Laguerre Polynome benannt nach Edmond Laguerre sind spezielle Polynome die auf dem Intervall 0 displaystyle 0 infty ein orthogonales Funktionensystem bilden Sie sind die Losungen der laguerreschen Differentialgleichung Eine wichtige Rolle spielen die Laguerre Polynome in der theoretischen Physik insbesondere in der Quantenmechanik Inhaltsverzeichnis 1 Differentialgleichung und Polynome 1 1 Laguerresche Differentialgleichung 1 2 Erste Polynome 2 Eigenschaften 2 1 Rekursionsformeln 2 2 Rodrigues Formel 2 3 Orthogonale Polynome 2 4 Erzeugende Funktion 3 Zugeordnete Laguerre Polynome 4 Asymptotische Analysis 5 Wasserstoffatom 6 Weblinks 7 Einzelnachweise und AnmerkungenDifferentialgleichung und Polynome BearbeitenLaguerresche Differentialgleichung Bearbeiten Die laguerresche Differentialgleichung x y x 1 x y x n y x 0 displaystyle x y x 1 x y x n y x 0 nbsp ist eine gewohnliche lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung fur x gt 0 displaystyle x gt 0 nbsp und n 0 1 2 displaystyle n 0 1 2 ldots nbsp Sie ist ein Spezialfall der Sturm Liouville Differentialgleichung e x d d x x e x d y d x n y displaystyle mathrm e x frac mathrm d mathrm d x left x mathrm e x frac mathrm d y mathrm d x right ny nbsp Erste Polynome Bearbeiten nbsp Die ersten funf Laguerre PolynomeDie ersten funf Laguerre Polynome lauten L 0 x 1 L 1 x x 1 L 2 x 1 2 x 2 4 x 2 L 3 x 1 6 x 3 9 x 2 18 x 6 L 4 x 1 24 x 4 16 x 3 72 x 2 96 x 24 displaystyle begin aligned L 0 x amp 1 L 1 x amp x 1 L 2 x amp tfrac 1 2 x 2 4x 2 L 3 x amp tfrac 1 6 x 3 9x 2 18x 6 L 4 x amp tfrac 1 24 x 4 16x 3 72x 2 96x 24 end aligned nbsp In der Physik wird ublicherweise eine Definition verwendet nach der die Laguerre Polynome um einen Faktor n displaystyle n nbsp grosser sind Eigenschaften BearbeitenRekursionsformeln Bearbeiten Das Laguerre Polynom L n 1 x displaystyle L n 1 x nbsp lasst sich mit den ersten beiden Polynomen L 0 x 1 displaystyle L 0 x 1 nbsp L 1 x 1 x displaystyle L 1 x 1 x nbsp uber die folgende Rekursionsformel berechnen n 1 L n 1 x 2 n 1 x L n x n L n 1 x displaystyle n 1 L n 1 x big 2n 1 x L n x nL n 1 x big nbsp Des Weiteren gelten folgende Rekursionsformeln L n x L n 1 x L n 1 x displaystyle L n x L n 1 x L n 1 x nbsp x n 1 L n x n 1 L n 1 x 2 n 2 x L n x n 1 L n 1 x displaystyle x n 1 L n x n 1 L n 1 x 2n 2 x L n x n 1 L n 1 x nbsp x L n x n L n x n L n 1 x displaystyle xL n x nL n x nL n 1 x nbsp Eine explizite Formel fur die Laguerre Polynome lautet L n x k 0 n n k 1 k k x k displaystyle L n x sum k 0 n binom n k frac 1 k k x k nbsp BeispielEs wird das Polynom L 3 x displaystyle L 3 x nbsp fur n 2 displaystyle n 2 nbsp berechnet Also L 3 x 1 3 4 1 x L 2 x 2 L 1 x displaystyle L 3 x tfrac 1 3 big 4 1 x L 2 x 2L 1 x big nbsp Um dieses Polynom zu erhalten ist es notwendig das Polynom L 2 x displaystyle L 2 x nbsp fur n 1 displaystyle n 1 nbsp zu bestimmen Es ergibt sich L 2 x 1 2 2 1 x L 1 x 1 L 0 x 1 2 3 x 1 x 1 1 2 3 4 x x 2 1 1 2 2 4 x x 2 displaystyle L 2 x tfrac 1 2 big 2 1 x L 1 x 1L 0 x big tfrac 1 2 big 3 x 1 x 1 big tfrac 1 2 3 4x x 2 1 tfrac 1 2 big 2 4x x 2 big nbsp Somit lautet das Polynom L 3 x displaystyle L 3 x nbsp L 3 x 1 3 4 1 x 1 2 2 4 x x 2 2 1 x 1 6 5 x 2 4 x x 2 4 4 x 1 6 10 