In der Statistik ist die durch die Regression erklarte Quadratsumme bzw erklarte Abweichungsquadratsumme kurz SQE fur Summe der Quadrate der Erklarten Abweichungen englisch sum of squared explained deviations kurz SSE oder explained sum of squares kurz ESS Summe der Abweichungsquadrate der y displaystyle hat y Werte kurz S A Q y displaystyle SAQ hat y bzw SAQErklart oft auch Modellquadratsumme oder Regressionsquadratsumme die Quadratsumme der Schatzwerte bzw Regresswerte Sie wird berechnet als Summe der Quadrate der zentrierten Schatzwerte und kann als Gesamtvariation der Schatzwerte y i displaystyle hat y i erklarte Variation interpretiert werden Uber die genaue Bezeichnung und ihre Abkurzungen gibt es international keine Einigkeit 1 In der deutschsprachigen Literatur wird manchmal die deutsche Bezeichnung mit englischen Abkurzungen gebraucht 2 Diese Grafik zeigt die Quadratsummenzerlegung d h die Zerlegung der totalen Quadratsumme in die erklarte Quadratsumme und die Residuenquadratsumme Die Summe der grunen Abweichungsquadrate ist die erklarte Quadratsumme Inhaltsverzeichnis 1 Definition 1 1 Einfache lineare Regression 2 Matrixschreibweise 3 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenDie erklarte Abweichungs Quadratsumme bzw Regressionsquadratsumme ist definiert als Quadratsumme der durch die Regressionsfunktion erklarten Abweichungen y i y displaystyle hat y i overline y nbsp 1 S Q E S Q E r k l a r t i 1 n y i y 2 i 1 n y i y 2 displaystyle SQE SQ mathrm Erkl ddot a rt equiv sum i 1 n hat y i overline y 2 sum i 1 n hat y i overline hat y 2 nbsp Manchmal findet sich auch die Abkurzung S Q R displaystyle SQR nbsp bzw S Q Regression displaystyle SQ text Regression nbsp Dieser Ausdruck kann allerdings leicht mit der Residuenquadratsumme englisch sum of squared residuals verwechselt werden die ebenfalls mit S Q R displaystyle SQR nbsp abgekurzt wird Wenn das zugrundeliegende lineare Modell ein von Null verschiedenes Absolutglied b 0 displaystyle beta 0 nbsp enthalt stimmt der empirische Mittelwert der Schatzwerte y i displaystyle hat y i nbsp mit dem der beobachteten Messwerte y i displaystyle y i nbsp uberein also y 1 n i 1 n y i y displaystyle textstyle overline hat y tfrac 1 n sum nolimits i 1 n hat y i overline y nbsp fur einen Beweis im multiplen Fall siehe Bestimmtheitsmass Matrixschreibweise Die erklarte Quadratsumme misst die Streuung der Schatzwerte y i displaystyle hat y i nbsp um ihren Mittelwert y y displaystyle overline hat y overline y nbsp Das Verhaltnis der durch die Regression erklarten Quadratsumme zur totalen Quadratsumme wird Bestimmtheitsmass der Regression genannt Einfache lineare Regression Bearbeiten In der einfachen linearen Regression Modell mit nur einer erklarenden Variable y i b 0 x i b 1 e i displaystyle y i beta 0 x i beta 1 varepsilon i nbsp lasst sich die erklarte Quadratsumme auch wie folgt ausdrucken S Q E i 1 n y i y 2 i 1 n y i b 0 b 1 x 2 displaystyle SQE sum i 1 n hat y i overline y 2 sum i 1 n hat y i hat beta 0 hat beta 1 overline x 2 nbsp Hierbei stellen die y i b 0 b 1 x displaystyle hat y i hat beta 0 hat beta 1 x nbsp die vorhergesagten Werte dar und b 0 displaystyle hat beta 0 nbsp ist die Schatzung des Absolutglieds und b 1 displaystyle hat beta 1 nbsp die Schatzung des Steigungsparameters Aus dieser Schreibweise lasst sich erkennen dass sich die erklarte Quadratsumme auch darstellen lasst als Produkt aus dem Quadrat des Bravais Pearson Korrelationskoeffizienten r x y 2 displaystyle r xy 2 nbsp und der totalen Quadratsumme S Q T displaystyle SQT nbsp 3 S Q E S Q T r x y 2 displaystyle SQE SQT cdot r xy 2 nbsp wobei b 1 displaystyle hat beta 1 nbsp der Kleinste Quadrate Schatzer fur