Die verallgemeinerte hypergeometrische Funktion ist in der Mathematik eine Funktion die die Gausssche hypergeometrische Funktion und letztlich die geometrische Reihe verallgemeinert Sie wird zur Klasse der speziellen Funktionen gezahlt Die verallgemeinerte hypergeometrische Funktion enthalt viele wichtige Funktionen als Spezialfalle allen voran die Exponentialfunktion und die trigonometrischen Funktionen In der Tat gibt es eine grosse Zahl von Funktionen die sich als eine hypergeometrische Funktion schreiben lassen Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Konvergenzbedingungen 3 Eigenschaften 3 1 Eulers Integraltransformation 3 2 Differentialgleichung 4 Spezielle hypergeometrische Funktionen 4 1 Die Funktion 0F0 4 2 Die Funktion 0F1 4 3 Die Funktion 1F0 4 4 Die Funktion 1F1 4 5 Die Funktion 2F0 4 6 Die Funktion 2F1 4 7 Die Funktion 3F0 4 8 Die Funktion 3F1 5 Weitere Verallgemeinerungen 6 Literatur 7 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenDie verallgemeinerte hypergeometrische Funktion wird definiert durch p F q a 1 a p b 1 b q z k 0 i 1 p G k a i G a i j 1 q G b j G k b j z k k displaystyle p F q a 1 dots a p b 1 dots b q z sum k 0 infty prod i 1 p frac Gamma k a i Gamma a i prod j 1 q frac Gamma b j Gamma k b j frac z k k nbsp wobei G displaystyle Gamma cdot nbsp die Gammafunktion ist Die Koeffizienten p q N 0 displaystyle p q in mathbb N 0 nbsp und die Parameter a i b j C displaystyle a i b j in mathbb C nbsp sind dabei so zu wahlen dass die Potenzreihen fur ein geeignetes z C displaystyle z in mathbb C nbsp konvergieren Weitere ubliche Notation der verallgemeinerten hypergeometrischen Funktion lauten p F q a 1 a 2 a p 1 a p b 1 b 2 b q 1 b q z displaystyle p F q left begin matrix a 1 a 2 dots a p 1 a p b 1 b 2 dots b q 1 b q end matrix z right quad nbsp und p F q a 1 a 2 a p 1 a p b 1 b 2 b q 1 b q z displaystyle quad p F q left begin matrix a 1 a 2 dots a p 1 a p b 1 b 2 dots b q 1 b q end matrix bigg vert z right nbsp Durch die Wahl der Koeffizienten p displaystyle p nbsp und q displaystyle q nbsp werden schliesslich spezielle hypergeometrische Funktionen konstruiert etwa die Kummersche hypergeometrische Funktion p q 1 displaystyle p q 1 nbsp oder mit p 2 displaystyle p 2 nbsp und q 1 displaystyle q 1 nbsp die Gausssche hypergeometrische Funktion Konvergenzbedingungen BearbeitenUnter gewissen Bedingungen sind die Potenzreihen divergent und ermoglichen somit keine Darstellung einer allgemeinen hypergeometrischen Funktion Insbesondere gibt es Bedingungen fur a i displaystyle a i nbsp und b j displaystyle b j nbsp bei denen die Ausdrucke G k a i G a i displaystyle tfrac Gamma k a i Gamma a i nbsp bzw G b j G k b j displaystyle tfrac Gamma b j Gamma k b j nbsp in der Potenzreihe Divergenzen erzeugen Beispiel 1 1 F 1 2 1 z k 0 G k 2 G 2 G 1 G k 1 z k k k 0 k 1 1 G 1 G k 1 z k k k 0 k 1 1 G 1 G k 1 z k 1 2 G 1 G 0 z 3 G 1 G 1 z 2 4 G 1 G 2 z 3 5 G 1 G 3 z 4 1 2 G 0 1 G 0 z 3 G 0 1 0 z 2 4 G 0 1 1 z 3 5 G 0 1 2 z 4 1 2 z G 0 k 1 k 2 k 1 z k 1 lim x 0 G x displaystyle