Die Kugelflachenfunktionen sind ein vollstandiger und orthonormaler Satz von Eigenfunktionen des Winkelanteils des Laplace Operators Dieser Winkelanteil zeigt sich wenn der Laplace Operator in Kugelkoordinaten geschrieben wird Die Eigenwertgleichung lautet Darstellung des Betrags des Realanteils der ersten Kugelflachenfunktionen als Radius in kartesischen Koordinaten Die Farben geben das Vorzeichen der Kugelflachenfunktion an rot entspricht positiv grun entspricht negativ Veranschaulichung des Realanteils einiger Kugelflachenfunktionen um die z Achse rotierend auf der Einheitskugel Dargestellt ist Y l m displaystyle Y l m wobei l displaystyle l der Zeile und m displaystyle m der Spalte entspricht Zeilen und Spalten werden jeweils bei null beginnend durchnummeriert 2 ϑ 2 cos ϑ sin ϑ ϑ 1 sin 2 ϑ 2 f 2 Y l m ϑ f l l 1 Y l m ϑ f displaystyle left frac partial 2 partial vartheta 2 frac cos vartheta sin vartheta frac partial partial vartheta frac 1 sin 2 vartheta frac partial 2 partial varphi 2 right Y lm vartheta varphi l l 1 Y lm vartheta varphi Die Eigenfunktionen sind die Kugelflachenfunktionen Y l m ϑ f displaystyle Y lm vartheta varphi dabei sind N l m displaystyle N lm Normierungsfaktoren und P l m z displaystyle P lm z die zugeordneten Legendrepolynome Details siehe unten Y l m 0 p 0 2 p C ϑ f 1 2 p N l m P l m cos ϑ e i m f displaystyle Y lm left 0 pi right times left 0 2 pi right rightarrow mathbb C quad vartheta varphi mapsto frac 1 sqrt 2 pi N lm P lm cos vartheta e mathrm i m varphi mit N l m 2 l 1 2 l m l m displaystyle quad text mit quad N lm sqrt tfrac 2l 1 2 tfrac l m l m Besonders in der theoretischen Physik haben die Kugelflachenfunktionen eine grosse Bedeutung fur die Losung partieller Differentialgleichungen Sie treten zum Beispiel bei der Berechnung von Atomorbitalen auf da die beschreibende zeitunabhangige Schrodingergleichung den Laplace Operator enthalt und sich das Problem am besten in Kugelkoordinaten losen lasst Auch die in der Elektrostatik auftretenden Randwertprobleme konnen elegant durch die Entwicklung nach Kugelflachenfunktionen gelost werden In der Geophysik und Geodasie werden die Kugelflachenfunktionen bei der Approximation des Geoids und des Magnetfeldes verwendet Inhaltsverzeichnis 1 Zusammenhang mit dem Laplace Operator 2 Losung der Eigenwertgleichung 3 Darstellung 4 Eigenschaften 5 Entwicklung nach Kugelflachenfunktionen 6 Additionstheorem 7 Die ersten Kugelflachenfunktionen 8 Anwendungen 8 1 Quantenmechanik 8 2 Losung der Laplace Gleichung 8 3 Nomenklatur in der Geophysik 9 Literatur 10 Weblinks 11 EinzelnachweiseZusammenhang mit dem Laplace Operator BearbeitenDer Winkelanteil des Laplace Operators zeigt sich wenn dieser in Kugelkoordinaten geschrieben wird D 2 r 2 2 r r 1 r 2 2 ϑ 2 cos ϑ sin ϑ ϑ 1 sin 2 ϑ 2 f 2 D r 1 r 2 D ϑ f displaystyle Delta frac partial 2 partial r 2 frac 2 r frac partial partial r frac 1 r 2 left frac partial 2 partial vartheta 2 frac cos vartheta sin vartheta frac partial partial vartheta frac 1 sin 2 vartheta frac partial 2 partial varphi 2 right Delta r frac 1 r 2 Delta vartheta varphi nbsp Der rechte eingeklammerte Teil wird hier als Winkelanteil D ϑ f displaystyle