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Tschebyscheffsche Ungleichung Tschebyscheff Ungleichung ist eine Weiterleitung auf diesen Artikel Zur Ungleichung in der

Tschebyscheffsche Ungleichung

Die tschebyscheffsche Ungleichung, auch Tschebyscheff-Ungleichung oder Bienaymé-Tschebyscheff-Ungleichung genannt, ist eine Ungleichung in der Stochastik, einem Teilgebiet der Mathematik. Sie ist nach Irénée-Jules Bienaymé und Pafnuti Lwowitsch Tschebyscheff benannt; dessen Name findet sich in der Literatur in verschiedenen Schreibungen, unter anderem Tschebyschew, Chebyshev, Čebyšev oder Tschebyschow. In der tschebyscheffschen Ungleichung wird die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsvariable mehr als einen vorgegebenen Schwellenwert von ihrem Erwartungswert abweicht, durch ihre Varianz abgeschätzt.

Aussage Bearbeiten

Sei eine Zufallsvariable mit Erwartungswert

und endlicher Varianz

Dann gilt für alle reellen Zahlen :

Durch Übergang zum komplementären Ereignis erhält man

Güte der Abschätzung Bearbeiten

Die von der tschebyscheffschen Ungleichung angegebenen Grenzen sind scharf in dem Sinne, dass Zufallsvariablen existieren, für die bei der Abschätzung Gleichheit gilt.

Dies ist beispielsweise der Fall für eine diskrete Zufallsvariable mit

und

wobei eine echt positive reelle Zahl ist und . Dann ist und , damit folgt die Abschätzung

die für mit Gleichheit erfüllt ist, da dann gilt.

Im Allgemeinen sind die Abschätzungen aber eher schwach. Beispielsweise sind sie für trivial. Dennoch ist der Satz oft nützlich, weil er ohne Verteilungsannahmen über die Zufallsvariablen auskommt und somit für alle Verteilungen mit endlicher Varianz (insbesondere auch solche, die sich stark von der Normalverteilung unterscheiden) anwendbar ist. Außerdem sind die Schranken einfach zu berechnen.

Varianten Bearbeiten

Abweichungen ausgedrückt durch die Standardabweichung Bearbeiten

Ist die Standardabweichung von Null verschieden und eine positive Zahl, so erhält man mit eine oft zitierte Variante der tschebyscheffschen Ungleichung:

Diese Ungleichung liefert nur für eine sinnvolle Abschätzung, für ist sie trivial, denn Wahrscheinlichkeiten sind stets durch 1 beschränkt.

Verallgemeinerung auf höhere Momente Bearbeiten

Die tschebyscheffsche Ungleichung lässt sich auf höhere Momente verallgemeinern. Man bezeichnet diese verallgemeinerte Ungleichung nicht selten (vereinfachend) ebenfalls als tschebyscheffsche Ungleichung (englisch Chebyshev’s inequality), während sie im Rahmen der Wahrscheinlichkeitstheorie manchmal auch als markoffsche Ungleichung (bzw. als markovsche Ungleichung o. ä., englisch Markov’s inequality) genannt wird. Bei einigen Autoren findet man die verallgemeinerte Ungleichung auch unter der Bezeichnung tschebyscheff-markoffsche Ungleichung (bzw. chebyshev-markovsche Ungleichung o. ä.).

Die verallgemeinerte Ungleichung besagt, dass für einen Maßraum und eine messbare Funktion und stets die Ungleichung

gilt.

Dies folgt aus

Die oben genannte Version der Ungleichung erhält man als Spezialfall, indem man , und setzt, denn dann ist

Mehrdimensionale Tschebyscheffsche Ungleichung Bearbeiten

Die Tschebyscheffsche Ungleichung kann auf mehrdimensionale Zufallsvariable erweitert werden.

Ist X = () eine n-dimensionale Zufallsvariable, die auf den "Mittelpunkt" (μ(x1) / ... / μ(xn) ) zentriert wurde, so gilt für die zentrierte Variable die Mehrdimensionale Tschebyscheffsche Ungleichung:

Exponentielle Tschebyscheff-Ungleichung Bearbeiten

Dass die Verallgemeinerung gleichzeitig für alle positiven Momente gilt, lässt sich beim Beweis der sogenannten exponentiellen Tschebyscheff-Ungleichung ausnutzen. Sei eine reelle Zufallsvariable, die gemäß verteilt ist und eine reelle Zahl. In der Notation von oben setzt man nun , und und erhält

Der Zähler ist die momenterzeugende Funktion von . Die Anwendung der exponentiellen Tschebyscheff-Ungleichung auf eine Summe von unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen ist der entscheidende Schritt im Beweis der Chernoff-Ungleichung.