begin aligned 1 F 1 left 2 1 z right amp sum k 0 infty frac Gamma k 2 Gamma 2 frac Gamma 1 Gamma k 1 frac z k k sum k 0 infty frac k 1 1 frac Gamma 1 Gamma k 1 frac z k k sum k 0 infty frac k 1 1 frac Gamma 1 Gamma k 1 z k amp 1 2 frac Gamma 1 Gamma 0 z qquad 3 frac Gamma 1 Gamma 1 z 2 4 frac Gamma 1 Gamma 2 z 3 5 frac Gamma 1 Gamma 3 z 4 dotsm amp 1 2 frac Gamma 0 1 Gamma 0 z quad 3 frac Gamma 0 1 0 z 2 4 frac Gamma 0 1 1 z 3 5 frac Gamma 0 1 2 z 4 dotsm amp 1 2z Gamma 0 sum k 1 infty frac k 2 k 1 z k 1 quad xrightarrow lim x to 0 Gamma x to infty quad quad infty end aligned nbsp Bei der Berechnung wurde die Funktionalgleichung der Gammafunktion G k 1 k G k displaystyle Gamma k 1 k Gamma k nbsp mit der Identitat G 1 G 0 1 displaystyle Gamma 1 tfrac Gamma 0 1 nbsp verwendet Beispiel 2 0 F 1 1 z k 0 G 1 G k 1 z k k 1 G 1 G 0 z 1 G 1 G 1 z 2 2 G 1 G 2 z 3 3 G 1 G 3 z 4 4 1 G 0 G 0 z 1 G 0 G 1 z 2 2 G 0 G 2 z 3 3 G 0 G 3 z 4 4 1 z G 0 0 z 2 2 G 0 1 z 3 3 G 0 2 z 4 4 1 z G 0 k 2 1 k 2 z k k lim x 0 G x displaystyle begin aligned 0 F 1 left 1 z right amp sum k 0 infty frac Gamma 1 Gamma k 1 frac z k k amp 1 qquad frac Gamma 1 Gamma 0 frac z 1 frac Gamma 1 Gamma 1 frac z 2 2 frac Gamma 1 Gamma 2 frac z 3 3 frac Gamma 1 Gamma 3 frac z 4 4 dotsm amp 1 qquad frac Gamma 0 Gamma 0 frac z 1 quad frac Gamma 0 Gamma 1 frac z 2 2 quad frac Gamma 0 Gamma 2 frac z 3 3 quad frac Gamma 0 Gamma 3 frac z 4 4 quad dotsm amp 1 qquad z qquad qquad frac Gamma 0 0 frac z 2 2 quad frac Gamma 0 1 frac z 3 3 quad frac Gamma 0 2 frac z 4 4 quad dotsm amp 1 qquad z qquad qquad Gamma 0 sum k 2 infty frac 1 k 2 frac z k k quad xrightarrow lim x to 0 Gamma x to infty quad quad infty end aligned nbsp Ausser bei den durch die Wahl der Parameter bedingten Divergenzen kann das Quotientenkriterium fur Reihen angewandt werden Wenn p lt q 1 displaystyle p lt q 1 nbsp ist dann ist nach dem Quotientenkriterium das Verhaltnis der Koeffizienten beschrankt und tendiert gegebenenfalls gegen 0 Dies impliziert dass die Reihe fur jedes endliche z displaystyle z nbsp konvergiert und somit eine ganze Funktion darstellt Ein Beispiel hierfur ist die Reihe der Exponentialfunktion Wenn p q 1 displaystyle p q 1 nbsp ist so zeigt das Quotientenkriterium dass das Verhaltnis der Koeffizienten gegen 0 strebt Dies impliziert dass die Reihe fur z lt 1 displaystyle z lt 1 nbsp konvergiert und fur z gt 1 displaystyle z gt 1 nbsp divergiert Um zu prufen ob die Reihe fur grosse Werte von z displaystyle z nbsp konvergiert wird eine analytische Betrachtung empfohlen Die Frage nach der Konvergenz fur z 1 displaystyle z 1 nbsp ist nicht einfach zu beantworten Es kann in diesem Fall gezeigt werden dass die Reihe fur z 1 displaystyle z 1 nbsp absolut konvergiert wenn Re j 1 q b j i 1 p a i gt 0 displaystyle operatorname Re left sum j 1 q b j sum i 1 p a i right gt 0 nbsp Falls i 1 p a i j 1 q b j displaystyle textstyle sum i 1 p a i geq sum j 1 q b j nbsp und z displaystyle z nbsp reell ist lasst sich die folgende Konvergenzbedingung angeben 1 lim z 1 1 z d log p F q