20 x 5 x 2 2 x 4 x 2 x 3 4 4 x 1 6 6 18 x 9 x 2 x 3 displaystyle begin aligned L 3 x amp tfrac 1 3 big 4 1 x tfrac 1 2 2 4x x 2 2 1 x big tfrac 1 6 big 5 x 2 4x x 2 4 4x big amp tfrac 1 6 10 20x 5x 2 2x 4x 2 x 3 4 4x tfrac 1 6 6 18x 9x 2 x 3 end aligned nbsp Rodrigues Formel Bearbeiten Das n displaystyle n nbsp te Laguerre Polynom lasst sich mit der Rodrigues Formel wie folgt darstellen L n x e x n d n d x n x n e x displaystyle L n x frac mathrm e x n frac mathrm d n mathrm d x n bigg x n mathrm e x bigg nbsp und L n x 1 n d d x 1 n x n displaystyle L n x frac 1 n bigg frac mathrm d mathrm d x 1 bigg n x n nbsp Aus der ersten Gleichung berechnet sich das Laguerre Polynom mit der Produktregel fur hohere Ableitungen und den Identitaten d n d x n e x x n e x x n n displaystyle textstyle frac mathrm d n mathrm d x n big mathrm e x x n big big mathrm e x x n big n nbsp e x k 1 k e x displaystyle left mathrm e x right k 1 k mathrm e x nbsp sowie x n n k n k x k displaystyle big x n big n k tfrac n k x k nbsp gemass L n x e x n d n d x n e x x n e x n e x x n n e x n k 0 n n k e x k x n n k e x n k 0 n n k 1 k e x n k x k k 0 n n k 1 k k x k displaystyle begin aligned L n x amp frac mathrm e x n frac mathrm d n mathrm d x n bigg mathrm e x x n bigg frac mathrm e x n bigg mathrm e x x n bigg n frac mathrm e x n sum k 0 n binom n k big mathrm e x big k big x n big n k amp frac mathrm e x n sum k 0 n binom n k 1 k mathrm e x frac n k x k sum k 0 n binom n k frac 1 k k x k end aligned nbsp Aus der zweiten Gleichung ergibt sich das Laguerre Polynom mit dem binomischen Lehrsatz und der Identitat d d x n k x n x n n k n k x k displaystyle big tfrac mathrm d mathrm d x big n k x n big x n big n k tfrac n k x k nbsp wie folgt L n x 1 n d d x 1 n x n 1 n 1 d d x n x n 1 n k 0 n n k 1 k d d x n k x n 1 n k 0 n n k 1 k x n n k 1 n k 0 n n k 1 k n k x k k 0 n n k 1 k k x k displaystyle begin aligned L n x amp frac 1 n bigg frac mathrm d mathrm d x 1 bigg n x n frac 1 n bigg 1 frac mathrm d mathrm d x bigg n x n frac 1 n sum k 0 n binom n k 1 k bigg frac mathrm d mathrm d x bigg n k x n amp frac 1 n sum k 0 n binom n k 1 k big x n big n k frac 1 n sum k 0 n binom n k 1 k frac n k x k sum k 0 n binom n k frac 1 k k x k end aligned nbsp Orthogonale Polynome Bearbeiten Da die Laguerre Polynome fur n displaystyle n to infty nbsp und oder x displaystyle x to infty nbsp divergent sind bilden sie keinen Prahilbertraum und keinen Hilbertraum Deshalb wird eine Gewichtsfunktion eingefuhrt welche die Losung der Differentialgleichung ungeandert lasst und welche dafur sorgt dass die Laguerre Polynome quadratintegrierbar werden Unter diesen Voraussetzungen bilden die Eigenfunktionen L n displaystyle L n nbsp eine Orthonormalbasis im Hilbertraum L 2 0 w x d x displaystyle L 2 0 infty w x mathrm d x nbsp der quadratintegrierbaren Funktionen mit der Gewichtsfunktion w x e x displaystyle w x mathrm e x nbsp Demzufolge gilt L n L m 0 e x L n x L m x d x d n m displaystyle langle L n L m rangle int 0 infty mathrm e x L n x L m x mathrm d x delta nm nbsp Hierbei bedeutet d n m displaystyle delta nm nbsp das Kronecker Delta BeweisTeil 1 Zunachst wird gezeigt dass die Laguerre Polynome mit dem Gewicht w x