Geschichte Bearbeiten

In den meisten Lehrbüchern trägt die Ungleichung lediglich den Namen von Pafnuti Lwowitsch Tschebyschow. Er veröffentlichte seinen Beweis für diskrete Zufallsvariablen im Jahre 1867 simultan in St. Petersburg und in Paris, dort in Joseph Liouvilles Journal Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. Ein allgemeinerer Beweis wurde jedoch schon 1853 von Irénée-Jules Bienaymé in dem Paper Considérations a l’appui de la découverte de Laplace sur la loi de probabilité dans la méthode des moindres carrés. veröffentlicht. Dieses wurde sogar direkt vor Tschebyscheffs Veröffentlichung in Liouvilles Journal nochmals in ebendiesem abgedruckt. In einer späteren Veröffentlichung erkannte Tschebyscheff die Erstveröffentlichung von Bienaymé an.

Anwendungen Bearbeiten

Beispiele Bearbeiten

Beispiel 1 Bearbeiten

Nehmen wir zum Beispiel an, dass die Länge von Wikipedia-Artikeln einen Erwartungswert von 1000 Zeichen mit einer Standardabweichung von 200 Zeichen hat. Aus der tschebyscheffschen Ungleichung kann man dann ableiten, dass mit mindestens 75 % Wahrscheinlichkeit ein Wikipedia-Artikel eine Länge zwischen 600 und 1400 Zeichen hat ().

Der Wert für die Wahrscheinlichkeit wird auf folgende Weise berechnet:

Beispiel 2 Bearbeiten

Eine andere Folgerung aus dem Satz ist, dass für jede Wahrscheinlichkeitsverteilung mit Mittelwert und endlicher Standardabweichung mindestens die Hälfte der Werte im Intervall liegen ().

Beispiel 3 Bearbeiten

Ein Zufallsereignis tritt bei einem Versuch mit Wahrscheinlichkeit ein. Der Versuch wird -mal wiederholt; das Ereignis trete dabei -mal auf. ist dann binomialverteilt und hat Erwartungswert und Varianz ; die relative Häufigkeit des Eintretens hat somit Erwartungswert und Varianz . Für die Abweichung der relativen Häufigkeit vom Erwartungswert liefert die tschebyscheffsche Ungleichung

wobei für die zweite Abschätzung die unmittelbar aus der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel folgende Beziehung verwendet wurde.

Bei dieser Formel handelt es sich um den Spezialfall eines schwachen Gesetzes der großen Zahlen, das die stochastische Konvergenz der relativen Häufigkeiten gegen den Erwartungswert zeigt.

Die tschebyscheffsche Ungleichung liefert für dieses Beispiel nur eine grobe Abschätzung, eine quantitative Verbesserung liefert die Chernoff-Ungleichung.

Beweisskizze Bearbeiten

Die meisten Autoren führen die tschebyscheffsche Ungleichung als Spezialfall der Markow-Ungleichung

mit und der Funktion ein.

Wie man die Markow-Ungleichung mit schulgemäßen Mitteln aus einem unmittelbar einsichtigen Flächenvergleich folgern und dann daraus diese Fassung der Ungleichung von Tschebyscheff herleiten kann, findet man zum Beispiel bei Wirths. Für einen direkten Beweis definiert man

Bezeichnet die Indikatorfunktion auf der Menge , so gilt für alle die Ungleichung

Denn ist , so ist die rechte Seite null und die Ungleichung erfüllt. Ist , so hat die linke Seite nach Definition der Mengen mindestens den Wert , und die Ungleichung ist wiederum erfüllt. Mit der Monotonie des Erwartungswertes und seinen elementaren Rechenregeln folgt über die Definition der Varianz

Teilen durch liefert die Ungleichung.

