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Bohrscher Radius Der bohrsche Radius a 0 displaystyle a 0 bezeichnet den Radius des Wasserstoffatoms im niedrigsten Ener

Bohrscher Radius

Der bohrsche Radius bezeichnet den Radius des Wasserstoffatoms im niedrigsten Energiezustand und somit auch den Radius seiner ersten und kleinsten Elektronenschale im Rahmen des bohrschen Atommodells; dabei bleibt die kleine Korrektur, die der Mitbewegung des Atomkerns um den Schwerpunkt entspricht, noch unberücksichtigt.

Physikalische Konstante
Name Bohrscher Radius
Formelzeichen
Größenart Länge
Wert
SI 5.29177210903(80)e-11 m
Unsicherheit (rel.) 1.5e-10
CGS 5.29177210903(80)e-9 cm
Bezug zu anderen Konstanten
Quellen und Anmerkungen
Quelle SI-Wert: CODATA 2018 (Direktlink)

Eine quantenmechanische Betrachtung ergibt, dass im niedrigsten Energiezustand die radiale Wahrscheinlichkeitsdichte, das Elektron zu messen, beim bohrschen Radius maximal wird. Der experimentell relevantere Erwartungswert für den Radius ist jedoch das 1,5-fache des bohrschen Radius.

Formeln und Zahlenwert Bearbeiten

Der bohrsche Radius errechnet sich gemäß der Formel:

Dabei ist

Ebenso wird der bohrsche Radius beschrieben durch

mit

Der Wert beträgt nach derzeitiger Messgenauigkeit der in die Rechnung einfließenden Naturkonstanten:

wobei die eingeklammerten Ziffern die geschätzte Standardabweichung von 0,000 000 000 080 · 10−10 m angeben.

Mit dieser Definition gilt der bohrsche Radius als eine Naturkonstante. Zum Beispiel in der Atomphysik wird sie oft als Längeneinheit benutzt, wobei als Näherungen 52,9 pm oder ein halbes Ångström (= 50 pm) verwendet werden.

Berücksichtigt man die endliche Masse des Kerns und damit seine Mitbewegung um den gemeinsamen Schwerpunkt, muss man in den mechanischen Formeln die Elektronenmasse durch die reduzierte Masse ersetzen. Der Bahnradius wird dann . Die Korrektur beträgt beim H-Atom nur ca. 0,05 %, beim He+-Ion, das ebenfalls nur ein Elektron besitzt, ca. 0,01 %. Mit entsprechenden Werten für die Masse wird der Begriff des bohrschen Radius auch für andere Systeme verwendet, z. B. Exzitonen.

Herleitung Bearbeiten

Schon mithilfe einer einfachen Abschätzung und unter Berücksichtigung der Unschärferelation lässt sich der bohrsche Radius ermitteln.

Es wird angenommen, dass der Abstand des im Wasserstoffatom gebundenen Elektrons zum Kern für gewöhnlich beträgt.

Der Unschärferelation wegen lässt sich der Impuls des Elektrons grob mit

angeben, wobei die Ortsobservable hier durch den Abstand ersetzt wird.

Die kinetische Energie beträgt demnach

Die potentielle Energie ist gemäß dem Coulombschen Gesetz

woraus sich die Gesamtenergie ergibt:

Je weiter sich das Elektron vom Kern entfernt, desto kleiner wird seine kinetische Energie. Wegen des negativen Vorzeichens wächst damit aber seine potentielle Energie.

Kinetische, potentielle und gesamte Energie des Elektrons in Abhängigkeit vom Abstand (in bohrschen Radien) des Elektrons vom Atomkern für das Wasserstoffatom im Grundzustand

Im Grundzustand realisiert sich eine Art „Kompromiss“, der die Gesamtenergie minimal macht; der zugehörige Radius ergibt sich, indem man die Energie nach differenziert und die Ableitung gleich null setzt (Extremwertermittlung):

Dies ist genau der bohrsche Radius.

Setzt man nun in ein, so erhält man die Rydberg-Energie (Ry), die Ionisierungsenergie des Wasserstoffs:

Die Abbildung zeigt den Verlauf von kinetischer, potentieller und Gesamtenergie in Abhängigkeit vom Abstand (in bohrschen Radien). Setzt man in die Formel für bzw. ein, so ergeben sich

bzw.