Delta vartheta varphi nbsp bezeichnet Er ist direkt proportional zum Quadrat des Drehimpulsoperators L 2 ℏ 2 D ϑ f displaystyle hat mathbf L 2 hbar 2 Delta vartheta varphi nbsp Die Laplacesche Differentialgleichung in Kugelkoordinaten D f r ϑ f 0 displaystyle Delta f r vartheta varphi 0 nbsp hat neben der trivialen Losung f 0 displaystyle f 0 nbsp verschiedenste Losungen mit vielen technischen Anwendungen Zur Losung wird folgender Produktansatz verwendet wobei R l r displaystyle R l r nbsp nur vom Radius und Y l m ϑ f displaystyle Y lm vartheta varphi nbsp nur von Polar und Azimutwinkel abhangt f r ϑ f R l r Y l m ϑ f displaystyle f r vartheta varphi R l r Y lm vartheta varphi nbsp Dies ergibt eingesetzt D R l r Y l m ϑ f Y l m ϑ f D r R l r R l r r 2 D ϑ f Y l m ϑ f 0 displaystyle Delta R l r Y lm vartheta varphi Y lm vartheta varphi Delta r R l r frac R l r r 2 Delta vartheta varphi Y lm vartheta varphi 0 nbsp Multiplikation von r 2 displaystyle r 2 nbsp und Division durch R l r Y l m ϑ f displaystyle R l r Y lm vartheta varphi nbsp liefert r 2 D r R l r R l r D ϑ f Y l m ϑ f Y l m ϑ f 0 displaystyle frac r 2 Delta r R l r R l r frac Delta vartheta varphi Y lm vartheta varphi Y lm vartheta varphi 0 nbsp Diese Gleichung kann nur erfullt werden wenn in beiden Summanden unabhangig voneinander Radius und Winkel variierbar sind Beide Summanden mussen somit denselben konstanten Wert annehmen der zu l l 1 displaystyle l l 1 nbsp gewahlt wird diese Festlegung erweist sich spater als sinnvoll r 2 D r R l r R l r l l 1 D ϑ f Y l m ϑ f Y l m ϑ f displaystyle frac r 2 Delta r R l r R l r l l 1 frac Delta vartheta varphi Y lm vartheta varphi Y lm vartheta varphi nbsp Durch dieses Verfahren welches Separationsansatz genannt wird wurde also das ursprungliche Problem namlich die Losung der Laplace Gleichung partielle Differentialgleichung mit drei unabhangigen Variablen auf das einfachere Problem der Losung einer gewohnlichen Differentialgleichung Radialgleichung D r R l r l l 1 r 2 R l r displaystyle Delta r R l r frac l l 1 r 2 R l r nbsp und einer partiellen Differentialgleichung mit zwei unabhangigen Variablen winkelabhangige Gleichung die gerade von den Kugelflachenfunktionen erfullt wird reduziert D ϑ f Y l m ϑ f l l 1 Y l m ϑ f displaystyle Delta vartheta varphi Y lm vartheta varphi l l 1 Y lm vartheta varphi nbsp Nun lasst sich aufgrund der Orthogonalitat und Vollstandigkeit der Kugelflachenfunktionen zeigen dass sich jede quadratintegrable Funktion aus diesen speziellen Funktionen als Summe zusammensetzen lasst f r ϑ f l m R l r Y l m ϑ f displaystyle f r vartheta varphi sum l m R l r Y lm vartheta varphi nbsp Aufgrund der Linearitat des Laplace Operators lassen sich also durch Addition der Losungen der Radialgleichung multipliziert mit den Kugelflachenfunktionen beliebig viele Losungen der Laplace Gleichung konstruieren Damit ergibt sich automatisch eine Darstellung des Losungsraumes der Laplace Gleichung Die Kugelfunktionen wurden besonders von Legendre Kugelfunktionen erster Art Laplace Kugelfunktionen zweiter Art und Carl Gottfried Neumann Kugelfunktionen mit mehreren Veranderlichen behandelt Losung der Eigenwertgleichung