Verwandte Resultate Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Robert B. Ash: Real Analysis and Probability. Academic Press, New York 1972, ISBN 0-12-065201-3.
  • Heinz Bauer: Maß- und Integrationstheorie (= De Gruyter Lehrbuch). 2., überarbeitete Auflage. de Gruyter, Berlin / New York 1992, ISBN 3-11-013625-2.
  • Heinz Bauer: Wahrscheinlichkeitstheorie (= De Gruyter Lehrbuch). 5., durchgesehene und verbesserte Auflage. de Gruyter, Berlin / New York 2002, ISBN 3-11-017236-4.
  • Ulrich Krengel: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 7. Auflage. Vieweg Verlag, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-67259-5.
  • R. G. Laha, V. K. Rohatgi: Probability Theory (= Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics). John Wiley & Sons, New York (u. a.) 1979, ISBN 0-471-03262-X.
  • A. N. Širjaev: Wahrscheinlichkeit (= Hochschulbücher für Mathematik. Band 91). VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1988, ISBN 3-326-00195-9.
  • Andreas Wagener: Chebyshev’s Algebraic inequality and comparative statics under uncertainty. In: Mathematical Social Sciences, 52, 2006, S. 217–221, doi:10.1016/j.mathsocsci.2006.05.004.

Weblinks Bearbeiten

Wikibooks: Beschreibung mit Beispiel – Lern- und Lehrmaterialien

Einzelnachweise und Anmerkungen Bearbeiten

  1. Norbert Henze: Stochastik für Einsteiger. Eine Einführung in die faszinierende Welt des Zufalls. 10. Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden 2013, ISBN 978-3-658-03076-6, S. 165, doi:10.1007/978-3-658-03077-3.
  2. Hans-Otto Georgii: Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 4. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2009, ISBN 978-3-11-021526-7, S. 112, doi:10.1515/9783110215274.
  3. Robert B. Ash: Real Analysis and Probability. 1972, S. 84–85 & S. 227
  4. A. N. Širjaev: Wahrscheinlichkeit. 1988, S. 572
  5. R. G. Laha, V. K. Rohatgi: Probability Theory. 1979, S. 33
  6. Heinz Bauer: Maß- und Integrationstheorie. 1992, S. 128
  7. Matthias Löwe: Große Abweichungen. (PDF; 418 KB) Westfälische Wilhelms-Universität Münster, Institut für Mathematische Stochastik, S. 4;.
  8. Chebyshev, Pafnutii Lvovich. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).
  9. V.V. Sazonov: Bienaymé, Irenée-Jules. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).
  10. Heinz Bauer: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2002, S. 69 ff
  11. Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, S. 110, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.
  12. Hans-Otto Georgii: Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 4. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2009, ISBN 978-3-11-021526-7, S. 122, doi:10.1515/9783110215274.
  13. Klaus D. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit. 2., durchgesehene Auflage. Springer-Verlag, Heidelberg Dordrecht London New York 2011, ISBN 978-3-642-21025-9, S. 288, doi:10.1007/978-3-642-21026-6.
  14. H. Wirths: Der Erwartungswert – Skizzen zur Begriffsentwicklung von Klasse 8 bis 13. In: Mathematik in der Schule 1995/Heft 6, S. 330–343
  15. Ehrhard Behrends: Elementare Stochastik. Ein Lernbuch – von Studierenden mitentwickelt. Springer Spektrum, Wiesbaden 2013, ISBN 978-3-8348-1939-0, S. 229–230, doi:10.1007/978-3-8348-2331-1.