e x displaystyle w x mathrm e x nbsp orthogonal sind fur n m displaystyle n neq m nbsp gilt demnach L n L m 0 e x L n x L m x d x 0 displaystyle langle L n L m rangle int 0 infty mathrm e x L n x L m x mathrm d x 0 nbsp Mit dem Sturm Liouville Operator L e x d d x x e x d d x displaystyle textstyle mathcal L mathrm e x frac mathrm d mathrm d x left x mathrm e x frac mathrm d mathrm d x right nbsp ergeben sich fur die Laguerre Polynome L n L m displaystyle L n L m nbsp folgende Ausgangsgleichungen 1 L L n e x d d x x e x d L n d x n L n displaystyle quad mathcal L L n mathrm e x frac mathrm d mathrm d x left x mathrm e x frac mathrm d L n mathrm d x right nL n nbsp und 2 L L m e x d d x x e x d L m d x m L m displaystyle quad mathcal L L m mathrm e x frac mathrm d mathrm d x left x mathrm e x frac mathrm d L m mathrm d x right mL m nbsp Wird Gleichung 1 von links mit L m displaystyle L m nbsp multipliziert und von Gleichung 2 welche ebenfalls von links mit L n displaystyle L n nbsp multipliziert wird subtrahiert so ergeben sich die beiden Gleichungen 3 L n L L m L m L L n L n e x d d x x e x d L m d x L m e x d d x x e x d L n d x displaystyle quad L n mathcal L L m L m mathcal L L n L n mathrm e x frac mathrm d mathrm d x left x mathrm e x frac mathrm d L m mathrm d x right L m mathrm e x frac mathrm d mathrm d x left x mathrm e x frac mathrm d L n mathrm d x right nbsp und 4 L n L L m L m L L n m n L m L n displaystyle quad L n mathcal L L m L m mathcal L L n m n L m L n nbsp Zunachst wird Gleichung 3 zusammengefasst Mit der Produktregel fur Ableitungen der Term e x displaystyle textstyle mathrm e x nbsp bleibt hierbei unberucksichtigt ergeben sich folgende Darstellungen L n d d x x e x d L m d x d d x x e x L n d L m d x x e x d L m d x d L n d x displaystyle textstyle L n frac mathrm d mathrm d x left x mathrm e x frac mathrm d L m mathrm d x right frac mathrm d mathrm d x left x mathrm e x L n frac mathrm d L m mathrm d x right left x mathrm e x frac mathrm d L m mathrm d x right frac mathrm d L n mathrm d x nbsp und L m d d x x e x d L n d x d d x x e x L m d L n d x x e x d L n d x d L m d x displaystyle textstyle L m frac mathrm d mathrm d x left x mathrm e x frac mathrm d L n mathrm d x right frac mathrm d mathrm d x left x mathrm e x L m frac mathrm d L n mathrm d x right left x mathrm e x frac mathrm d L n mathrm d x right frac mathrm d L m mathrm d x nbsp Auf diese Weise wird erkennbar dass der zweite Term in beiden Ableitungen gleich ist und bei der Differenzenbildung verschwindet also 5 L n L L m L m L L n e x d d x x e x L n d L m d x e x d d x x e x L m d L n d x e x d d x x e x L n d L m d x L m d L n d x e x d d x x e x W L n L m displaystyle begin aligned quad L n mathcal L L m L m mathcal L L n amp mathrm e x frac mathrm d mathrm d x left x mathrm e x L n frac mathrm d L m mathrm d x right mathrm e x frac mathrm d mathrm d x left x mathrm e x L m frac mathrm d L n mathrm d x right amp mathrm e x frac mathrm d mathrm d x bigg x mathrm e x left L n frac mathrm d L m mathrm d x L m frac mathrm d L n mathrm d x right bigg amp mathrm e x frac mathrm d mathrm d x bigg x mathrm e x W L n L m bigg end aligned nbsp wobei W L n L m L n L m L n L m displaystyle