Die Hermiteschen Polynome nach Charles Hermite sind Polynome aus mehr als zwei durch Plus oder Minuszeichen miteinander verbundenen Gliedern bestehende mathematische Ausdrucke mit folgenden aquivalenten Darstellungen Plots der ersten funf Hermiteschen Polynome Hn H n x 1 n e x 2 d n d x n e x 2 displaystyle H n x 1 n e x 2 frac mathrm d n mathrm d x n e x 2 bzw H n x e x 2 2 x d d x n e x 2 2 displaystyle H n x e x 2 2 left x frac mathrm d mathrm d x right n e x 2 2 Die Hermiteschen Polynome mit einem festen n displaystyle n sind Losungen der Hermiteschen Differentialgleichung einer linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung H n x 2 x H n x 2 n H n x 0 n 0 1 2 displaystyle H n x 2 x cdot H n x 2 n cdot H n x 0 qquad n 0 1 2 dots Inhaltsverzeichnis 1 Explizite Darstellung 2 Orthogonalitat 3 Erzeugende 4 Andere Darstellung der Hermiteschen Polynome 5 Binomischer Lehrsatz 6 Index mit negativem Wert 7 Anwendungen 8 Siehe auch 9 Literatur 10 Weblinks 11 EinzelnachweiseExplizite Darstellung BearbeitenAus der ersten Darstellung erhalt man mit der Formel von Faa di Bruno die explizite Darstellung H n x 1 n k 1 2 k 2 n n k 1 k 2 1 k 1 k 2 2 x k 1 displaystyle H n x 1 n sum k 1 2k 2 n frac n k 1 k 2 1 k 1 k 2 2x k 1 nbsp also H 0 x 1 displaystyle H 0 x 1 nbsp H 1 x 2 x displaystyle H 1 x 2x nbsp H 2 x 2 x 2 2 4 x 2 2 displaystyle H 2 x 2x 2 2 4x 2 2 nbsp H 3 x 2 x 3 6 2 x 8 x 3 12 x displaystyle H 3 x 2x 3 6 2x 8x 3 12x nbsp H 4 x 2 x 4 12 2 x 2 12 16 x 4 48 x 2 12 displaystyle H 4 x 2x 4 12 2x 2 12 16x 4 48x 2 12 nbsp Hermitesche Polynome lassen sich durch folgende Rekursionsformeln berechnen n N 0 H 1 x 0 displaystyle n in mathbb N 0 H 1 x 0 nbsp H n 1 x 2 x H n x 2 n H n 1 x displaystyle H n 1 x 2 x H n x 2 n H n 1 x nbsp H n x 2 n H n 1 x displaystyle H n x 2 n H n 1 x nbsp Da bei jedem Iterationsschritt ein x displaystyle x nbsp hinzumultipliziert wird sieht man schnell dass H n x displaystyle H n x nbsp ein Polynom von Grade n displaystyle n nbsp ist Der Koeffizient der hochsten Potenz x n displaystyle x n nbsp ist 2 n displaystyle 2 n nbsp Fur gerade n displaystyle n nbsp treten ausschliesslich gerade Potenzen von x displaystyle x nbsp auf entsprechend fur ungerade n displaystyle n nbsp nur ungerade Potenzen was sich mathematisch durch die Identitat H n x 1 n H n x displaystyle H n x 1 n cdot H n x nbsp ausdrucken lasst Die rekursive Darstellung der o g Hermiteschen Polynome lasst sich durch die einfache Substitution n n 1 displaystyle n n 1 nbsp auch wie folgt schreiben H n x 2 x H n 1 x 2 n 1 H n 2 x n 1 2 displaystyle H n x 2xH n 1 x 2 n 1 H n 2 x quad quad n 1 2 ldots nbsp Orthogonalitat BearbeitenDie Hermiteschen Polynome erfullen bezuglich der Gewichtsfunktion e x 2 displaystyle e x 2 nbsp die Orthogonalitatsrelation e x 2 H n x H m x d x 2 n n p d n m displaystyle int limits infty infty e x 2 cdot H n x cdot H m x dx 2 n cdot n cdot sqrt pi cdot delta nm nbsp Das heisst dass bestimmte reelle Funktionen nach den Hermiteschen Polynomen in eine Reihe entwickelt werden konnen Erzeugende BearbeitenEine erzeugende Funktion fur die Hermite Polynome ist F x t e 2 x t t 2 n 0 t n n H n x displaystyle F x t e 2xt t 2 sum n 0 infty frac t n n H n x nbsp Andere Darstellung der Hermiteschen Polynome Bearbeiten nbsp Plots der ersten funf hermiteschen Polynome Hen Statistiker Konvention Eine andere Definitionsmoglichkeit der Hermiteschen Polynome Statistiker Konvention ist H e n x 2 n 2 H n x 2 1 n e x 2 2 d n d x