die Steigung b 1 S P x y S Q x displaystyle hat beta 1 SP xy SQ x nbsp der Quotient aus Produktsumme von x displaystyle x nbsp und y displaystyle y nbsp und Quadratsumme von x displaystyle x nbsp ist Um dies zu zeigen muss zunachst gezeigt werden dass wenn das zugrundeliegende lineare Modell ein von Null verschiedenes Absolutglied b 0 displaystyle beta 0 nbsp enthalt der empirische Mittelwert der Schatzwerte y i displaystyle hat y i nbsp mit dem der beobachteten Messwerte y i displaystyle y i nbsp ubereinstimmt Dies gilt wegen 4 y 1 n i 1 n y i 1 n i 1 n b 0 b 1 x i b 0 b 1 x y b 1 x b 1 x y displaystyle overline hat y frac 1 n sum i 1 n hat y i frac 1 n sum i 1 n hat beta 0 hat beta 1 x i hat beta 0 hat beta 1 overline x overline y hat beta 1 overline x hat beta 1 overline x overline y nbsp und daher S Q E i 1 n y i y 2 i 1 n y i y 2 i 1 n b 0 b 1 x i b 0 b 1 x 2 i 1 n b 1 x i x 2 b 1 2 i 1 n x i x 2 b 1 2 S Q x S Q T r x y 2 displaystyle begin aligned SQE amp sum nolimits i 1 n hat y i overline y 2 displaystyle sum nolimits i 1 n hat y i overline hat y 2 amp displaystyle sum nolimits i 1 n hat beta 0 hat beta 1 x i hat beta 0 hat beta 1 overline x 2 amp displaystyle sum nolimits i 1 n hat beta 1 x i overline x 2 amp hat beta 1 2 displaystyle sum nolimits i 1 n left x i overline x right 2 amp hat beta 1 2 SQ x amp SQT cdot r xy 2 end aligned nbsp wobei der letzte Schritt aus der Tatsache folgt dass sich b 1 displaystyle hat beta 1 nbsp auch schreiben lasst als b 1 i 1 n x i x 2 i 1 n y i y 2 i 1 n x i x 2 r x y displaystyle hat beta 1 frac sqrt displaystyle sum nolimits i 1 n left x i bar x right 2 sqrt displaystyle sum nolimits i 1 n left y i bar y right 2 displaystyle sum nolimits i 1 n left x i bar x right 2 r xy nbsp Durch die Quadratsummenzerlegung S Q T S Q E S Q R displaystyle SQT SQE SQR nbsp bzw S Q E S Q T S Q R displaystyle SQE SQT SQR nbsp kann man durch ersetzen von S Q E S Q T S Q R displaystyle SQE SQT SQR nbsp in S Q E S Q T r x y 2 displaystyle SQE SQT cdot r xy 2 nbsp auf diesem Wege ebenfalls die folgende Darstellung fur die Residuenquadratsumme S Q R displaystyle SQR nbsp finden S Q R S Q T 1 r x y 2 displaystyle SQR SQT cdot 1 r xy 2 nbsp Matrixschreibweise BearbeitenIn Matrixschreibweise kann die erklarte Quadratsumme wie folgt ausgedruckt werden S Q E y y y y y y n y 2 b X y n y 2 displaystyle SQE left hat mathbf y overline mathbf y right top left hat mathbf y overline mathbf y right hat mathbf y top hat mathbf y n overline hat y 2 mathbf b top mathbf X top mathbf y n overline y 2 nbsp Hierbei ist y displaystyle overline mathbf y nbsp ein Vektor mit den Elementen y displaystyle overline y nbsp und y displaystyle hat mathbf y nbsp ist definiert durch y X b displaystyle hat mathbf y mathbf X mathbf b nbsp wobei b X X 1 X y displaystyle mathbf b left mathbf X top mathbf X right 1 mathbf X top mathbf y nbsp den Kleinste Quadrate Schatzvektor und X displaystyle mathbf X nbsp die Datenmatrix darstellt Einzelnachweise Bearbeiten a b Jeffrey Marc Wooldridge Introductory econometrics A modern approach 4 Auflage Nelson Education 2015 S 39 Moosmuller Gertrud Methoden der empirischen Wirtschaftsforschung Pearson Deutschland GmbH 2008 S 239 Werner Timischl Angewandte Statistik Eine Einfuhrung fur Biologen und Mediziner 2013 3 Auflage S 315 Ludwig Fahrmeir Rita Kunstler Iris Pigeot Gerhard Tutz Statistik Der Weg zur Datenanalyse 8 uberarb und erg Auflage Springer Spektrum Berlin Heidelberg 2016 ISBN 978 3 662 50371 3 S 151 Abweichungsquadratsummen der Quadratsummenzerlegung Totale Quadratsumme Erklarte Quadratsumme Residuenquadratsumme Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Erklarte Quadratsumme amp oldid 224119976