BearbeitenDie Eigenwertgleichung 2 ϑ 2 cos ϑ sin ϑ ϑ 1 sin 2 ϑ 2 f 2 Y l m ϑ f l l 1 Y l m ϑ f displaystyle left frac partial 2 partial vartheta 2 frac cos vartheta sin vartheta frac partial partial vartheta frac 1 sin 2 vartheta frac partial 2 partial varphi 2 right Y lm vartheta varphi l l 1 Y lm vartheta varphi nbsp wird mit folgendem Produktansatz separiert Y l m ϑ f 8 l m ϑ F m f displaystyle Y lm vartheta varphi Theta lm vartheta Phi m varphi nbsp Umsortieren liefert sin 2 ϑ 8 l m ϑ 2 ϑ 2 cos ϑ sin ϑ ϑ 8 l m ϑ sin 2 ϑ l l 1 m 2 1 F m f 2 f 2 F m f m 2 displaystyle underbrace frac sin 2 vartheta Theta lm vartheta left frac partial 2 partial vartheta 2 frac cos vartheta sin vartheta frac partial partial vartheta right Theta lm vartheta sin 2 vartheta l l 1 m 2 underbrace frac 1 Phi m varphi frac partial 2 partial varphi 2 Phi m varphi m 2 nbsp Um beide Seiten getrennt voneinander variieren zu konnen mussen beide Seiten den gleichen konstanten Wert annehmen Diese Separationskonstante wird als m 2 displaystyle m 2 nbsp gewahlt Es ergeben sich zwei gewohnliche Differentialgleichungen die Polargleichung 1 8 l m ϑ 2 ϑ 2 cos ϑ sin ϑ ϑ 8 l m ϑ m 2 sin 2 ϑ l l 1 displaystyle frac 1 Theta lm vartheta left frac partial 2 partial vartheta 2 frac cos vartheta sin vartheta frac partial partial vartheta right Theta lm vartheta frac m 2 sin 2 vartheta l l 1 nbsp und die Azimutalgleichung 2 f 2 F m f m 2 F m f displaystyle frac partial 2 partial varphi 2 Phi m varphi m 2 Phi m varphi nbsp Die Azimutalgleichung wird durch F m f A exp i m f displaystyle Phi m varphi A exp mathrm i m varphi nbsp gelost wobei die m displaystyle m nbsp wegen der Zusatzbedingung der Eindeutigkeit auf der Kugeloberflache F m f 2 p F m f displaystyle Phi m varphi 2 pi Phi m varphi nbsp eingeschrankt sind auf ganze Zahlen exp i m 2 p 1 displaystyle exp mathrm i m2 pi 1 nbsp Mit 0 2 p F m f 2 d f 1 displaystyle int 0 2 pi Phi m varphi 2 mathrm d varphi overset 1 nbsp erhalt man die normierte Losung der Azimutalgleichung F m f 1 2 p exp i m f m Z displaystyle Phi m varphi frac 1 sqrt 2 pi exp mathrm i m varphi quad m in mathbb Z nbsp Die Polargleichung kann mit einem Potenzreihenansatz gelost werden Die Losungen sind nur dann endlich eindeutig und stetig wenn l N 0 m l displaystyle l in mathbb N 0 quad m leq l nbsp Dann sind die Losungen die zugeordneten Legendrepolynome P l m cos ϑ displaystyle P lm cos vartheta nbsp und mit 0 p 8 l m ϑ 2 sin ϑ d ϑ 1 displaystyle int 0 pi Theta lm vartheta 2 sin vartheta mathrm d vartheta overset 1 nbsp erhalt man die normierte Losung der Polargleichung 8 l m ϑ 2 l 1 2 l m l m P l m cos ϑ displaystyle Theta lm vartheta sqrt frac 2l 1 2 cdot frac l m l m P lm cos vartheta nbsp Die Gesamtlosung des Winkelanteils ist das Produkt aus den beiden erhaltenen Losungen namlich die Kugelflachenfunktionen Y l m ϑ f 8 l m ϑ F m f 1 2 p 2 l 1 2 l m l m P l m cos ϑ exp i m f displaystyle Y lm vartheta varphi Theta lm vartheta Phi m varphi frac 1 sqrt 2 pi sqrt frac 2l 1 2 cdot frac l m l m P lm cos vartheta exp mathrm i m varphi nbsp Darstellung Bearbeiten nbsp 3D Plot der Kugelflachenfunktionen hier n displaystyle n nbsp statt l displaystyle