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Tschebyscheff Ungleichung ist eine Weiterleitung auf diesen Artikel Zur Ungleichung in der Arithmetik siehe Tschebyscheff Ungleichung Arithmetik Die tschebyscheffsche Ungleichung auch Tschebyscheff Ungleichung oder Bienayme Tschebyscheff Ungleichung genannt 1 ist eine Ungleichung in der Stochastik einem Teilgebiet der Mathematik Sie ist nach Irenee Jules Bienayme und Pafnuti Lwowitsch Tschebyscheff benannt dessen Name findet sich in der Literatur in verschiedenen Schreibungen unter anderem Tschebyschew Chebyshev Cebysev oder Tschebyschow 2 In der tschebyscheffschen Ungleichung wird die Wahrscheinlichkeit dass eine Zufallsvariable mehr als einen vorgegebenen Schwellenwert von ihrem Erwartungswert abweicht durch ihre Varianz abgeschatzt Inhaltsverzeichnis 1 Aussage 2 Gute der Abschatzung 3 Varianten 3 1 Abweichungen ausgedruckt durch die Standardabweichung 3 2 Verallgemeinerung auf hohere Momente 3 3 Mehrdimensionale Tschebyscheffsche Ungleichung 3 4 Exponentielle Tschebyscheff Ungleichung 4 Geschichte 5 Anwendungen 6 Beispiele 6 1 Beispiel 1 6 2 Beispiel 2 6 3 Beispiel 3 7 Beweisskizze 8 Verwandte Resultate 9 Literatur 10 Weblinks 11 Einzelnachweise und AnmerkungenAussage BearbeitenSei X displaystyle X nbsp eine Zufallsvariable mit Erwartungswert m E X displaystyle mu operatorname E X nbsp und endlicher Varianz s 2 Var X displaystyle sigma 2 operatorname Var X nbsp Dann gilt fur alle reellen Zahlen k gt 0 displaystyle k gt 0 nbsp P X m k s 2 k 2 displaystyle operatorname P left left X mu right geq k right leq frac sigma 2 k 2 nbsp Durch Ubergang zum komplementaren Ereignis erhalt man P X m lt k 1 s 2 k 2 displaystyle operatorname P left left X mu right lt k right geq 1 frac sigma 2 k 2 nbsp Gute der Abschatzung BearbeitenDie von der tschebyscheffschen Ungleichung angegebenen Grenzen sind scharf in dem Sinne dass Zufallsvariablen existieren fur die bei der Abschatzung Gleichheit gilt Dies ist beispielsweise der Fall fur eine diskrete Zufallsvariable X displaystyle X nbsp mit P X 0 1 p displaystyle operatorname P left X 0 right 1 p nbsp und P X a P X a p 2 displaystyle operatorname P left X a right operatorname P left X a right p 2 nbsp wobei a displaystyle a nbsp eine echt positive reelle Zahl ist und p 0 1 displaystyle p in 0 1 nbsp Dann ist m E X 0 displaystyle mu operatorname E X 0 nbsp und s 2 Var X a 2 p displaystyle sigma 2 operatorname Var X a 2 p nbsp damit folgt die Abschatzung P X 0 k a 2 p k 2 displaystyle P X 0 geq k leq frac a 2 p k 2 nbsp die fur k a displaystyle k a nbsp mit Gleichheit erfullt ist da dann P X k P X a p displaystyle P X geq k P X geq a p nbsp gilt Im Allgemeinen sind die Abschatzungen aber eher schwach Beispielsweise sind sie fur k s displaystyle k leq sigma nbsp trivial Dennoch ist der Satz oft nutzlich weil er ohne Verteilungsannahmen uber die Zufallsvariablen auskommt und somit fur alle Verteilungen mit endlicher Varianz insbesondere auch solche die sich stark von der Normalverteilung unterscheiden anwendbar ist Ausserdem sind die Schranken einfach zu berechnen Varianten BearbeitenAbweichungen ausgedruckt durch die Standardabweichung Bearbeiten Ist die Standardabweichung s displaystyle sigma nbsp von Null verschieden und l displaystyle lambda nbsp eine positive Zahl so erhalt man mit k l s displaystyle k lambda sigma nbsp eine oft zitierte Variante der tschebyscheffschen Ungleichung P X m l s 1 l 2 displaystyle operatorname P left left X mu right geq lambda sigma right leq frac 1 lambda 2 nbsp Diese Ungleichung liefert nur fur l gt 1 displaystyle lambda gt 1 nbsp eine sinnvolle Abschatzung fur 0 lt l 1 displaystyle 0 lt lambda leq 1 nbsp ist sie trivial denn Wahrscheinlichkeiten sind stets durch 1 beschrankt Verallgemeinerung auf hohere Momente Bearbeiten Die tschebyscheffsche Ungleichung lasst sich auf hohere Momente verallgemeinern Man bezeichnet diese verallgemeinerte Ungleichung nicht selten vereinfachend ebenfalls als tschebyscheffsche Ungleichung englisch Chebyshev s inequality 3 wahrend sie im Rahmen der Wahrscheinlichkeitstheorie