Der Betrag der potentiellen Energie wird als Hartree-Energie (Ha) bezeichnet und ist eine weitere Einheit des Systems atomarer Einheiten der Atomphysik.

Historisches Bearbeiten

Niels Bohr erwähnt in seinem Aufsatz den österreichischen Physiker Arthur Erich Haas, der die Formel für schon 1910/11 gefunden und damit erstmals die Rolle erkannt hatte, die die Plancksche Konstante in der Atomphysik, insbesondere in ihren mechanischen Aspekten, spielen könnte. In seinem Modell läuft ein Elektron auf der Oberfläche einer mit positiv geladenen Kugel um, was nach dem Gaußschen Gesetz der Elektrostatik dieselbe Anziehungskraft ergibt wie ein punktförmiger Kern. Dieses Modell fand damals keine Beachtung, u. a. weil man vielfach auch beim Wasserstoff noch von einer viel größeren Anzahl von Elektronen ausging, also entsprechend auch von einer größeren positiven Ladung des Rests des insgesamt neutralen Atoms. Auch hielt man es weithin für ausgeschlossen, dass außerhalb des Themas harmonische Schwingungen eine Bedeutung haben könnte.

Anfangs lagen die mit dem bohrschen Radius berechneten Energien bzw. Wellenlängen des Wasserstoffspektrums um 0,05 % neben den damals bekannten Messwerten, beim Helium-Ion um 0,01 %. Doch dass die kleinen Korrekturen wegen der Mitbewegung des Kerns in beiden Fällen volle Übereinstimmung erbrachten, sicherte dem bohrschen Modell rasch große Anerkennung.