l nbsp und 8 displaystyle theta nbsp statt ϑ displaystyle vartheta nbsp Y n m 8 f P n m cos 8 exp i m f displaystyle Y nm theta varphi propto P nm cos theta exp im varphi nbsp fur Grad n 5 displaystyle n 5 nbsp Die Darstellung der Kugelflachenfunktionen Y l m S 2 C displaystyle Y lm S 2 rightarrow mathbb C nbsp ergibt sich als Losung der oben genannten Eigenwertgleichung Die konkrete Rechnung liefert Y l m ϑ f 1 2 p N l m P l m cos ϑ e i m f displaystyle Y lm vartheta varphi frac 1 sqrt 2 pi N lm P lm cos vartheta e mathrm i m varphi nbsp Dabei sind P l m x 1 m 2 l l 1 x 2 m 2 d l m d x l m x 2 1 l displaystyle P lm x frac 1 m 2 l l 1 x 2 frac m 2 frac mathrm d l m mathrm d x l m x 2 1 l nbsp die zugeordneten Legendrepolynome und N l m 2 l 1 2 l m l m displaystyle N lm sqrt frac 2l 1 2 cdot frac l m l m nbsp sind Normierungsfaktoren Mitunter ist die Berechnung uber P l m x 1 m 1 x 2 m 2 x m P l x displaystyle P lm x 1 m 1 x 2 frac m 2 left frac partial partial x right m P l x nbsp mit P l x 1 2 l k 0 l 2 1 k 2 l 2 k k l k l 2 k x l 2 k displaystyle P l x frac 1 2 l sum k 0 lfloor l 2 rfloor 1 k frac 2l 2k k l k l 2k x l 2k nbsp vorteilhafter l 2 a b r u n d e n l 2 displaystyle lfloor l 2 rfloor mathrm abrunden l 2 nbsp da l displaystyle l nbsp faches Ableiten entfallt Eine andere Definition geht uber homogene harmonische Polynome Diese sind durch ihren Wert auf der Sphare eindeutig bestimmt Jedes homogene harmonische Polynom vom Grad n lasst sich als Linearkombination von Kugelflachenfunktionen multipliziert mit r n displaystyle r n nbsp schreiben und umgekehrt Wahlt man beispielsweise die Funktion die konstant 1 ist als Basis des eindimensionalen Vektorraumes der 0 homogenen harmonischen Polynome und x y und z als Basis des dreidimensionalen Vektorraumes der 1 homogenen so erhalt man in Kugelkoordinaten nach Division von r n displaystyle r n nbsp die Funktionen 1 displaystyle 1 frac nbsp cos f sin ϑ ℜ e i f sin ϑ displaystyle cos varphi sin vartheta Re e mathrm i varphi sin vartheta nbsp sin f sin ϑ ℑ e i f sin ϑ displaystyle sin varphi sin vartheta Im e mathrm i varphi sin vartheta nbsp cos ϑ displaystyle cos vartheta frac nbsp Fur die homogenen Polynome vom Grad 2 erkennt man in der Liste unten schnell auch die Terme x 2 y 2 x y x 2 y 2 2 z 2 displaystyle x 2 y 2 xy x 2 y 2 2z 2 frac nbsp wieder nur mit einem falschen Vorfaktor Eigenschaften BearbeitenDie Kugelflachenfunktionen haben folgende Eigenschaften Orthonormalitatsrelation d i j displaystyle delta ij nbsp ist das Kronecker Delta Y l m ϑ f Y l m ϑ f d W 0 2 p 0 p Y l m ϑ f Y l m ϑ f sin ϑ d ϑ d f d l l d m m displaystyle begin aligned amp int Y lm vartheta varphi Y l m vartheta varphi mathrm d Omega amp quad int 0 2 pi int 0 pi Y lm vartheta varphi Y l m vartheta varphi sin vartheta mathrm d vartheta mathrm d varphi amp quad delta l l delta mm end aligned nbsp Vollstandigkeit d x displaystyle delta x nbsp ist die Delta Distribution l 0 m l l Y l m ϑ f Y l m ϑ f d f f d cos ϑ cos ϑ displaystyle sum l 0 infty sum m l l Y lm vartheta varphi Y lm vartheta varphi delta varphi varphi delta cos vartheta cos vartheta nbsp Paritat Der Ubergang r r displaystyle vec r