Bei zugeordneten Legendrepolynomen bzw assoziierten Legendrepolynomen auch zugeordnete Kugelfunktionen genannt handelt es sich um Funktionen die in der Mathematik und theoretischen Physik verwendet werden Da nicht alle zugeordneten Legendrepolynome wirklich Polynome sind sprechen viele Autoren auch von zugeordneten bzw assoziierten Legendrefunktionen Die zugeordneten Legendrepolynome sind die Losungen der allgemeinen Legendregleichung 1 x 2 d 2 y d x 2 2 x d y d x ℓ ℓ 1 m 2 1 x 2 y 0 displaystyle 1 x 2 frac mathrm d 2 y mathrm d x 2 2x frac mathrm d y mathrm d x left ell ell 1 frac m 2 1 x 2 right y 0 Diese gewohnliche Differentialgleichung hat nicht singulare Losungen im Intervall 1 1 displaystyle 1 1 nur dann wenn ℓ displaystyle ell und m displaystyle m ganzzahlig sind mit 0 m ℓ displaystyle 0 leq m leq ell Man begegnet der allgemeinen Legendregleichung und damit den zugeordneten Legendrepolynomen haufig in der Physik insbesondere wenn eine spharische Symmetrie vorliegt wie beispielsweise im Zentralpotential Hier lassen sich die Laplacegleichung sowie verwandte partielle Differentialgleichungen oft auf die allgemeine Legendregleichung zuruckfuhren Das prominenteste Beispiel hierfur ist die quantenmechanische Losung der Energiezustande des Wasserstoffatoms Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Zusammenhang mit Legendrepolynomen 3 Orthogonalitat 4 Zusammenhang mit der Einheitskugel 5 Die ersten zugeordneten Legendrepolynome 6 Zugeordnete Legendrefunktionen 2 Art 7 Weblinks 8 LiteraturDefinition Bearbeiten nbsp Die zugeordneten Legendrepolynome fur m 0 sind die gewohnlichen Legendrepolynome nbsp Zugeordnete Legendrepolynome fur m 1 nbsp Zugeordnete Legendrepolynome fur m 2 nbsp Zugeordnete Legendrepolynome fur m 3Die zugeordneten Legendrepolynome werden als P ℓ m x displaystyle P ell m x nbsp bezeichnet Am einfachsten lassen sie sich als Ableitungen von gewohnlichen Legendrepolynomen definieren P ℓ m x 1 m 1 x 2 m 2 d m d x m P ℓ x displaystyle P ell m x 1 m left 1 x 2 right m 2 frac mathrm d m mathrm d x m P ell x nbsp wobei P ℓ x displaystyle P ell x nbsp das ℓ displaystyle ell nbsp te Legendrepolynom ist P ℓ x 1 2 ℓ ℓ d ℓ d x ℓ x 2 1 ℓ displaystyle P ell x frac 1 2 ell ell frac mathrm d ell mathrm d x ell left x 2 1 right ell nbsp Daraus ergibt sich P ℓ m x 1 m 2 ℓ ℓ 1 x 2 m 2 d ℓ m d x ℓ m x 2 1 ℓ displaystyle P ell m x frac 1 m 2 ell ell left 1 x 2 right m 2 frac mathrm d ell m mathrm d x ell m left x 2 1 right ell nbsp Zusammenhang mit Legendrepolynomen BearbeitenDie verallgemeinerte Legendregleichung geht fur m 0 displaystyle m 0 nbsp in die Legendregleichung uber sodass P ℓ 0 x P ℓ x displaystyle P ell 0 x P ell x nbsp gilt Orthogonalitat BearbeitenFur die zugeordneten Legendrepolynome gelten im Intervall I 1 1 displaystyle I 1 1 nbsp zwei Orthogonalitatsrelationen 1 1 P ℓ m x P k m x d x 2 2 ℓ 1 ℓ m ℓ m d ℓ k displaystyle int limits 1 1 P ell m x P k m x mathrm d x frac 2 2 ell 1 frac ell m ell m delta ell k nbsp 1 1 P ℓ m x P ℓ n x 1 1 x 2 d x ℓ m m ℓ m d m n displaystyle int limits 1 1 P ell m x P ell n x cdot frac 1 1 x 2 mathrm d x frac ell m m ell m delta mn nbsp Das zweite Integral ist allerdings nur definiert wenn entweder m displaystyle m nbsp oder n displaystyle n nbsp ungleich 0 ist Zusammenhang mit der Einheitskugel BearbeitenAm wichtigsten ist der Fall x cos ϑ displaystyle x cos vartheta nbsp Die zugeordnete Legendre Gleichung lautet dann d 2 y d ϑ 2 cos ϑ sin ϑ d y d ϑ ℓ ℓ 1 m 2 sin 2 ϑ y 0 displaystyle frac mathrm d 2 y mathrm d vartheta 2 frac cos vartheta sin vartheta frac mathrm d y mathrm d vartheta left ell ell 1 frac m 2 sin 2 vartheta right y 0 nbsp Da nach der Substitutionsregel 0 p f cos ϑ sin ϑ d ϑ 1 1 f x d x displaystyle int 0 pi f cos vartheta sin vartheta mathrm d vartheta int 1 1 f x mathrm d x nbsp gilt ubertragen sich obige Orthogonalitatsrelationen ohne weiteres auf die Einheitskugel Uber P ℓ m cos ϑ displaystyle P ell m cos vartheta nbsp werden die sog Kugelflachenfunktionen definiert als Y ℓ m f ϑ 2 ℓ 1 4 p ℓ m ℓ m P ℓ m cos ϑ e i m f displaystyle Y ell m varphi vartheta sqrt frac 2 ell 1 4 pi frac ell m ell m P ell m cos vartheta mathrm e i m varphi nbsp welche auf der Einheitskugel ein vollstandiges Orthonormalsystem bilden Die ersten zugeordneten Legendrepolynome BearbeitenFur die zugeordneten Legendrepolynome gilt folgende Rekursionsformel ℓ m P ℓ m x x 2 ℓ 1 P ℓ 1 m x ℓ m 1 P ℓ 2 m x displaystyle ell m P ell m x x 2 ell 1 P ell 1 m x ell m 1 P ell 2 m x nbsp Die zugehorigen Startwerte der Rekursionsformel stellen sie wie folgt dar P m m x 1 m 2 m 2 m m 1 x 2 m 2 P k m x 0 k lt m displaystyle P m m x 1 m cdot frac 2m 2 m m cdot left 1 x 2 right m 2 quad quad P k m x 0 quad forall k lt m nbsp Die Relation zwischen den assoziierten Legendre Polynomen mit positiven und negativen m displaystyle m nbsp stellt sich wie folgt dar P ℓ m 1 m ℓ m ℓ m P ℓ m displaystyle P ell m 1 m frac ell m ell m cdot P ell m nbsp Die ersten Legendrepolynomen bestimmen sich damit zu P ℓ m x displaystyle P ell m x nbsp ℓ 0 displaystyle ell 0 nbsp ℓ 1 displaystyle ell 1 nbsp ℓ 2 displaystyle ell 2 nbsp m 2 displaystyle m 2 nbsp 1 8 1 x 2 displaystyle 1 8 1 x 2 nbsp m 1 displaystyle m 1 nbsp 1 2 1 x 2 displaystyle 1 2 sqrt 1 x 2 nbsp 1 2 x 1 x 2 displaystyle 1 2x sqrt 1 x 2 nbsp m 0 displaystyle m 0 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp x displaystyle x nbsp 1 2 3 x 2 1 displaystyle 1 2 3x 2 1 nbsp m 1 displaystyle m 1 nbsp 1 x 2 displaystyle sqrt 1 x 2 nbsp 3 x 1 x 2 displaystyle 3x sqrt 1 x 2 nbsp m 2 displaystyle m 2 nbsp 3 1 x 2 displaystyle 3 1 x 2 nbsp Und mit cos ϑ displaystyle cos vartheta nbsp als Argument P ℓ m cos ϑ displaystyle P ell m cos vartheta nbsp ℓ 0 displaystyle ell 0 nbsp ℓ 1 displaystyle ell 1 nbsp ℓ 2 displaystyle ell 2 nbsp m 2 displaystyle m 2 nbsp 1 8 sin 2 ϑ displaystyle 1 8 sin 2 vartheta nbsp m 1 displaystyle m 1 nbsp 1 2 sin ϑ displaystyle 1 2 sin vartheta nbsp 1 2 sin ϑ cos ϑ displaystyle 1 2 sin vartheta cos vartheta nbsp m 0 displaystyle m 0 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp cos ϑ displaystyle cos vartheta nbsp 1 2 3 cos 2 ϑ 1 displaystyle 1 2 3 cos 2 vartheta 1 nbsp m 1 displaystyle m 1 nbsp sin ϑ displaystyle sin vartheta nbsp 3 sin ϑ cos ϑ displaystyle 3 sin vartheta cos vartheta nbsp m 2 displaystyle m 2 nbsp 3 sin 2 ϑ displaystyle 3 sin 2 vartheta nbsp Zugeordnete Legendrefunktionen 2 Art BearbeitenAhnlich wie bei der Legendreschen Gleichung stellen die zugeordneten Legendrepolynome P ℓ m x displaystyle P ell m x nbsp nur eine Gruppe von Losungsfunktionen der verallgemeinerten Legendreschen Gleichung dar Die zugeordneten Legendrefunktionen 2 Art Q ℓ m x displaystyle Q ell m x nbsp stellen ebenso Losungen dar Auch fur sie gilt Q ℓ 0 Q ℓ displaystyle Q ell 0 Q ell nbsp mit den Legendrefunktionen 2 Art Q ℓ x displaystyle Q ell x nbsp Weblinks BearbeitenLegendrefunktionen in der NIST Digital Library of Mathematical Functions englisch Eric W Weisstein Associated Legendre Polynomial In MathWorld englisch Literatur BearbeitenRichard Courant David Hilbert Methoden der mathematischen Physik 2 Bande Springer Verlag 1968 Gerald Teschl Mathematical Methods in Quantum Mechanics With Applications to Schrodinger Operators American Mathematical Society 2009 mat univie ac at Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Zugeordnete Legendrepolynome amp oldid 235573320