W L n L m left begin smallmatrix L n amp L m L n amp L m end smallmatrix right nbsp die Wronski Determinante der Funktionen L n L m displaystyle L n L m nbsp bedeutet Zur Berechnung der Wronski Determinante mittels der Abelschen Identitat wird die Differentialgleichung L y e x d d x x e x d d x y x y e x x e x y x y 1 x y 0 displaystyle textstyle mathcal L y mathrm e x frac mathrm d mathrm d x left x mathrm e x frac mathrm d mathrm d x right y xy mathrm e x big x mathrm e x big y xy big 1 x big y 0 nbsp oder y 1 x x y 0 displaystyle textstyle y frac 1 x x y 0 nbsp betrachtet so dass eine hebbare Singularitat bei x 0 displaystyle x 0 nbsp entsteht Die Koeffizientenmatrix des Fundamentalsystems lautet dann 0 1 0 1 x x displaystyle left begin smallmatrix 0 amp 1 0 amp tfrac 1 x x end smallmatrix right nbsp und deren Spur ist S p u r 0 1 0 1 x x 1 x x displaystyle mathrm Spur Bigg left begin smallmatrix 0 amp 1 0 amp tfrac 1 x x end smallmatrix right Bigg frac 1 x x nbsp Somit lautet die Abelsche Identitat W L n L m x W L n L m 0 exp 0 x 1 1 3 d 3 displaystyle W L n L m x W L n L m 0 exp left int 0 x bigg 1 frac 1 xi bigg mathrm d xi right nbsp Da L n displaystyle L n nbsp und L m displaystyle L m nbsp linear unabhangig sind ist W L n L m 0 gt 0 displaystyle W L n L m 0 gt 0 nbsp bei genauer Betrachtung ist W L n L m 0 1 displaystyle W L n L m 0 1 nbsp und es ergibt sich folgendes Resultat W L n L m x W L n L m 0 exp 0 x 1 1 3 d 3 W L n L m 0 exp 3 ln 3 0 x lim 3 x W L n L m 0 exp 3 ln 3 lim 3 0 W L n L m 0 exp 3 ln 3 lim 3 x W L n L m 0 exp 3 exp ln 3 lim 3 0 W L n L m 0 exp 3 exp ln 3 lim 3 x W L n L m 0 e 3 3 lim 3 0 W L n L m 0 e 3 3 W L n L m 0 e x x lim 3 0 W L n L m 0 e 3 3 C displaystyle begin aligned W L n L m x amp W L n L m 0 exp left int 0 x bigg 1 frac 1 xi bigg mathrm d xi right W L n L m 0 exp Bigg bigg xi ln xi bigg 0 x Bigg amp lim xi to x W L n L m 0 exp Big xi ln xi Big lim xi to 0 W L n L m 0 exp Big xi ln xi Big amp lim xi to x W L n L m 0 frac exp xi exp ln xi lim xi to 0 W L n L m 0 frac exp xi exp ln xi amp lim xi to x W L n L m 0 frac mathrm e xi xi lim xi to 0 W L n L m 0 frac mathrm e xi xi amp W L n L m 0 frac mathrm e x x lim xi to 0 W L n L m 0 frac mathrm e xi xi C end aligned nbsp Die Integrationskonstante wird C lim 3 0 W L n L m 0 e 3 3 displaystyle C lim xi to 0 W L n L m 0 frac mathrm e xi xi nbsp gewahlt und Gleichung 5 wird mit e x displaystyle mathrm e x nbsp multipliziert so dass folgt e x L n L L m L m L L n d d x x e x W L n L m 0 e x x d d x W L n L m 0 displaystyle begin aligned mathrm e x big L n mathcal L L m L m mathcal L L n big amp frac mathrm d mathrm d x bigg x mathrm e x W L n L m 0 frac mathrm e x x bigg amp frac mathrm d mathrm d x bigg W L n L m 0 bigg end aligned nbsp Nach Umformen und Trennung der Variablen lautet die Gleichung nun e x L n L L m L m L L n d x d W L n L m 0 displaystyle mathrm e x big L n mathcal L L m L m mathcal L L n big mathrm d x mathrm d bigg W L n L m 0 bigg nbsp Auf beiden Seiten der Gleichung stehen nun eindimensionale Pfaffsche Formen und da W L n L m 0 displaystyle W L n L m 0 nbsp eine konstante Funktion ist gilt d W L n L m 0 0 displaystyle mathrm d Big W L n L m 0 Big 0 nbsp Fur die Berechnung der verbleibenden Pfaffschen Form ist eine geeignete Parametrisierung f t t f t 0 0 f t 1 f t 1 displaystyle varphi t t varphi t 0 0 varphi t 1 infty dot varphi t 1 nbsp zu wahlen Das Integral lautet nun f w 0 w f t f t d t 0 w L n L L m L m L L n d t 0 displaystyle int varphi omega int 0 infty omega varphi t dot varphi t mathrm d t int 0 infty w Big L n mathcal L L m L m mathcal L L n Big mathrm d t 0 nbsp 1 Demnach verschwindet das Integral langs dem Intervall 0 displaystyle 0 infty nbsp so dass unter Verwendung von Gleichung 4 gilt 0 m n 0 e x L m L n d t displaystyle 0 m n int 0 infty mathrm e x L m L n mathrm d t nbsp Diese Bedingung kann nur erfullt werden wenn L n L m L m L n 0 displaystyle langle L n L m rangle langle L m L n rangle 0 nbsp Teil 2 Im Folgenden wird gezeigt dass die Laguerre Polynome mit dem Gewicht w x e x displaystyle w x mathrm e x nbsp beschrankt sind 2 fur n m displaystyle n m nbsp gilt demnach L n L m e x L n x L m x d x 1 displaystyle langle L n L m rangle int mathrm e x L n x L m x mathrm d x 1 nbsp oder abkurzend L n L n 1 displaystyle langle L n L n rangle 1 nbsp Fur den Beweis wird einerseits die Reihendarstellung L n x k 0 n 1 k k x k displaystyle L n x sum k 0 n frac 1 k k x k nbsp und anderseits die Rodrigues Formel L n x e x n d n d x n e x x n displaystyle L n x frac mathrm e x n frac mathrm d n mathrm d x n bigg mathrm e x x n bigg nbsp benutzt Es gilt L n L n 0 e x k 0 n 1 k k x k e x n d n d x n e x x n d x k 0 n 1 k k 0 x k 1 n d n d x n e x x n d x displaystyle langle L n L n rangle int 0 infty mathrm e x sum k 0 n frac 1 k k x k frac mathrm e x n frac mathrm d n mathrm d x n bigg mathrm e x x n bigg mathrm d x sum k 0 n frac 1 k k int 0 infty x k frac 1 n frac mathrm d n mathrm d x n bigg mathrm e x x n bigg mathrm d x nbsp Fur n 0 displaystyle n 0 nbsp mit d n 0 d x n 0 e x x 0 e x x 0 displaystyle textstyle frac mathrm d n 0 mathrm d x n 0 big mathrm e x x 0 big mathrm e x x 0 nbsp ergibt sich L n L n 0 x 0 e x x 0 d x 0 e x d x e x 0 1 displaystyle langle L n L n rangle int 0 infty x 0 bigg mathrm e x x 0 bigg mathrm d x int 0 infty mathrm e x mathrm d x bigg mathrm e x bigg 0 infty 1 nbsp Wird nun fur n gt 0 displaystyle n gt 0 nbsp das Laguerre Polynom zerlegt so folgt L n L n k 0 n 1 1 k k 0 x k 1 n d n d x n e x x n d x 1 n n 0 x n 1 n d n d x n e x x n d x displaystyle langle L n L n rangle sum k 0 n 1 frac 1 k k int 0 infty x k frac 1 n frac mathrm d n mathrm d x n bigg mathrm e x x n bigg mathrm d x frac 1 n n int 0 infty x n frac 1 n frac mathrm d n mathrm d x n bigg mathrm e x x n bigg mathrm d x nbsp Durch diese Zerlegung wird der Grad des Polynoms in der Summe um 1 reduziert und in der Folge gilt L n 1 L n 0 displaystyle langle L n 1 L n rangle 0 nbsp wie in Teil 1 gezeigt Es verbleibt somit lediglich der zweite Term der mit partieller Integration berechnet wird also L n L n 1 n n 0 x n 1 n d n d x n e x x n d x 1 n n x n 1 n d n 1 d x n 1 e x x n 0 n 1 n n 0 x n 1 1 n d n 1 d x n 1 e x x n d x displaystyle begin aligned langle L n L n rangle amp frac 1 n n int 0 infty x n frac 1 n frac mathrm d n mathrm d x n bigg mathrm e x x n bigg mathrm d x amp frac 1 n n bigg x n frac 1 n frac mathrm d