Als asymptotische Entwicklungen vom Plancherel Rotach Typ werden asymptotische Resultate fur orthogonale Polynome bezeichnet Sie sind nach den Schweizer Mathematikern Michel Plancherel und seinem PhD Studenten Walter Rotach benannt welche sie zuerst fur das Hermitesche Polynom hergeleitet hatten Man nennt asymptotische Entwicklungen dieser Form fur orthogonale Polynome vom Plancherel Rotach Typ Der Fall fur das zugeordnete Laguerre Polynom stammt von dem Schweizer Mathematiker Egon Mocklin der unter Plancherel und George Polya an der ETH Zurich promovierte 1 Die hier aufgelisteten asymptotischen Entwicklungen stammen aus der Standardreferenz fur orthogonale Polynome von Gabor Szego 2 Hermitesche Polynome BearbeitenSeien ϵ displaystyle epsilon nbsp und w displaystyle omega nbsp positiv und fix dann gilt fur x 2 n 1 1 2 cos f displaystyle x 2n 1 1 2 cos varphi nbsp und ϵ f p ϵ displaystyle epsilon leq varphi leq pi epsilon nbsp e x 2 2 H n x 2 n 2 1 4 n 1 2 p n 1 4 sin f 1 2 sin n 2 1 4 sin 2 f 2 f 3 p 4 O n 1 displaystyle begin aligned e x 2 2 H n x 2 n 2 1 4 n 1 2 pi n 1 4 amp sin varphi 1 2 cdot amp bigg sin left left tfrac n 2 tfrac 1 4 right sin 2 varphi 2 varphi 3 tfrac pi 4 right mathcal O n 1 bigg end aligned nbsp dd fur x 2 n 1 1 2 cosh f displaystyle x 2n 1 1 2 cosh varphi nbsp und ϵ f w displaystyle epsilon leq varphi leq omega nbsp e x 2 2 H n x 2 n 2 3 4 n 1 2 p n 1 4 sinh f 1 2 exp n 2 1 4 2 f sinh 2 f 1 O n 1 displaystyle begin aligned e x 2 2 H n x 2 n 2 3 4 n 1 2 pi n 1 4 amp sinh varphi 1 2 cdot amp exp left left tfrac n 2 tfrac 1 4 right 2 varphi sinh 2 varphi right big 1 mathcal O n 1 big end aligned nbsp dd fur x 2 n 1 1 2 2 1 2 3 1 3 n 1 6 t displaystyle x 2n 1 1 2 2 1 2 3 1 3 n 1 6 t nbsp t displaystyle t nbsp komplex und beschrankte x 2 2 H n x 3 1 3 p 3 4 2 n 2 1 4 n 1 2 n 1 12 Ai t O n 2 3 displaystyle e x 2 2 H n x 3 1 3 pi 3 4 2 n 2 1 4 n 1 2 n 1 12 bigg operatorname Ai t mathcal O left n 2 3 right bigg nbsp dd wobei Ai displaystyle operatorname Ai nbsp die Airy Funktion bezeichnet Laguerre Polynome BearbeitenSei a displaystyle alpha nbsp beliebig und reell ϵ displaystyle epsilon nbsp und w displaystyle omega nbsp positiv und fix dann gilt fur x 4 n 2 a 2 cos 2 f displaystyle x 4n 2 alpha 2 cos 2 varphi nbsp und ϵ f p 2 ϵ n 1 2 displaystyle epsilon leq varphi leq tfrac pi 2 epsilon n 1 2 nbsp e x 2 L n a x 1 n p sin f 1 2 x a 2 1 4 n a 2 1 4 sin n a 1 2 sin 2 f 2 f 3 p 4 n x 1 2 O 1 displaystyle begin aligned e x 2 L n alpha x 1 n pi sin varphi 1 2 amp x alpha 2 1 4 n alpha 2 1 4 amp cdot big sin left left n tfrac alpha 1 2 right sin 2 varphi 2 varphi 3 pi 4 right nx 1 2 mathcal O 1 big end aligned nbsp dd fur x 4 n 2 a 2 cosh 2 f displaystyle x 4n 2 alpha 2 cosh 2 varphi nbsp und ϵ f w displaystyle epsilon leq varphi leq omega nbsp e x 2 L n a x 1 2 1 n p sinh f 1 2 x a 2 1 4 n a 2 1 4 exp n a 1 2 2 f sinh 2 f 1 O n 1 displaystyle begin aligned e x 2 L n alpha x tfrac 1 2 1 n pi sinh varphi 1 2 amp x alpha 2 1 4 n alpha 2 1 4 amp cdot exp left left n tfrac alpha 1 2 right 2 varphi sinh 2 varphi right 1 mathcal O left n 1 right end aligned nbsp dd fur x 4 n 2 a 2 2 2 n 3 1 3 t displaystyle x 4n 2 alpha 2 2 2n 3 1 3 t nbsp sowie t displaystyle t nbsp komplex und beschrankte x 2 L n a x 1 n p 1 2 a 1 3 3 1 3 n 1 3 Ai t O n 2 3 displaystyle e x 2 L n alpha x 1 n pi 1 2 alpha 1 3 3 1 3 n 1 3 bigg operatorname Ai t mathcal O left n 2 3 right bigg nbsp dd Einzelnachweise Bearbeiten Egon Mocklin Asymptotische Entwicklungen der Laguerreschen Polynome 1934 doi 10 3929 ethz a 000092417 G Szego Orthogonal polynomials Hrsg American Mathematical Society 4 Auflage Providence Rhode Island 1975 ISBN 0 8218 1023 5 S 200 201 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Asymptotische Entwicklungen vom Plancherel Rotach Typ amp oldid 234338941
