Die reduzierte Masse m r e d displaystyle m mathrm red ist eine fiktive Masse die unter bestimmten Voraussetzungen die Eigenschaften zweier Einzelmassen eines Systems reprasentiert Verallgemeinert fur ein System mit N displaystyle N Einzelmassen ist sie das 1 N displaystyle frac 1 N fache des harmonischen Mittels dieser Massen Inhaltsverzeichnis 1 Astronomie Teilchenbewegung 1 1 Herleitung 1 2 Drehimpuls 2 Technische Mechanik 3 EinzelnachweiseAstronomie Teilchenbewegung BearbeitenWenn sich zwei Korper mit Massen m 1 displaystyle m 1 nbsp und m 2 displaystyle m 2 nbsp bewegen ohne dem Einfluss einer Gesamtkraft zu unterliegen so lassen sich die Bewegungsgleichungen aufspalten in die freie Bewegung des Schwerpunktes und das Ein Korper Problem der Relativbewegung Dabei verhalt sich das leichtere Teilchen im relativen Abstand zum schwereren Teilchen wie ein Teilchen das die durch 1 m r e d 1 m 1 1 m 2 displaystyle frac 1 m mathrm red frac 1 m 1 frac 1 m 2 nbsp charakterisierte reduzierte Masse 1 m r e d m 1 m 2 m 1 m 2 displaystyle m mathrm red frac m 1 m 2 m 1 m 2 nbsp hat Je nach Masse m 1 displaystyle m 1 nbsp des schwereren Korpers m 1 m 2 displaystyle m 1 geq m 2 nbsp gilt fur die reduzierte Masse m 2 2 m r e d lt m 2 displaystyle frac m 2 2 leq m mathrm red lt m 2 nbsp mit den Randwerten m r e d m 2 2 displaystyle m mathrm red approx m 2 2 nbsp fur m 1 m 2 displaystyle m 1 approx m 2 nbsp und m r e d m 2 displaystyle m mathrm red approx m 2 nbsp fur m 1 m 2 m 2 m 1 1 displaystyle m 1 gg m 2 Leftrightarrow m 2 m 1 ll 1 nbsp In wichtigen Fallen Planetenbewegung Bewegung eines Elektrons im Coulombfeld des Atomkerns unterscheiden sich die Massen des schwereren und des leichteren Korpers sehr stark m 2 m 1 1 displaystyle m 2 m 1 ll 1 nbsp Dann ist die reduzierte Masse fast die Masse des leichteren Teilchens m r e d m 2 1 m 2 m 1 m 2 1 m 2 m 1 m 2 displaystyle m mathrm red frac m 2 1 m 2 m 1 approx m 2 left 1 frac m 2 m 1 right approx m mathrm 2 nbsp So lasst sich zum Beispiel die Relativbewegung Mond Erde auf ein Ein Korper Problem reduzieren Der Mond bewegt sich wie ein Korper mit reduzierter Masse m r e d displaystyle m mathrm red nbsp im Gravitationsfeld der Erde In vielen Lehrbuchern wird die reduzierte Masse mit dem griechischen Buchstaben m displaystyle mu nbsp abgekurzt Herleitung Bearbeiten Bei verschwindender Gesamtkraft lauten die Bewegungsgleichungen fur die Orte r 1 displaystyle vec r 1 nbsp und r 2 displaystyle vec r 2 nbsp der beiden Korper m 1 d 2 r 1 d t 2 F displaystyle m 1 frac mathrm d 2 vec r 1 mathrm d t 2 vec F nbsp dd m 2 d 2 r 2 d t 2 F displaystyle m 2 frac mathrm d 2 vec r 2 mathrm d t 2 vec F nbsp dd Addiert man diese zwei Gleichungen so erhalt man fur den SchwerpunktR m 1 r 1 m 2 r 2 M displaystyle vec R frac m 1 vec r 1 m 2 vec r 2 M nbsp dd mit der Massensumme M m 1 m 2 displaystyle M m 1 