rightarrow vec r nbsp sieht in Kugelkoordinaten folgendermassen aus r ϑ f r p ϑ p f displaystyle r vartheta varphi rightarrow r pi vartheta pi varphi nbsp Unter dieser Transformation verhalten sich die Kugelflachenfunktionen wie folgt Y l m p ϑ p f 1 l Y l m ϑ f displaystyle Y lm pi vartheta pi varphi 1 l cdot Y lm vartheta varphi nbsp Komplexe Konjugation Die jeweiligen Y l m displaystyle Y l m nbsp erhalt man aus den Y l m displaystyle Y lm nbsp durch Y l m ϑ f 1 m Y l m ϑ f displaystyle Y l m vartheta varphi 1 m cdot Y lm vartheta varphi nbsp Entwicklung nach Kugelflachenfunktionen BearbeitenDie Kugelflachenfunktionen bilden ein vollstandiges Funktionensystem Daher konnen alle quadratintegrablen Funktionen f ϑ f displaystyle f vartheta varphi nbsp mit ϑ displaystyle vartheta nbsp und f displaystyle varphi nbsp im Sinne der Kugelkoordinaten nach den Kugelflachenfunktionen entwickelt werden f ϑ f l 0 m l l c l m Y l m ϑ f displaystyle f vartheta varphi sum l 0 infty sum m l l c lm Y lm vartheta varphi nbsp Die Entwicklungskoeffizienten c l m displaystyle c lm nbsp berechnen sich zu c l m f 0 2 p ϑ 0 p Y l m ϑ f f ϑ f sin ϑ d ϑ d f displaystyle c lm int varphi 0 2 pi int vartheta 0 pi Y lm vartheta varphi cdot f vartheta varphi cdot sin vartheta mathrm d vartheta mathrm d varphi nbsp Dabei ist Y l m ϑ f displaystyle Y lm vartheta varphi nbsp das komplex konjugierte zu Y l m ϑ f displaystyle Y lm vartheta varphi nbsp Die Darstellung einer Funktion f x displaystyle f x nbsp mit sin displaystyle sin nbsp und cos displaystyle cos nbsp Funktion als Fourierreihe ist ein Analogon zur Entwicklung einer zweidimensionalen Funktion f ϑ f displaystyle f vartheta varphi nbsp mit Y l m ϑ f displaystyle Y lm vartheta varphi nbsp auf einer Kugeloberflache Additionstheorem BearbeitenEin Resultat fur die Kugelflachenfunktionen ist das Additionstheorem Hierfur seien zwei Einheitsvektoren x displaystyle vec x nbsp und x displaystyle vec x nbsp durch Kugelkoordinaten ϑ f displaystyle vartheta varphi nbsp bzw ϑ f displaystyle vartheta varphi nbsp dargestellt Fur den Winkel g displaystyle gamma nbsp zwischen diesen beiden Vektoren gilt dann cos g cos ϑ cos ϑ sin ϑ sin ϑ cos f f displaystyle cos gamma cos vartheta cos vartheta sin vartheta sin vartheta cos varphi varphi nbsp Das Additionstheorem fur Kugelflachenfunktionen besagt nun P l cos g 4 p 2 l 1 m l l Y l m ϑ f Y l m ϑ f displaystyle P l cos gamma frac 4 pi 2l 1 sum m l l Y lm vartheta varphi Y lm vartheta varphi nbsp Das Theorem kann auch anstelle der Kugelflachenfunktionen Y l m displaystyle Y lm nbsp mit den zugeordneten Legendrefunktionen P l m displaystyle P lm nbsp geschrieben werden P l cos g P l cos ϑ P l cos ϑ 2 m 1 l l m l m P l m cos ϑ P l m cos ϑ cos m f f displaystyle P l cos gamma P l cos vartheta P l cos vartheta 2 sum m 1 l frac l m l m P lm cos vartheta P lm cos vartheta cos m varphi varphi nbsp Fur g 0 displaystyle gamma 0 nbsp erhalt man aus dem Additionstheorem m l l Y l m ϑ f 2 2 l 1 4 p displaystyle sum m l l Y lm vartheta varphi 2 frac 2l 1 4 pi nbsp Dies kann als eine Verallgemeinerung der Identitat cos 2 ϑ sin 2 ϑ 1 displaystyle cos 2 vartheta sin 2 vartheta 1 nbsp auf