Quellen Bearbeiten

  • R. P. Feynman: Vorlesungen über Physik. Quantenmechanik. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München 2007, ISBN 978-3-486-58109-6.
  • L. M. Brown, A. Pais, Sir B. Pippard (Hrsg.): Twentieth Century Physics. Band 1, Inst. of Phys. Publishing, Bristol 1995, ISBN 0-7503-0353-0.
  • Max Jammer: The Conceptual Development of Quantum Mechanics. MCGraw-Hill, New York 1966.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. CODATA Recommended Values. National Institute of Standards and Technology, abgerufen am 3. Juni 2019. Wert für den bohrschen Radius. Die eingeklammerten Ziffern bezeichnen die Unsicherheit in den letzten Stellen des Wertes, diese Unsicherheit ist als geschätzte Standardabweichung des angegebenen Zahlenwertes vom tatsächlichen Wert angegeben.
  2. N. Bohr: On the Constitution of Atoms and Molecules. In: Philosophical Magazine. Band 26, 1913, S. 4.
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Veröffentlichungsdatum:
Der bohrsche Radius a 0 displaystyle a 0 bezeichnet den Radius des Wasserstoffatoms im niedrigsten Energiezustand und somit auch den Radius seiner ersten und kleinsten Elektronenschale im Rahmen des bohrschen Atommodells dabei bleibt die kleine Korrektur die der Mitbewegung des Atomkerns um den Schwerpunkt entspricht noch unberucksichtigt Physikalische KonstanteName Bohrscher RadiusFormelzeichen a 0 displaystyle a 0 Grossenart LangeWertSI 5 291 772 109 03 80 e 11 mUnsicherheit rel 1 5e 10CGS 5 291 772 109 03 80 e 9 cmBezug zu anderen Konstantena 0 4 p e 0 ℏ 2 e 2 m e displaystyle a 0 4 pi varepsilon 0 hbar 2 over e 2 m mathrm e Quellen und AnmerkungenQuelle SI Wert CODATA 2018 Direktlink Eine quantenmechanische Betrachtung ergibt dass im niedrigsten Energiezustand die radiale Wahrscheinlichkeitsdichte das Elektron zu messen beim bohrschen Radius maximal wird Der experimentell relevantere Erwartungswert fur den Radius ist jedoch das 1 5 fache des bohrschen Radius Inhaltsverzeichnis 1 Formeln und Zahlenwert 2 Herleitung 3 Historisches 4 Quellen 5 EinzelnachweiseFormeln und Zahlenwert BearbeitenDer bohrsche Radius errechnet sich gemass der Formel a 0 4 p e 0 ℏ 2 e 2 m e displaystyle a 0 4 pi varepsilon 0 hbar 2 over e 2 m mathrm e nbsp Dabei ist e 0 displaystyle varepsilon 0 nbsp die elektrische Feldkonstante ℏ displaystyle hbar nbsp die durch 2 p displaystyle 2 pi nbsp geteilte Planck Konstante m e displaystyle m mathrm e nbsp die Masse des Elektrons und e displaystyle e nbsp die Ladung des Elektrons Ebenso wird der bohrsche Radius beschrieben durch a 0 l e 2 p a displaystyle a 0 frac lambda mathrm e 2 pi alpha nbsp mit der Compton Wellenlange l e 2 p ℏ m e c displaystyle lambda mathrm e frac 2 pi hbar m mathrm e c nbsp des Elektrons und der Feinstrukturkonstante a e 2 4 p e 0 ℏ c displaystyle alpha frac e 2 4 pi varepsilon 0 hbar c nbsp Der Wert betragt nach derzeitiger Messgenauigkeit der in die Rechnung einfliessenden Naturkonstanten 1 a 0 0 529 177 210 903 80 10 10 m displaystyle a 0 0 529 177 210 903 80 cdot 10 10 mathrm m nbsp wobei die eingeklammerten Ziffern die geschatzte Standardabweichung von 0 000 000 000 080 10 10 m angeben Mit dieser Definition gilt der bohrsche Radius als eine Naturkonstante Zum Beispiel in der Atomphysik wird sie oft als Langeneinheit benutzt wobei als Naherungen 52 9 pm oder ein halbes Angstrom 50 pm verwendet werden Berucksichtigt man die endliche Masse M K displaystyle M mathrm K nbsp des Kerns und damit seine Mitbewegung um den gemeinsamen Schwerpunkt muss man in den mechanischen Formeln die Elektronenmasse m e displaystyle m mathrm e nbsp durch die reduzierte Masse m m e 1 m e M K displaystyle mu tfrac m mathrm e 1 frac m mathrm e M mathrm K nbsp ersetzen Der Bahnradius wird dann 1 m e M K a 0 displaystyle left 1 tfrac m mathrm e M mathrm K right a 0 nbsp Die Korrektur betragt beim H Atom nur ca 0 05 beim He Ion das ebenfalls nur ein Elektron besitzt ca 0 01 Mit entsprechenden Werten fur die Masse wird der Begriff des bohrschen Radius auch fur andere Systeme verwendet z B Exzitonen Herleitung BearbeitenSiehe auch Bohrsches Atommodell fur eine vollstandige Herleitung Schon mithilfe einer einfachen Abschatzung und unter Berucksichtigung der Unscharferelation lasst sich der bohrsche Radius ermitteln Es wird angenommen dass der Abstand des im Wasserstoffatom gebundenen Elektrons zum Kern fur gewohnlich a displaystyle a nbsp betragt Der Unscharferelation wegen lasst sich der Impuls des Elektrons grob mit p ℏ a displaystyle p hbar a nbsp angeben wobei die Ortsobservable x