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Abelsche Identität Dieser Artikel behandelt die abelsche Identität für die Wronski Determinante Für die abelsche Identit

Abelsche Identität

Die abelsche Identität ist ein Ausdruck für die Wronski-Determinante zweier linear unabhängiger homogener Lösungen einer linearen gewöhnlichen Differentialgleichung zweiter Ordnung. Die Beziehung wurde 1827 von dem norwegischen Mathematiker Niels Henrik Abel (1802–1829) hergeleitet.

Aussage Bearbeiten

Gegeben sei die lineare gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung

Für die Wronski-Determinante von zwei Lösungen der Differentialgleichung gilt dann

Beweis Bearbeiten

Nach Definition ist , worin ein Fundamentalsystem für die Differentialgleichung

ist. Gemäß der liouvilleschen Formel gilt

Anwendung Bearbeiten

Die abelsche Identität erlaubt es, die Wronski-Determinante bei bekanntem Wert an der Stelle für alle anderen zu berechnen. Insbesondere ist die Wronski-Determinante konstant, wenn gilt. Aufgrund der Beziehung, die die Wronski-Determinante zwischen zwei linear unabhängigen Lösungen herstellt, erlaubt sie unter Umständen, die eine aus der anderen zu berechnen.

Literatur Bearbeiten

  • W. Boyce, R. Di Prima: Elementary differential equations and boundary value problems. Wiley, New York 1969.
  • Gerald Teschl: Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems (= Graduate Studies in Mathematics. Band 140). American Mathematical Society, Providence 2012, ISBN 978-0-8218-8328-0 (mat.univie.ac.at).

Weblinks Bearbeiten

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Dieser Artikel behandelt die abelsche Identitat fur die Wronski Determinante Fur die abelsche Identitat als Umformung einer Summe von Produkten jeweils zweier Faktoren siehe abelsche partielle Summation Die abelsche Identitat ist ein Ausdruck fur die Wronski Determinante zweier linear unabhangiger homogener Losungen einer linearen gewohnlichen Differentialgleichung zweiter Ordnung Die Beziehung wurde 1827 von dem norwegischen Mathematiker Niels Henrik Abel 1802 1829 hergeleitet Inhaltsverzeichnis 1 Aussage 2 Beweis 3 Anwendung 4 Literatur 5 WeblinksAussage BearbeitenGegeben sei die lineare gewohnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung y x a 1 x y x a 0 x y x 0 displaystyle y x a 1 x y x a 0 x y x 0 nbsp Fur die Wronski Determinante von zwei Losungen der Differentialgleichung gilt dann W x W x 0 exp x 0 x a 1 3 d 3 displaystyle W x W x 0 exp left int x 0 x a 1 xi mathrm d xi right nbsp Beweis BearbeitenNach Definition ist W x det F x displaystyle W x det Phi x nbsp worin F displaystyle Phi nbsp ein Fundamentalsystem fur die Differentialgleichung Y x A x Y x displaystyle Y x A x Y x nbsp mit A x 0 1 a 0 x a 1 x displaystyle A x begin pmatrix 0 amp 1 a 0 x amp a 1 x end pmatrix nbsp ist Gemass der liouvilleschen Formel gilt W x W x 0 exp x 0 x S p u r A 3 d 3 W x 0 exp x 0 x a 1 3 d 3 displaystyle W x W x 0 exp left int x 0 x mathrm Spur A xi mathrm d xi right W x 0 exp left int x 0 x a 1 xi mathrm d xi right nbsp displaystyle Box nbsp Anwendung BearbeitenDie abelsche Identitat erlaubt es die Wronski Determinante bei bekanntem Wert an der Stelle x 0 displaystyle x 0 nbsp fur alle anderen x displaystyle x nbsp zu berechnen Insbesondere ist die Wronski Determinante konstant wenn a 1 x 0 displaystyle a 1 x equiv 0 nbsp gilt Aufgrund der Beziehung die die Wronski Determinante zwischen zwei linear unabhangigen Losungen herstellt erlaubt sie unter Umstanden die eine aus der anderen zu berechnen Literatur BearbeitenW Boyce R Di Prima Elementary differential equations and boundary value problems Wiley New York 1969 Gerald Teschl Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems Graduate Studies in Mathematics Band 140 American Mathematical Society Providence 2012 ISBN 978 0 8218 8328 0 mat univie ac at Weblinks BearbeitenEric W Weisstein Abel s Differential Equation Identity In MathWorld englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Abelsche Identitat amp oldid 211259586