben.

Unabhängiges Schema Bearbeiten

Ein Schema von Zufallsvariablen heißt ein unabhängiges Schema, wenn für alle die Zufallsvariablen stochastisch unabhängig sind.

Zentriertes Schema Bearbeiten

Ein Schema von Zufallsvariablen heißt ein zentriertes Schema, wenn ist für alle .

Normiertes Schema Bearbeiten

Ein Schema von Zufallsvariablen heißt ein normiertes Schema, wenn für alle gilt, dass

ist.

Asymptotisch vernachlässigbares Schema Bearbeiten

Ein zentriertes Schema von Zufallsvariablen heißt asymptotisch vernachlässigbares Schema, wenn

ist für jedes .

Beispiele Bearbeiten

  • Das oben betrachtete Schema ist ein unabhängiges Schema, denn Teilsummen von Folgen unabhängiger Zufallsvariablen, die keine Summanden gemeinsam haben, sind wieder unabhängig. Hat den Erwartungswert 0, so haben auch alle Teilsummen den Erwartungswert 0 und damit handelt es sich dann auch um ein zentriertes Schema. Über Normiertheit oder asymptotische Vernachlässigbarkeit lässt sich ohne weitere Angaben über die Zufallsvariablen nichts aussagen.
  • Ist eine Folge unabhängig identisch verteilter Zufallsvariablen mit gemeinsamen Erwartungswert und Varianz , dann ist durch
mit , ein unabhängiges, zentriertes, normiertes und asymptotisch vernachlässigbares Schema gegeben.