displaystyle x nbsp hier durch den Abstand a displaystyle a nbsp ersetzt wird Die kinetische Energie betragt demnach E k i n a 1 2 m e v 2 1 2 p 2 m e 1 2 1 m e ℏ a 2 displaystyle E mathrm kin a frac 1 2 m mathrm e v 2 frac 1 2 frac p 2 m mathrm e frac 1 2 frac 1 m mathrm e left frac hbar a right 2 nbsp Die potentielle Energie ist gemass dem Coulombschen Gesetz V a 1 4 p e 0 e 2 a displaystyle V a frac 1 4 pi varepsilon 0 frac e 2 a nbsp woraus sich die Gesamtenergie ergibt E a E k i n a V a ℏ 2 2 m e a 2 1 4 p e 0 e 2 a displaystyle E a E mathrm kin a V a frac hbar 2 2m mathrm e a 2 frac 1 4 pi varepsilon 0 frac e 2 a nbsp Je weiter sich das Elektron vom Kern entfernt desto kleiner wird seine kinetische Energie Wegen des negativen Vorzeichens wachst damit aber seine potentielle Energie nbsp Kinetische potentielle und gesamte Energie des Elektrons in Abhangigkeit vom Abstand in bohrschen Radien des Elektrons vom Atomkern fur das Wasserstoffatom im GrundzustandIm Grundzustand realisiert sich eine Art Kompromiss der die Gesamtenergie minimal macht der zugehorige Radius a displaystyle a nbsp ergibt sich indem man die Energie nach a displaystyle a nbsp differenziert und die Ableitung gleich null setzt Extremwertermittlung d E d a 0 a 0 4 p ℏ 2 e 0 m e e 2 displaystyle frac mathrm d E mathrm d a 0 Rightarrow a 0 frac 4 pi hbar 2 varepsilon 0 m mathrm e e 2 nbsp Dies ist genau der bohrsche Radius Setzt man nun a 0 displaystyle a 0 nbsp in E a displaystyle E a nbsp ein so erhalt man die Rydberg Energie Ry die Ionisierungsenergie des Wasserstoffs E a 0 1 2 m e e 4 4 p 2 e 0 2 ℏ 2 1 2 e 2 4 p e 0 a 0 13 6 e V displaystyle E a 0 frac 1 2 frac m mathrm e e 4 4 pi 2 varepsilon 0 2 hbar 2 frac 1 2 frac e 2 4 pi varepsilon 0 a 0 13 6 mathrm eV nbsp Die Abbildung zeigt den Verlauf von kinetischer potentieller und Gesamtenergie in Abhangigkeit vom Abstand in bohrschen Radien Setzt man a 0 displaystyle a 0 nbsp in die Formel fur E k i n a displaystyle E mathrm kin a nbsp bzw V a displaystyle V a nbsp ein so ergeben sich E k i n a 0 E a 0 displaystyle E mathrm kin a 0 E a 0 nbsp bzw V a 0 2 E a 0 displaystyle V a 0 2 cdot E a 0 nbsp Der Betrag der potentiellen Energie V a 0 displaystyle V a 0 nbsp wird als Hartree Energie Ha bezeichnet und ist eine weitere Einheit des Systems atomarer Einheiten der Atomphysik Historisches BearbeitenNiels Bohr erwahnt in seinem Aufsatz 2 den osterreichischen Physiker Arthur Erich Haas der die Formel fur a 0 displaystyle a 0 nbsp schon 1910 11 gefunden und damit erstmals die Rolle erkannt hatte die die Plancksche Konstante h displaystyle h nbsp in der Atomphysik insbesondere in ihren mechanischen Aspekten spielen konnte In seinem Modell lauft ein Elektron auf der Oberflache einer mit 1 e displaystyle 1e nbsp positiv geladenen Kugel um was nach dem Gaussschen Gesetz der Elektrostatik dieselbe Anziehungskraft ergibt wie ein punktformiger Kern Dieses Modell fand damals keine Beachtung u a weil man vielfach auch beim Wasserstoff noch von einer viel grosseren Anzahl von Elektronen ausging also entsprechend auch von einer grosseren positiven Ladung des Rests des insgesamt neutralen Atoms Auch hielt man es weithin fur ausgeschlossen dass h displaystyle h nbsp ausserhalb des Themas harmonische Schwingungen eine Bedeutung haben konnte Anfangs lagen die mit dem bohrschen Radius a 0 displaystyle a 0 nbsp berechneten Energien bzw Wellenlangen des Wasserstoffspektrums um 0 05 neben den damals bekannten Messwerten beim Helium Ion um 0 01 Doch dass die kleinen Korrekturen wegen der Mitbewegung des Kerns in beiden Fallen volle Ubereinstimmung erbrachten sicherte dem bohrschen Modell rasch grosse Anerkennung Quellen BearbeitenR P Feynman Vorlesungen uber Physik Quantenmechanik Oldenbourg Wissenschaftsverlag Munchen 2007 ISBN 978 3 486 58109 6 L M Brown A Pais Sir B Pippard Hrsg Twentieth Century Physics Band 1 Inst of Phys Publishing Bristol 1995 ISBN 0 7503 0353 0 Max Jammer The Conceptual Development of Quantum Mechanics MCGraw Hill New York 1966 Einzelnachweise Bearbeiten CODATA Recommended Values National Institute of Standards and Technology abgerufen am 3 Juni 2019 Wert fur den bohrschen Radius Die eingeklammerten Ziffern bezeichnen die Unsicherheit in den letzten Stellen des Wertes diese Unsicherheit ist als geschatzte Standardabweichung des angegebenen Zahlenwertes vom tatsachlichen Wert angegeben N Bohr On the Constitution of Atoms and Molecules In Philosophical Magazine Band 26 1913 S 4 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Bohrscher Radius amp oldid 235791764