a 1 a p b 1 b q z p d z i 1 p a i j 1 q b j displaystyle lim z rightarrow 1 1 z frac mathrm d log p F q a 1 ldots a p b 1 ldots b q z p mathrm d z sum i 1 p a i sum j 1 q b j nbsp Wenn p gt q 1 displaystyle p gt q 1 nbsp ist liefert das Quotientenkriterium ein unbegrenzt wachsendes Verhaltnis der Koeffizienten Dies impliziert dass die Reihe selbst im Falle von z 0 displaystyle z 0 nbsp divergiert Unter diesen Voraussetzungen erhalt man eine divergente oder asymptotische Reihe Andererseits kann die Reihe als eine Kurzschreibweise fur eine Differentialgleichung aufgefasst werden die der Summengleichung genugt Eigenschaften BearbeitenAufgrund der Ordnung des Grades des Parameters a i displaystyle a i nbsp und des Parameters b j displaystyle b j nbsp kann die allgemeine hypergeometrische Funktion geandert werden ohne den Wert der Funktion zu andern Wenn also a i displaystyle a i nbsp gleich einem der Parameter b j displaystyle b j nbsp ist so kann die Funktion um diese beiden Parameter gekurzt werden mit gewissen Ausnahmen fur Parameter mit nichtpositiven Werten Zum Beispiel ist 2 F 1 3 1 1 z 2 F 1 1 3 1 z 1 F 0 3 z displaystyle 2 F 1 3 1 1 z 2 F 1 1 3 1 z 1 F 0 3 z nbsp Eulers Integraltransformation Bearbeiten Die nachfolgende Identitat ermoglicht es die verallgemeinerte hypergeometrische Funktion hoherer Ordnung als Integralausdruck der verallgemeinerten hypergeometrischen Funktion nachst niedriger Ordnung darzustellen 2 A 1 F B 1 a 1 a A c b 1 b B d z G d G c G d c 0 1 t c 1 1 t d c 1 A F B a 1 a A b 1 b B t z d t displaystyle A 1 F B 1 left begin array c a 1 ldots a A c b 1 ldots b B d end array z right frac Gamma d Gamma c Gamma d c int 0 1 t c 1 1 t d c 1 A F B left begin array c a 1 ldots a A b 1 ldots b B end array tz right mathrm d t nbsp Differentialgleichung Bearbeiten Die allgemeine hypergeometrische Funktion genugt dem Differentialgleichungssystem 1 z d d z a i p F q a 1 a i a p b 1 b q z a i p F q a 1 a i 1 a p b 1 b q z displaystyle begin aligned qquad left z frac rm d rm d z a i right p F q left begin array c a 1 dots a i dots a p b 1 dots b q end array z right amp a i p F q left begin array c a 1 dots a i 1 dots a p b 1 dots b q end array z right end aligned nbsp 2 z d d z b j 1 p F q a 1 a p b 1 b j b q z b j 1 p F q a 1 a p b 1 b j 1 b q z displaystyle begin aligned qquad left z frac rm d rm d z b j 1 right p F q left begin array c a 1 dots a p b 1 dots b j dots b q end array z right amp b j 1 p F q left begin array c a 1 dots a p b 1 dots b j 1 dots b q end array z right end aligned nbsp 3 d d z p F q a 1 a p b 1 b q z i 1 p a i j 1 q b j p F q a 1 1 a p 1 b 1 1 b q 1 z displaystyle begin aligned qquad frac rm d rm d z p F q left begin array c a 1 dots a p b 1 dots b q end array z right amp frac prod i 1 p a i prod j 1 q b j p F q left begin array c a 1 1 dots a p 1 b 1 1 dots b q 1 end array z right end aligned nbsp Die Zusammenfassung dieser drei Gleichungen ergibt eine Differentialgleichung mit w p F q a 1 a p b 1 b q z displaystyle w p F q a 1 dots a p b 1 dots b q z nbsp z