n e x 2 2 displaystyle He n x 2 n 2 H n x sqrt 2 1 n e x 2 2 frac mathrm d n mathrm d x n e x 2 2 nbsp Sie sind bezuglich der Gewichtsfunktion e x 2 2 displaystyle e x 2 2 nbsp orthogonal e x 2 2 H e n x H e m x d x 2 p n d m n displaystyle int limits infty infty e x 2 2 He n x He m x dx sqrt 2 pi n delta mn nbsp und erfullen die Differentialgleichung y x y n y 0 displaystyle y x y n y 0 nbsp Sie lassen sich rekursiv durch H e n 1 x x H e n x n H e n 1 x displaystyle He n 1 x x He n x n He n 1 x nbsp bestimmen Binomischer Lehrsatz BearbeitenFur die Hermiteschen Polynome gilt eine Formel die eine ahnliche Gestalt hat wie der binomische Lehrsatz Fur a 2 b 2 1 displaystyle a 2 b 2 1 nbsp ist H n a x b y k 0 n n k a k b n k H k x H n k y displaystyle H n ax by sum k 0 n binom n k a k b n k H k x H n k y nbsp Index mit negativem Wert BearbeitenDie Ableitung der komplementaren Fehlerfunktion 1 erf x erfc x displaystyle 1 operatorname erf x operatorname erfc x nbsp ist d d x erfc x 2 p e x 2 displaystyle frac mathrm d mathrm d x operatorname erfc x frac 2 sqrt pi e x 2 nbsp Damit kann die Darstellung der Hermiteschen Polynome auch folgendermassen geschrieben werden 1 H n x p 2 1 n 1 e x 2 d n 1 d x n 1 erfc x displaystyle H n x frac sqrt pi 2 1 n 1 e x 2 frac mathrm d n 1 mathrm d x n 1 operatorname erfc x nbsp sodass man fur n 1 displaystyle n 1 nbsp findet H 1 x p 2 e x 2 erfc x displaystyle H 1 x frac sqrt pi 2 e x 2 operatorname erfc x nbsp Die Funktionen hoherer Indizes berechnen sich als H n 1 x 1 n 2 n n d n d x n H 1 x displaystyle H n 1 x frac 1 n 2 n n frac mathrm d n mathrm d x n H 1 x nbsp oder rekursiv H n 1 x 1 2 n H n x displaystyle H n 1 x frac 1 2n H n x nbsp mit n 1 2 3 displaystyle n 1 2 3 dotsc nbsp Die so erhaltenen Funktionen genugen wie die Polynome mit positivem Index der hermiteschen Differentialgleichung Sie lauten H 1 x 1 2 p e x 2 erfc x displaystyle H 1 x tfrac 1 2 sqrt pi e x 2 operatorname erfc x nbsp H 2 x 1 2 1 x p e x 2 erfc x displaystyle H 2 x tfrac 1 2 1 x sqrt pi e x 2 operatorname erfc x nbsp H 3 x 1 8 2 x 1 2 x 2 p e x 2 erfc x displaystyle H 3 x tfrac 1 8 2x 1 2x 2 sqrt pi e x 2 operatorname erfc x nbsp displaystyle ldots nbsp Anwendungen BearbeitenIhre Bedeutung erhalten die Hermite Polynome durch ihre vielseitige Anwendbarkeit in der Physik Zum Beispiel werden sie zur Konstruktion der orthonormierten Losungsfunktionen des quantenmechanischen harmonischen Oszillators benotigt Diese entsprechen den Hermiteschen Funktionen die man durch Multiplikation mit der gaussschen Normalverteilung und geeigneter Normierung erhalt Eine weitere Anwendung finden sie in der Finite Elemente Methode als Formfunktionen Die Wahrscheinlichkeitsdichte der nicht zentralen Studentschen t Verteilung lasst sich ausdrucken mittels Hermitescher Polynomfunktionen deren Index negative Werte hat Siehe auch BearbeitenFormel von Faa di Bruno Asymptotische Entwicklungen vom Plancherel Rotach TypLiteratur BearbeitenI N Bronstein u a Taschenbuch der Mathematik 5 Auflage Verlag Harri Deutsch Frankfurt am Main Thun 2001 ISBN 3 8171 2005 2 Milton Abramowitz Irene Stegun Pocketbook of Mathematical Functions Murray R Spiegel Hohere Mathematik fur Ingenieure und Naturwissenschaftler McGraw HillWeblinks BearbeitenEric W Weisstein Hermite Polynomial MathWorld Einzelnachweise Bearbeiten Eric W Weisstein Hermite Polynomial In MathWorld englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Hermitesches Polynom amp oldid 239499536
