In der Mathematik ist die abelsche partielle Summation nach N H Abel eine bestimmte Umformung einer Summe von Produkten jeweils zweier Zahlen Inhaltsverzeichnis 1 Aussage 2 Abelsche Ungleichung 3 Anwendungsbeispiel 4 Quellen 5 WeblinksAussage BearbeitenEs seien n displaystyle n nbsp eine naturliche Zahl und a 1 a 2 a n b 1 b 2 b n displaystyle a 1 a 2 ldots a n b 1 b 2 ldots b n nbsp reelle Zahlen Dann gilt k 1 n a k b k A n b n k 1 n 1 A k b k b k 1 displaystyle sum k 1 n a k b k A n b n sum k 1 n 1 A k b k b k 1 nbsp mit A k a 1 a 2 a k displaystyle A k a 1 a 2 ldots a k nbsp Die Aussage besitzt eine gewisse formale Ahnlichkeit zur partiellen Integration wenn man die Entsprechung zwischen Summen und Integralen sowie zwischen Differenzen und Ableitungen berucksichtigt Dies motiviert die Bezeichnung Abelsche Ungleichung BearbeitenIst b k displaystyle b k nbsp eine monoton fallende Folge mit positiven Folgegliedern d h gilt b 1 b 2 b 3 b n gt 0 displaystyle b 1 geq b 2 geq b 3 geq ldots geq b n gt 0 nbsp und sind die Zahlen a k displaystyle a k nbsp beliebig reell oder komplex so gilt k 1 n a k b k b 1 max k 1 n A k displaystyle bigg sum k 1 n a k b k bigg leq b 1 cdot max k 1 ldots n A k nbsp Zur Notation max siehe grosstes und kleinstes Element Diese Aussage folgt direkt durch Anwendung der Dreiecksungleichung auf die rechte Seite der oben angegebenen Gleichung fur die abelsche partielle Summation Anwendungsbeispiel BearbeitenAbel benutzt die Ungleichung in seiner Arbeit siehe Quellen um zu beweisen dass eine Potenzreihe a 0 a 1 x a 2 x 2 displaystyle a 0 a 1 x a 2 x 2 ldots nbsp die fur eine bestimmte positive reelle Zahl x x 0 displaystyle x x 0 nbsp konvergiert auch fur jede kleinere positive Zahl x lt x 0 displaystyle x lt x 0 nbsp konvergent ist und auf 0 lt x lt x 0 displaystyle 0 lt x lt x 0 nbsp eine stetige Funktion darstellt Der wesentliche Schritt dabei ist die Umformung a m x m a m 1 x m 1 x x 0 m a m x 0 m x x 0 m 1 a m 1 x 0 m 1 displaystyle a m x m a m 1 x m 1 ldots Big frac x x 0 Big m cdot a m x 0 m Big frac x x 0 Big m 1 cdot a m 1 x 0 m 1 ldots nbsp und da x x 0 k displaystyle x x 0 k nbsp eine monoton fallende Folge ist kann man die Summe auf der rechten Seite nach der abelschen Ungleichung durch x x 0 m sup k m n m k a n x 0 n displaystyle bigg frac x x 0 bigg m cdot sup k geq m bigg sum nu m k a nu x 0 nu bigg nbsp nach oben abschatzen und die beiden Faktoren werden fur grosses m displaystyle m nbsp beliebig klein Quellen BearbeitenH Heuser Lehrbuch der Analysis 9 Aufl Stuttgart 1991 ISBN 3 519 22231 0 Niels Henrik Abel Untersuchungen uber die Reihe1 m 1 x m m 1 1 2 x 2 m m 1 m 2 1 2 3 x 3 displaystyle textstyle 1 frac m 1 cdot x frac m cdot m 1 1 cdot 2 cdot x 2 frac m cdot m 1 cdot m 2 1 cdot 2 cdot 3 cdot x 3 ldots nbsp dd J Reine Angew Math 1 1826 311 331 Die abelsche Ungleichung zusammen mit der relevanten Umformung findet sich als Lehrsatz III auf S 314 Weblinks BearbeitenAbelsche Ungleichung Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Abelsche partielle Summation amp oldid 211905966