n 1 p z d d z a n w z d d z n 1 q z d d z b n 1 w displaystyle qquad qquad z prod n 1 p left z frac rm d rm d z a n right w z frac rm d rm d z prod n 1 q left z frac rm d rm d z b n 1 right w nbsp Anmerkungen Differentialgleichung 1 a i p F q a 1 a i 1 a p b 1 b q z d e f k 0 i 1 p a i G k a i 1 G a i 1 j 1 q G b j G k b j z k k d e f k 0 G k a 1 G a 1 G k a i 1 G a i 1 a i G k a i 1 G a i 1 G k a i 1 G a i 1 G k a p G a p j 1 q G b j G k b j z k k displaystyle begin aligned amp a i p F q left begin array c a 1 dots a i 1 dots a p b 1 dots b q end array z right stackrel mathrm def sum k 0 infty prod i 1 p tfrac a i cdot Gamma k a i 1 Gamma a i 1 prod j 1 q tfrac Gamma b j Gamma k b j tfrac z k k amp qquad stackrel mathrm def sum k 0 infty Big tfrac Gamma k a 1 Gamma a 1 cdots tfrac Gamma k a i 1 Gamma a i 1 cdot tfrac a i cdot Gamma k a i 1 Gamma a i 1 cdot tfrac Gamma k a i 1 Gamma a i 1 cdots tfrac Gamma k a p Gamma a p Big prod j 1 q tfrac Gamma b j Gamma k b j tfrac z k k end aligned nbsp Es ist zu beachten dass im Falle p 0 displaystyle p 0 nbsp fur die Differentialgleichung 1 die rechte Seite der Gleichung nicht existiert da die Parameter a i displaystyle a i nbsp nicht existierten und ebenso auf der linken Seite die Parameter a i displaystyle a i nbsp verschwinden und daher lediglich die Ableitung d d z p F q b 1 b q z displaystyle tfrac rm d rm d z p F q b 1 dots b q z nbsp multipliziert mit z displaystyle z nbsp berechnet werden kann Differentialgleichung 2 b j 1 p F q a 1 a p b 1 b j 1 b q z d e f k 0 i 1 p G k a i G a i j 1 q b j 1 G b j 1 G k b j 1 z k k d e f k 0 i 1 p G k a i G a i G b 1 G k b 1 G b j 1 G k b j 1 b j 1 G b j 1 G k b j 1 G b j 1 G k b j 1 G b q G k b q z k k displaystyle begin aligned amp b j 1 p F q left begin array c a 1 dots a p b 1 dots b j 1 dots b q end array z right stackrel mathrm def sum k 0 infty prod i 1 p tfrac Gamma k a i Gamma a i prod j 1 q tfrac b j 1 cdot Gamma b j 1 Gamma k b j 1 tfrac z k k amp qquad stackrel mathrm def sum k 0 infty prod i 1 p tfrac Gamma k a i Gamma a i Big tfrac Gamma b 1 Gamma k b 1 cdots tfrac Gamma b j 1 Gamma k b j 1 cdot tfrac b j 1 cdot Gamma b j 1 Gamma k b j 1 cdot tfrac Gamma b j 1 Gamma k b j 1 cdots tfrac Gamma b q Gamma k b q Big tfrac z k k end aligned nbsp Auch hier gilt es festzustellen dass fur q 0 displaystyle q 0 nbsp die Differentialgleichung 2 auf die Gestalt z d d z p F q b 1 b q z displaystyle z frac rm d rm d z p F q b 1 dots b q z nbsp reduziert wird da die Parameter b j 1 displaystyle b j 1 nbsp nicht existieren Differentialgleichung 3 i 1 p a i j 1 q b j p F q a 1 1 a p 1 b 1 1 b q 1 z d e f k 0 i 1 p a i G k a i 1 G a i 1 j 1 q G b j 1 b j G k b j 1 z k k k 0 a 1 G k a 1 1 G a 1 1 a i G k a i 1 G a i 1 a p G k a p 1 G a p 1 G b 1 1 b 1 G k b 1 1 G b j 1 b j G k b j 1 G b q 1 b q G k b q 1 z k k displaystyle begin aligned amp frac prod i 1 p a i prod j 1 q b j p F q left begin array c a 1 1 dots a p 1 b 1 1 dots b q 1 end array z right stackrel mathrm def sum k 0 infty prod i 1 p tfrac a i cdot Gamma