Weblinks Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.
  • David Meintrup, Stefan Schäffler: Stochastik. Theorie und Anwendungen. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2005, ISBN 978-3-540-21676-6, doi:10.1007/b137972.
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Ein Schema von Zufallsvariablen auch Dreiecksschema genannt bezeichnet in der Wahrscheinlichkeitstheorie eine Verallgemeinerung einer Folge von Zufallsvariablen bei der die Zufallsvariablen uber einen zweiten Index in kleinere Gruppen zusammengefasst werden Dies hat den Vorteil dass man gewisse Eigenschaften Normiertheit Zentriertheit Unabhangigkeit nur fur diese Untergruppen fordern muss und nicht fur die gesamte Folge und dabei trotzdem noch gewisse Aussagen treffen kann Schemata von Zufallsvariablen spielen eine Rolle bei dem zentralen Grenzwertsatz von Lindeberg Feller einer Verallgemeinerung des zentralen Grenzwertsatzes fur Partialsummen von Schemata von Zufallsvariablen Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiel 3 Prazisierungen 3 1 Unabhangiges Schema 3 2 Zentriertes Schema 3 3 Normiertes Schema 3 4 Asymptotisch vernachlassigbares Schema 3 5 Beispiele 4 Weblinks 5 LiteraturDefinition BearbeitenFur jedes n N displaystyle n in mathbb N nbsp sei ein k n N displaystyle k n in mathbb N nbsp gegeben und Zufallsvariablen X n 1 X n k n displaystyle X n 1 dots X n k n nbsp Dann heisst X n l X n l l 1 k n fur n N displaystyle X n l X n l l 1 dots k n text fur n in mathbb N nbsp ein Schema von Zufallsvariablen Die Zufallsvariablen werden also immer in Gruppen der Grosse k n displaystyle k n nbsp zusammengefasst Beispiel BearbeitenGegeben sei eine Folge Y n n N displaystyle Y n n in mathbb N nbsp unabhangig identisch verteilter Zufallsvariablen Wir setzen der Einfachheit halber k n 4 displaystyle k n 4 nbsp fur alle n N displaystyle n in mathbb N nbsp Die Gruppen bestehen also alle aus 4 Zufallsvariablen Das Schema sei nun definiert als X n l i n l 1 1 n l Y i displaystyle X n l sum i n l 1 1 nl Y i nbsp Es werden also immer Teilsummen der Folgen gebildet welche die Lange n displaystyle n nbsp haben und sich gegenseitig nicht uberlappen Ausgeschrieben wurde das Schema so aussehen l 1 l 2 l 3 l 4 n 1 Y 1 Y 2 Y 3 Y 4 n 2 Y 1 Y 2 Y 3 Y 4 Y 5 Y 6 Y 7 Y 8 n 3 Y 1 Y 2 Y 3 Y 4 Y 5 Y 6 Y 7 Y 8 Y 9 Y 10 Y 11 Y 12 displaystyle begin matrix amp l 1 amp l 2 amp l 3 amp l 4 n 1 amp Y 1 amp Y 2 amp Y 3 amp Y 4 n 2 amp Y 1 Y 2 amp Y 3 Y 4 amp Y 5 Y 6 amp Y 7 Y 8 n 3 amp Y 1 Y 2 Y 3 amp Y 4 Y 5 Y 6 amp Y 7 Y 8 Y 9 amp Y 10 Y 11 Y 12 end matrix nbsp Prazisierungen BearbeitenWie auch bei Folgen von Zufallsvariablen lassen sich fur Schemata von Zufallsvariablen noch einige Prazisierungen des Begriffs angeben Unabhangiges Schema Bearbeiten Ein Schema von Zufallsvariablen heisst ein unabhangiges Schema wenn fur alle n N displaystyle n in mathbb N nbsp die Zufallsvariablen X n l l 1 k n displaystyle X n l l 1 dots k n nbsp stochastisch unabhangig sind Zentriertes Schema Bearbeiten Ein Schema von Zufallsvariablen heisst ein zentriertes Schema wenn E X n l 0 displaystyle operatorname E X n l 0 nbsp ist fur alle n l displaystyle n l nbsp Normiertes Schema Bearbeiten Ein Schema von Zufallsvariablen heisst ein normiertes Schema wenn fur alle n N displaystyle n in mathbb N nbsp gilt dass l 1 k n Var X n l 1 displaystyle sum l 1 k n operatorname Var X n l 1 nbsp ist Asymptotisch vernachlassigbares Schema Bearbeiten Ein zentriertes Schema von Zufallsvariablen heisst asymptotisch vernachlassigbares Schema wenn lim n max 1 l k n P X n l gt e 0 displaystyle lim n to infty max 1 leq l leq k n P X n l gt varepsilon 0 nbsp ist fur jedes ϵ gt 0 displaystyle epsilon gt 0 nbsp Beispiele Bearbeiten Das oben betrachtete Schema ist ein unabhangiges Schema denn Teilsummen von Folgen unabhangiger Zufallsvariablen die keine Summanden gemeinsam haben sind wieder unabhangig Hat Y 1 displaystyle Y 1 nbsp den Erwartungswert 0 so haben auch alle Teilsummen den Erwartungswert 0 und damit handelt es sich dann auch um ein zentriertes Schema Uber Normiertheit oder asymptotische Vernachlassigbarkeit lasst sich ohne weitere Angaben uber die Zufallsvariablen nichts aussagen Ist Y n n N displaystyle Y n n in mathbb N nbsp eine Folge unabhangig identisch verteilter Zufallsvariablen mit gemeinsamen Erwartungswert E Y n m displaystyle operatorname E Y n mu nbsp und Varianz Var Y n s 2 displaystyle operatorname Var Y n sigma 2 nbsp dann ist durchX n l Y l m s n displaystyle X n l frac Y l mu sigma sqrt n nbsp dd mit n N displaystyle n in mathbb N nbsp l 1 n displaystyle l 1 dotsc n nbsp ein unabhangiges zentriertes normiertes und asymptotisch vernachlassigbares Schema gegeben Weblinks BearbeitenA V Prokhorov Asymptotic negligibility In Michiel Hazewinkel Hrsg Encyclopedia of Mathematics Springer Verlag und EMS Press Berlin 2002 ISBN 1 55608 010 7 englisch encyclopediaofmath org Literatur BearbeitenAchim Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie 3 Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 2013 ISBN 978 3 642 36017 6 doi 10 1007 978 3 642 36018 3 David Meintrup Stefan Schaffler Stochastik Theorie und Anwendungen Springer Verlag Berlin Heidelberg New York 2005 ISBN 978 3 540 21676 6 doi 10 1007 b137972 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Schema von Zufallsvariablen amp oldid 211620340