m 2 nbsp die BewegungsgleichungR 0 displaystyle ddot vec R 0 nbsp dd eines freien Teilchens Also bewegt sich der Schwerpunkt geradlinig gleichformig R t R 0 t v 0 displaystyle vec R t vec R 0 t vec v 0 nbsp dd Subtrahiert man die durch die jeweilige Masse dividierten Bewegungsgleichungen der Teilchen so erhalt mand 2 d t 2 r 1 r 2 1 m 1 1 m 2 F 1 m r e d F displaystyle frac mathrm d 2 mathrm d t 2 vec r 1 vec r 2 left frac 1 m 1 frac 1 m 2 right vec F frac 1 m mathrm red vec F nbsp dd m r e d d 2 r d t 2 F displaystyle Leftrightarrow m mathrm red frac mathrm d 2 vec r mathrm d t 2 vec F nbsp dd als Bewegungsgleichung fur den relativen Ortsvektor r r 1 r 2 displaystyle vec r vec r 1 vec r 2 nbsp Dieser bewegt sich also wie ein Teilchen der reduzierten Masse m r e d displaystyle m mathrm red nbsp unter dem Einfluss der Kraft F displaystyle vec F nbsp Drehimpuls Bearbeiten Fur ein System aus zwei Teilchen kann mithilfe der reduzierten Masse der Drehimpuls im Schwerpunktsystem angegeben werden als L S i 1 2 L i S r 1 S p 1 S r 2 S p 2 S r 1 S r 2 S p 1 S r 12 m r e d v 1 2 displaystyle begin aligned vec L mathrm S amp sum i 1 2 vec L i mathrm S vec r 1 mathrm S times vec p 1 mathrm S vec r 2 mathrm S times vec p 2 mathrm S amp vec r 1 mathrm S vec r 2 mathrm S times vec p 1 mathrm S vec r 12 times m mathrm red vec v 1 mathrm 2 end aligned nbsp Hier bezeichnen r i S p i S displaystyle vec r i mathrm S vec p i mathrm S nbsp jeweils den Ortsvektor bzw den Impuls des Teilchens i displaystyle i nbsp bezogen auf den Schwerpunkt r 12 v 12 displaystyle vec r 12 vec v 12 nbsp jeweils den relativen Abstand bzw die relative Geschwindigkeit der beiden Teilchen Auf den Schwerpunkt bezogen ist der Drehimpuls eines Gesamtsystems von zwei Teilchen also genau so gross wie der Drehimpuls eines Teilchens mit dem Impuls m r e d v 12 displaystyle m mathrm red vec v 12 nbsp und dem Ortsvektor r 12 displaystyle vec r 12 nbsp 2 Technische Mechanik BearbeitenEine Punktmasse m displaystyle m nbsp die im Abstand r m displaystyle r mathrm m nbsp um eine Achse rotiert kann auf einen anderen Abstand r displaystyle r nbsp umgerechnet werden Die reduzierte Masse im neuen Abstand r displaystyle r nbsp hat das gleiche Tragheitsmoment bezuglich der Drehachse wie die ursprungliche Masse Mit der Ubersetzung i r m r displaystyle i frac r mathrm m r nbsp berechnet sich die reduzierte Masse zu m r e d i 2 m displaystyle m mathrm red i 2 m nbsp Anwendung z B in der Schwingungslehre Einzelnachweise Bearbeiten C Czeslik H Seemann R Winter Basiswissen Physikalische Chemie 4 Auflage Vieweg Teubner Wiesbaden 2010 ISBN 978 3 8348 0937 7 eingeschrankte Vorschau in der Google Buchsuche W Demtroder Experimentalphysik 1 7 Auflage Springer Verlag Berlin 2015 ISBN 978 3 662 46415 1 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Reduzierte Masse amp oldid 190297120