k a i 1 Gamma a i 1 prod j 1 q tfrac Gamma b j 1 b j cdot Gamma k b j 1 tfrac z k k amp qquad sum k 0 infty Big tfrac a 1 cdot Gamma k a 1 1 Gamma a 1 1 cdots tfrac a i cdot Gamma k a i 1 Gamma a i 1 cdots tfrac a p cdot Gamma k a p 1 Gamma a p 1 Big cdot Big tfrac Gamma b 1 1 b 1 cdot Gamma k b 1 1 cdots tfrac Gamma b j 1 b j cdot Gamma k b j 1 cdots tfrac Gamma b q 1 b q cdot Gamma k b q 1 Big tfrac z k k end aligned nbsp Hierbei ist der Quotient der Produkte i 1 p a i j 1 q b j displaystyle tfrac prod i 1 p a i prod j 1 q b j nbsp fur die Parameter a i b j C 0 1 2 3 displaystyle a i b j in mathbb C setminus 0 1 2 3 ldots nbsp so aufzufassen dass i 1 p a i d e f i 1 p a i falls p gt 0 1 falls p 0 displaystyle textstyle prod i 1 p a i stackrel mathrm def begin cases prod i 1 p a i amp text falls p gt 0 1 amp text falls p 0 end cases nbsp und 1 j 1 q b j d e f 1 i 1 q b j falls q gt 0 1 falls q 0 displaystyle tfrac 1 prod j 1 q b j stackrel mathrm def begin cases tfrac 1 prod i 1 q b j amp text falls q gt 0 1 amp text falls q 0 end cases nbsp Fur den Fall dass p q 0 displaystyle p q 0 nbsp ergibt sich auf Grund der vorausgegangenen Festlegung i 1 p a i j 1 q b j 1 displaystyle tfrac prod i 1 p a i prod j 1 q b j 1 nbsp und die Differentialgleichung 3 nimmt folgende Gestalt an d d z p F q z p F q z displaystyle frac rm d rm d z p F q z p F q z nbsp Spezielle hypergeometrische Funktionen BearbeitenDie Funktion 0F0 Bearbeiten Hauptartikel Exponentialfunktion Wie eingangs angedeutet entspricht 0 F 0 z e z displaystyle 0 F 0 z mathrm e z nbsp der Exponentialfunktion Die Funktion erfullt die Differentialgleichung d d z w w displaystyle frac mathrm d mathrm d z w w nbsp Beweis0 F 0 z k 0 z k k e z displaystyle 0 F 0 left z right sum k 0 infty frac z k k mathrm e z nbsp Die Funktion 0F1 Bearbeiten Die Funktion vom Typ 0 F 1 a z displaystyle 0 F 1 a z nbsp ist die sog konfluente hypergeometrische Grenzfunktion Die Reihe genugt der Differentialgleichung z d 2 w d z 2 a d w d z w 0 displaystyle z frac mathrm d 2 w mathrm d z 2 a frac mathrm d w mathrm d z w 0 nbsp Sie steht eng in Zusammenhang mit den Besselfunktionen 0 F 1 1 a z 2 4 G a 1 z 2 a J a z displaystyle 0 F 1 left 1 a frac z 2 4 right Gamma a 1 cdot left frac z 2 right a cdot J a z quad nbsp wobei J a z displaystyle J a z nbsp die Besselfunktion ist 0 F 1 1 a z 2 4 G a 1 z 2 a I a z displaystyle 0 F 1 left 1 a frac z 2 4 right Gamma a 1 left frac z 2 right a cdot I a z quad nbsp mit I a z e i p 2 a J a z displaystyle I a z e i frac pi 2 a J a z nbsp als modifizierte BesselfunktionAbgeleitete Funktionen der Reihe sind beispielsweise 0 F 1 1 2 z 2 4 cos z displaystyle 0 F 1 left frac 1 2 frac z 2 4 right cos z nbsp oder 0 F 1 3 2 z 2 4 sin z z displaystyle 0 F 1 left frac 3 2 frac z 2 4 right frac sin z z nbsp BeispielBetrachtet werden soll die Kosinusfunktion 0 F 1 1 2 z 2 4 k 0 G 1 2 G k 1 2 z 2 4 k k G 1 2 G 1 2 z 2 4 0 0 G 1 2 G 3 2 z 2 4 1 G 1 2 G 5 2 z 2 4 2 2 G 1 2 G 7 2 z 2 4 3 2 3 G 1 2 G 1 2 1 1 G 1 2 1 2 G 1 2 z 2 4 G 1 2 3 2 1 2 G 1 2 