drei Dimensionen angesehen werden und ist als Unsold Theorem nach Albrecht Unsold bekannt 1 Die ersten Kugelflachenfunktionen BearbeitenDie ersten Kugelflachenfunktionen Ylm l 0 l 1 l 2 l 3m 3 35 64 p sin 3 ϑ e 3 i f displaystyle sqrt tfrac 35 64 pi sin 3 vartheta e 3 mathrm i varphi nbsp m 2 15 32 p sin 2 ϑ e 2 i f displaystyle sqrt tfrac 15 32 pi sin 2 vartheta e 2 mathrm i varphi nbsp 105 32 p sin 2 ϑ cos ϑ e 2 i f displaystyle sqrt tfrac 105 32 pi sin 2 vartheta cos vartheta e 2 mathrm i varphi nbsp m 1 3 8 p sin ϑ e i f displaystyle sqrt tfrac 3 8 pi sin vartheta e mathrm i varphi nbsp 15 8 p sin ϑ cos ϑ e i f displaystyle sqrt tfrac 15 8 pi sin vartheta cos vartheta e mathrm i varphi nbsp 21 64 p sin ϑ 5 cos 2 ϑ 1 e i f displaystyle sqrt tfrac 21 64 pi sin vartheta left 5 cos 2 vartheta 1 right e mathrm i varphi nbsp m 0 1 4 p displaystyle sqrt tfrac 1 4 pi nbsp 3 4 p cos ϑ displaystyle sqrt tfrac 3 4 pi cos vartheta nbsp 5 16 p 3 cos 2 ϑ 1 displaystyle sqrt tfrac 5 16 pi left 3 cos 2 vartheta 1 right nbsp 7 16 p 5 cos 3 ϑ 3 cos ϑ displaystyle sqrt tfrac 7 16 pi left 5 cos 3 vartheta 3 cos vartheta right nbsp m 1 3 8 p sin ϑ e i f displaystyle sqrt tfrac 3 8 pi sin vartheta e mathrm i varphi nbsp 15 8 p sin ϑ cos ϑ e i f displaystyle sqrt tfrac 15 8 pi sin vartheta cos vartheta e mathrm i varphi nbsp 21 64 p sin ϑ 5 cos 2 ϑ 1 e i f displaystyle sqrt tfrac 21 64 pi sin vartheta left 5 cos 2 vartheta 1 right e mathrm i varphi nbsp m 2 15 32 p sin 2 ϑ e 2 i f displaystyle sqrt tfrac 15 32 pi sin 2 vartheta e 2 mathrm i varphi nbsp 105 32 p sin 2 ϑ cos ϑ e 2 i f displaystyle sqrt tfrac 105 32 pi sin 2 vartheta cos vartheta e 2 mathrm i varphi nbsp m 3 35 64 p sin 3 ϑ e 3 i f displaystyle sqrt tfrac 35 64 pi sin 3 vartheta e 3 mathrm i varphi nbsp Anwendungen BearbeitenQuantenmechanik Bearbeiten Als Eigenfunktionen des Winkelanteils des Laplaceoperators sind die Kugelflachenfunktionen zugleich Eigenfunktionen des Drehimpulsoperators zur Nebenquantenzahl l displaystyle l nbsp als Eigenwert Daher spielen sie eine grosse Rolle bei der Beschreibung von Atomzustanden Ferner ist L 2 Y l m 8 f ℏ 2 l l 1 Y l m 8 f displaystyle hat mathbf L 2 Y l m theta varphi hbar 2 l l 1 Y l m theta varphi nbsp L z Y l m 8 f ℏ m Y l m 8 f displaystyle hat L z Y l m theta varphi hbar mY l m theta varphi nbsp Losung der Laplace Gleichung Bearbeiten Fur jedes l displaystyle l nbsp ist die Funktion r l Y l m 8 f displaystyle r l Y lm theta varphi nbsp Losung der Laplace Gleichung in drei Dimensionen denn die Funktion R l r r l displaystyle R l r r l nbsp erfullt gerade obige Gleichung D r R l r l l 1 r 2 R l r displaystyle Delta r R l r frac l l 1 r 2 R l r nbsp Jede Losung der Laplace Gleichung lasst sich nun eindeutig als l m c l m r l Y l m displaystyle sum l m c lm r l Y lm nbsp darstellen Somit lasst sich mit den Kugelflachenfunktionen die Laplace Gleichung mit spharischen Dirichlet Randbedingungen losen Legen die Randbedingungen den Wert der Losung f displaystyle f nbsp die auf der abgeschlossenen Einheitskugel definiert sein soll auf eine bestimmte quadratintegrable Funktion f S 2 displaystyle f S 2 nbsp auf der Einheitssphare fest so lasst sich