n 1 mathrm d x n 1 bigg mathrm e x x n bigg bigg 0 infty n frac 1 n n int 0 infty x n 1 frac 1 n frac mathrm d n 1 mathrm d x n 1 bigg mathrm e x x n bigg mathrm d x end aligned nbsp Die Stammfunktion wurde mithilfe der Produktregel berechnet und es ergibt sich im Grenzwert lim x 0 x n 1 n d n 1 d x n 1 e x x n k 0 n 1 lim x 0 x n 1 n n k e x k x n n k 0 displaystyle textstyle lim x to 0 x n frac 1 n frac mathrm d n 1 mathrm d x n 1 big mathrm e x x n big sum k 0 n 1 lim x to 0 x n frac 1 n binom n k big mathrm e x big k big x n big n k 0 nbsp Dasselbe Resultat wird im Grenzwert lim x displaystyle textstyle lim x to infty nbsp erhalten Da dieses Ergebnis fur alle n displaystyle n nbsp partiellen Integrationen gilt folgt L n L n 1 1 n 1 n n 0 x n 1 1 n d n 1 d x n 1 e x x n d x 1 2 n n 1 1 n n 0 x n 2 1 n d n 2 d x n 2 e x x n d x 1 n n 1 n n 0 x n n 1 n d n n d x n n e x x n d x 1 2 n n 0 e x x n d x 1 n 0 e x x n d x displaystyle begin aligned langle L n L n rangle amp 1 1 n frac 1 n n int 0 infty x n 1 frac 1 n frac mathrm d n 1 mathrm d x n 1 bigg mathrm e x x n bigg mathrm d x amp 1 2 n n 1 frac 1 n n int 0 infty x n 2 frac 1 n frac mathrm d n 2 mathrm d x n 2 bigg mathrm e x x n bigg mathrm d x amp vdots amp 1 n n frac 1 n n int 0 infty x n n frac 1 n frac mathrm d n n mathrm d x n n bigg mathrm e x x n bigg mathrm d x amp frac 1 2n n int 0 infty mathrm e x x n mathrm d x amp frac 1 n int 0 infty mathrm e x x n mathrm d x end aligned nbsp Mittels weiterer n displaystyle n nbsp facher partieller Integration oder Integrationstabelle folgt 0 e x x n d x n displaystyle textstyle int 0 infty mathrm e x x n mathrm d x n nbsp und somit L n L n 1 displaystyle langle L n L n rangle 1 nbsp Aus Teil 1 und Teil 2 ergibt sich L n L m 0 e x L n x L m x d x d n m displaystyle langle L n L m rangle int 0 infty mathrm e x L n x L m x mathrm d x delta nm nbsp displaystyle Box nbsp Erzeugende Funktion Bearbeiten Eine erzeugende Funktion fur das Laguerre Polynom lautet n 0 L n x t n 1 1 t e t x 1 t displaystyle sum n 0 infty L n x t n frac 1 1 t e frac tx 1 t nbsp Zugeordnete Laguerre Polynome Bearbeiten nbsp Einige zugeordnete Laguerre PolynomeDie zugeordneten verallgemeinerten Laguerre Polynome hangen mit den gewohnlichen Laguerre Polynomen uber L n k x 1 k d k d x k L n k x k 0 1 displaystyle L n k x 1 k frac rm d k rm d x k L n k x qquad k 0 1 dotsc nbsp zusammen Ihre Rodrigues Formel lautet L n k x e x x k n d n d x n e x x n k displaystyle L n k x frac mathrm e x x k n frac rm d n rm d x n mathrm e x x n k nbsp Die zugeordneten Laguerre Polynome erfullen die zugeordnete Laguerre Gleichung x y x k 1 x y x n y x 0 n 0 1 displaystyle x y x k 1 x y x n y x 0 qquad n 0 1 dotsc nbsp Die ersten zugeordneten Laguerre Polynome lauten L 0 k x 1 displaystyle L 0 k x 1 nbsp L 1 k x x k 1 displaystyle L 1 k x x k 1 nbsp L 2 k x 1 2 x 2 2 k 2 x k 1 k 2 displaystyle L 2 k x frac 1 2 left x 2 2 k 2 x k 1 k 2 right nbsp L 3 k x 1 6 x 3 3 k 3 x 2 3 k 2 k 3 x k 1 k 2 k 3 displaystyle L 3 k x frac 1 6 left x 3 3 k 3 x 2 3 k 2 k 3 x k 1 k 2 k 3 right nbsp Zur Berechnung lasst sich die Rekursionsformel n 1 L n 1 k x 2 n 1 k x L n k x n k L n 1 k x displaystyle n 1 L n 1 k x 2n 1 k x L n k x n k