z 4 4 2 2 G 1 2 5 2 3 2 1 2 G 1 2 z 6 4 3 3 displaystyle begin aligned 0 F 1 left tfrac 1 2 tfrac z 2 4 right amp sum k 0 infty frac Gamma frac 1 2 Gamma k frac 1 2 frac frac z 2 4 k k amp frac Gamma frac 1 2 Gamma frac 1 2 frac frac z 2 4 0 0 frac Gamma frac 1 2 Gamma frac 3 2 frac frac z 2 4 1 amp amp frac Gamma frac 1 2 Gamma frac 5 2 frac frac z 2 4 2 2 amp amp frac Gamma frac 1 2 Gamma frac 7 2 frac frac z 2 4 3 2 cdot 3 amp cdots amp frac Gamma frac 1 2 Gamma frac 1 2 frac 1 1 qquad quad frac Gamma frac 1 2 frac 1 2 Gamma frac 1 2 frac z 2 4 amp amp frac Gamma frac 1 2 frac 3 2 frac 1 2 Gamma frac 1 2 frac z 4 4 2 cdot 2 amp amp frac Gamma frac 1 2 frac 5 2 frac 3 2 frac 1 2 Gamma frac 1 2 frac z 6 4 3 cdot 3 amp cdots end aligned nbsp Hier nutzten wir dass G x 1 x G x displaystyle Gamma x 1 x Gamma x nbsp ist und somit G 3 2 1 2 G 1 2 displaystyle Gamma tfrac 3 2 tfrac 1 2 Gamma tfrac 1 2 nbsp usw Wie man sieht kurzen sich die Terme G 1 2 displaystyle Gamma tfrac 1 2 nbsp uberall heraus die verbleibenden Bruche kann man leicht zusammenfassen zu0 F 1 1 2 z 2 4 1 z 2 2 z 4 4 z 6 6 k 0 1 k z 2 k 2 k cos z displaystyle 0 F 1 tfrac 1 2 tfrac z 2 4 1 frac z 2 2 frac z 4 4 frac z 6 6 cdots sum k 0 infty frac 1 k z 2k 2k cos z nbsp Die Funktion 1F0 Bearbeiten Ebenfalls direkt als elementare Funktion erfullt 1 F 0 a z 1 z a displaystyle 1 F 0 a z 1 z a nbsp die Differentialgleichung 1 z d w d z a w displaystyle 1 z frac mathrm d w mathrm d z aw nbsp Beweis1 F 0 a z k 0 G k a G a z k k k 0 k a 1 a 1 z k k k 0 k a 1 a k 1 k z k k k 0 a k 1 k z k k 0 a k 1 k z k k 0 a k z k 1 z a displaystyle begin aligned 1 F 0 left a z right amp quad sum k 0 infty frac Gamma k a Gamma a frac z k k amp amp quad sum k 0 infty frac k a 1 a 1 frac z k k amp amp quad sum k 0 infty frac k a 1 a k 1 k frac z k k amp quad sum k 0 infty binom a k 1 k z k amp amp quad sum k 0 infty binom a k 1 k z k amp amp quad sum k 0 infty binom a k z k amp quad 1 z a end aligned nbsp Hierbei wurde der Binomialkoeffizient in der Analysis mit der Identitat a k 1 k a k 1 k displaystyle tbinom a k 1 k tbinom a k 1 k nbsp benutzt Das Resultat stellt die binomische Reihe dar Die Funktion 1F1 Bearbeiten Die Funktion 1 F 1 a b z displaystyle 1 F 1 a b z nbsp heisst Kummersche Funktion nach Ernst Eduard Kummer Sie wird vielfach auch als konfluente hypergeometrische Reihe bezeichnet und genugt der Kummerschen Differentialgleichung z d 2 w d z 2 b z d w d z a w 0 displaystyle z frac mathrm d 2 w mathrm d z 2 b z frac mathrm d w mathrm d z aw 0 nbsp Abgeleitete Funktionen sind beispielsweise 1 F 1 a a 1 z a z a g a z displaystyle 1 F 1 left a a 1 z right az a gamma a z nbsp wobei g a z displaystyle gamma a z nbsp die unvollstandige Gammafunktion istoder 1 F 1 1 a 1 z a z a e z g a z displaystyle 1 F 1 left 1 a 1 z right az a mathrm e z gamma a z nbsp Die Kummersche Funktion lasst sich auch als verallgemeinerte Laguerre Polynome darstellen 1 F 1 a b z G 1 a G b G b a L a b 1 z displaystyle operatorname 1 F 1 left a b z right frac Gamma left 1 a right