f S 2 displaystyle f S 2 nbsp nach Kugelflachenfunktionen entwickeln wodurch sich die Koeffizienten c l m displaystyle c lm nbsp und damit auf eindeutige Weise ganz f displaystyle f nbsp ergeben Auf Grundlage dieser Erkenntnis der Losbarkeit mit spharischen Randbedingungen lasst sich die allgemeine Losbarkeit des Dirichlet Problems der Laplace Gleichung fur hinreichend glatte Randbedingungen zeigen dieser Beweis geht auf Oskar Perron zuruck 2 Das Dirichlet Problem findet Anwendung in der Elektrostatik und Magnetostatik Zum Losen der Laplace Gleichung bei der eine Funktion gesucht ist die ausserhalb einer Kugel definiert ist und im Unendlichen verschwindet zu gegebenen Randbedingungen ist der Ansatz einer Zerlegung l m c l m r l 1 Y l m displaystyle sum l m c lm r l 1 Y lm nbsp moglich der ebenfalls stets eine Losung der Laplace Gleichung zu den gegebenen Randbedingungen liefert Siehe auch Spharische Multipolentwicklung Nomenklatur in der Geophysik Bearbeiten nbsp Wenn m gleich Null ist oben links sind die Schwingungsfunktionen nicht von der geographischen Lange abhangig und werden als zonal bezeichnet Wenn ℓ m unten rechts gibt es keine Nulldurchgange in der geografischen Breite und die Funktionen werden als sektoriell bezeichnet In den anderen Fallen decken die Funktionen die Kugel ab und werden als tesseral bezeichnet In der Geophysik wird unterschieden zwischen zonal m 0 displaystyle m 0 nbsp unabhangig von Langengrad f displaystyle varphi nbsp sektoriell m l displaystyle m l nbsp schwingen nur entlang des Langengrades f displaystyle varphi nbsp Y l l ϑ f 1 l l 2 l 1 4 l 1 p sin l ϑ e i l f displaystyle Y ll vartheta varphi frac 1 l l sqrt frac 2l 1 4 l 1 pi sin l vartheta e mathrm i l varphi nbsp dd tesseral sonst langen und breitengradabhangigLiteratur BearbeitenEduard Heine Handbuch der Kugelfunctionen Georg Reimer Berlin 1861 2 Auflage 1878 Albert Wangerin Theorie Des Potentials Und Der Kugelfunktionen II Band Walter de Gruyter Berlin 1921 University of Michigan E W Hobson The Theory of Spherical and Ellipsoidal Harmonics Cambridge University Press 1931 Chelsea 1955 Josef Lense Kugelfunktionen Geest u Portig 1954 Claus Muller Spherical Harmonics Springer Verlag Lecture Notes in Mathematics Nr 17 1966Kugelflachenfunktionen werden auch in vielen Lehrbuchern der Theoretischen Physik behandelt z B Arnold Sommerfeld Vorlesungen uber Theoretische Physik Band 6 Partielle Differentialgleichungen der Physik Harri Deutsch 1992 Claude Cohen Tannoudji Bernard Diu Franck Laloe Quantenmechanik 1 2 Auflage Walter de Gruyter Berlin New York 1999 S 649 ff Torsten Fliessbach Elektrodynamik 4 Auflage Spektrum Munchen 2005 S 99 ff Weblinks BearbeitenVisualization of Spherical Harmonics Hydrogen Atom Orbital ViewerEinzelnachweise Bearbeiten Albrecht Unsold Beitrage zur Quantenmechanik der Atome In Annalen der Physik Band 387 Nr 3 1927 S 376 377 doi 10 1002 andp 19273870304 Oskar Perron Eine neue Behandlung der ersten Randwertaufgabe fur Du 0 In Mathematische Zeitschrift Band 18 Nr 1 Springer 1923 ISSN 0025 5874 S 42 54 doi 10 1007 BF01192395 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Kugelflachenfunktionen amp oldid 235403214