L n 1 k x nbsp verwenden Der Sturm Liouville Operator lautet L e x d d x x k 1 e x d d x displaystyle mathcal L mathrm e x frac mathrm d mathrm d x left x k 1 mathrm e x frac mathrm d mathrm d x right nbsp und mit der Gewichtsfunktion e x displaystyle mathrm e x nbsp gilt 0 e x x k L m k x L n k x d x 0 m n displaystyle int limits 0 infty mathrm e x x k L m k x L n k x mathrm d x 0 qquad m neq n nbsp 0 e x x k L n k x 2 d x G n k 1 n n 0 1 displaystyle int limits 0 infty mathrm e x x k left L n k x right 2 mathrm d x frac Gamma n k 1 n qquad n 0 1 dotsc nbsp Zugeordnete Laguerre Polynome lassen sich als Wegintegrale ausdrucken L n k x 1 2 p i C e x t 1 t 1 t k 1 t n 1 d t displaystyle L n k x frac 1 2 pi i oint limits C frac mathrm e frac xt 1 t 1 t k 1 t n 1 dt nbsp Dabei ist C displaystyle C nbsp ein Weg der den Ursprung einmal im Gegenuhrzeigersinn umrundet und die wesentliche Singularitat bei 1 nicht einschliesst Asymptotische Analysis BearbeitenAsymptotische Entwicklungen vom Plancherel Rotach TypWasserstoffatom BearbeitenDie Laguerre Polynome haben eine Anwendung in der Quantenmechanik bei der Losung der Schrodinger Gleichung fur das Wasserstoffatom bzw im allgemeinen Fall fur ein Coulomb Potential 3 Mittels der zugeordneten Laguerre Polynome lasst sich der Radialanteil der Wellenfunktion schreiben als R n l r D n l e k r 2 k r l L n l 1 2 l 1 2 k r displaystyle R nl r D nl mathrm e kappa r 2 kappa r l L n l 1 2 l 1 2 kappa r nbsp Normierungskonstante D n l displaystyle D nl nbsp charakteristische Lange k displaystyle kappa nbsp Hauptquantenzahl n displaystyle n nbsp Bahndrehimpulsquantenzahl l displaystyle l nbsp Die zugeordneten Laguerre Polynome haben hier also eine entscheidende Rolle Die normierte Gesamtwellenfunktion ist durch PS n l m r ϑ f 4 n l 1 n l n n a 0 Z 3 2 r n a 0 Z l exp r n a 0 Z L n l 1 2 l 1 2 r n a 0 Z Y l m ϑ f displaystyle Psi n l m r vartheta varphi sqrt frac 4 n l 1 n l n na 0 Z 3 left frac 2r na 0 Z right l exp left frac r na 0 Z right L n l 1 2l 1 left frac 2r na 0 Z right Y l m vartheta varphi nbsp gegeben mit der Hauptquantenzahl n displaystyle n nbsp der Bahndrehimpulsquantenzahl l displaystyle l nbsp der magnetischen Quantenzahl m displaystyle m nbsp dem bohrschen Radius a 0 displaystyle a 0 nbsp und der Kernladungszahl Z displaystyle Z nbsp Die Funktionen L n l r displaystyle L n l r nbsp sind die zugeordneten Laguerre Polynome Y l m ϑ f displaystyle Y l m vartheta varphi nbsp die Kugelflachenfunktionen Weblinks BearbeitenEric W Weisstein Laguerre Polynomial In MathWorld englisch Laguerre Polynome Memento vom 29 Februar 2016 im Internet Archive Bei ipf uni stuttgart de Laguerre sche Funktionen Bei stellarcom org Radiale Wellenfunktionen Laguerre Polynome Bei physik uni ulm de Einzelnachweise und Anmerkungen Bearbeiten Wegen der linearen Parametrisierung kann o B d A das Differential d t d x displaystyle mathrm d t mathrm d x nbsp gewahlt werden In der Physik wird statt beschrankt ublicherweise der Begriff normiert verwendet Harro Heuser Gewohnliche Differentialgleichungen Vieweg Teubner 2009 6 Auflage Seite 352 354 ISBN 978 3 8348 0705 2 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Laguerre Polynome amp oldid 220377470