cdot Gamma left b right Gamma left b a right cdot operatorname L a b 1 left z right nbsp 3 Die Funktion 2F0 Bearbeiten Die Funktion taucht in Zusammenhang mit der Integralexponentialfunktion E i z displaystyle Ei z nbsp auf Die Funktion 2F1 Bearbeiten Hauptartikel Gausssche hypergeometrische Funktion Historisch am bedeutendsten ist die hypergeometrische Funktion 2 F 1 a b c z displaystyle 2 F 1 a b c z nbsp Sie wird auch als Gausssche hypergeometrische Funktion gewohnliche hypergeometrische Funktion oder oft einfach nur als hypergeometrische Funktion bezeichnet Zur Unterscheidung wird fur p F q displaystyle p F q nbsp die Bezeichnung verallgemeinerte hypergeometrische Funktion verwendet da sonst leicht Verwechslungsgefahr besteht Die Funktion wurde als erstes vollstandig von Carl Friedrich Gauss untersucht insbesondere zur Konvergenz Sie erfullt die Differentialgleichung z 1 z d 2 w d z 2 c a b 1 z d w d z a b w 0 displaystyle z 1 z frac mathrm d 2 w mathrm d z 2 c a b 1 z frac mathrm d w mathrm d z abw 0 nbsp welche als Hypergeometrische Differentialgleichung bezeichnet wird Die Funktion 3F0 Bearbeiten Die Funktion taucht in Zusammenhang mit dem Mottpolynom auf Die Funktion 3F1 Bearbeiten Die Funktion taucht in Zusammenhang mit der Besselfunktion auf Weitere Verallgemeinerungen BearbeitenDie verallgemeinerte hypergeometrische Funktion kann noch weiter verallgemeinert werden indem man Vorfaktoren vor dem k displaystyle k nbsp einfuhrt und so die Komplexitat der Funktion weiter erhoht Allein um das Vorzeichen von k displaystyle k nbsp zu modifizieren waren zwei weitere Indizes notig F p q r s a 1 a p b 1 b q c 1 c r d 1 d s z k 0 i 1 p G k a i G a i j 1 q G k b j G b j l 1 r G c l G k c l m 1 s G d m G k d m z k k displaystyle begin aligned amp F pqrs a 1 dots a p b 1 dots b q c 1 dots c r d 1 dots d s z amp qquad qquad sum k 0 infty prod i 1 p frac Gamma k a i Gamma a i prod j 1 q frac Gamma k b j Gamma b j prod l 1 r frac Gamma c l Gamma k c l prod m 1 s frac Gamma d m Gamma k d m frac z k k end aligned nbsp Sind diese Vorfaktoren nicht notwendig ganzzahlig so erhalt man als Verallgemeinerung die Fox Wright Funktionen Literatur BearbeitenEduard Heine Handbuch der Kugelfunctionen S 91 Georg Reimer Berlin 1861 Felix Klein Vorlesungen uber die hypergeometrische Funktion Springer Berlin reprint 1981 Ludwig Bieberbach Theorie der Differentialgleichungen Springer Berlin 1930 Einzelnachweise Bearbeiten J Quigley K J Wilson L Walls T Bedford A Bayes linear Bayes Method for Estimation of Correlated Event Rates In Risk Analysis 2013 doi 10 1111 risa 12035 Lucy Joan Slater Generalized Hypergeometric Functions In Cambridge University Press 1966 ISBN 0 521 06483 X 2008 ist ein Reprint als Taschenbuch erschienen ISBN 978 0 521 09061 2 Kummer confluent hypergeometric function 1F1 Representations through equivalent functions formula 07 20 27 0001 Abgerufen am 18 Februar 2023 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Verallgemeinerte hypergeometrische Funktion amp oldid 231187237 Die Funktion 1F1