manchmal auch als markoffsche Ungleichung bzw als markovsche Ungleichung o a englisch Markov s inequality genannt wird 4 5 Bei einigen Autoren findet man die verallgemeinerte Ungleichung auch unter der Bezeichnung tschebyscheff markoffsche Ungleichung bzw chebyshev markovsche Ungleichung o a 6 Die verallgemeinerte Ungleichung besagt dass fur einen Massraum W S n displaystyle Omega Sigma nu nbsp und eine messbare Funktion f W R 0 displaystyle f colon Omega to mathbb R 0 nbsp und e p R displaystyle varepsilon p in mathbb R nbsp stets die Ungleichung n x f x e 1 e p W f p d n displaystyle nu x mid f x geq varepsilon leq frac 1 varepsilon p int Omega f p rm d nu nbsp gilt Dies folgt aus W f p d n x f x e f p d n x f x e e p d n e p n x f x e displaystyle int Omega f p rm d nu geq int x mid f x geq varepsilon f p rm d nu geq int x mid f x geq varepsilon varepsilon p rm d nu varepsilon p nu x mid f x geq varepsilon nbsp Die oben genannte Version der Ungleichung erhalt man als Spezialfall indem man n P displaystyle nu P nbsp f X m displaystyle f X mu nbsp und p 2 displaystyle p 2 nbsp setzt denn dann ist P X m k P X m 2 k 2 1 k 2 W X m 2 d P s 2 k 2 displaystyle P X mu geq k P X mu 2 geq k 2 leq frac 1 k 2 int Omega X mu 2 rm d P frac sigma 2 k 2 nbsp Mehrdimensionale Tschebyscheffsche Ungleichung Bearbeiten Hauptartikel Mehrdimensionale Tschebyscheffsche Ungleichung Die Tschebyscheffsche Ungleichung kann auf mehrdimensionale Zufallsvariable erweitert werden Ist X x 1 x n displaystyle x 1 x n nbsp eine n dimensionale Zufallsvariable die auf den Mittelpunkt m x1 m xn zentriert wurde so gilt fur die zentrierte Variable die Mehrdimensionale Tschebyscheffsche Ungleichung 1 P x 1 x n C 1 x 1 x n k 2 n k 2 displaystyle 1 P x 1 x n C 1 begin pmatrix x 1 x n end pmatrix leq k 2 leq tfrac n k 2 nbsp Exponentielle Tschebyscheff Ungleichung Bearbeiten Dass die Verallgemeinerung gleichzeitig fur alle positiven Momente gilt lasst sich beim Beweis der sogenannten exponentiellen Tschebyscheff Ungleichung 7 ausnutzen Sei X P displaystyle X sim P nbsp eine reelle Zufallsvariable die gemass P displaystyle P nbsp verteilt ist und a R displaystyle a in mathbb R nbsp eine reelle Zahl In der Notation von oben setzt man nun n P displaystyle nu P nbsp e e a displaystyle varepsilon mathrm e a nbsp und f x e x displaystyle f x mathrm e x nbsp und erhalt P X a P e X e inf p R 1 e p R e p x d P inf p R E e p X e p a displaystyle P X geq a P mathrm e X geq varepsilon leq inf p in mathbb R frac 1 varepsilon p int mathbb R mathrm e px mathrm d P inf p in mathbb R frac E mathrm e pX mathrm e pa nbsp Der Zahler M X p E e p X displaystyle M X p E mathrm e pX nbsp ist die momenterzeugende Funktion von X displaystyle X nbsp Die Anwendung der exponentiellen Tschebyscheff Ungleichung auf eine Summe von unabhangigen und identisch verteilten Zufallsvariablen ist der entscheidende Schritt im Beweis der Chernoff Ungleichung Geschichte BearbeitenIn den meisten Lehrbuchern tragt die Ungleichung lediglich den Namen von Pafnuti Lwowitsch Tschebyschow Er veroffentlichte seinen Beweis fur diskrete Zufallsvariablen im Jahre 1867 simultan in St Petersburg und in Paris dort in Joseph Liouvilles Journal Journal de Mathematiques Pures et Appliquees Ein allgemeinerer Beweis wurde jedoch schon 1853 von Irenee Jules Bienayme in dem Paper Considerations a l appui de la decouverte de Laplace sur la loi de probabilite dans la methode des moindres carres veroffentlicht Dieses wurde sogar direkt vor Tschebyscheffs Veroffentlichung in Liouvilles Journal nochmals in ebendiesem abgedruckt In einer spateren Veroffentlichung erkannte Tschebyscheff die Erstveroffentlichung von Bienayme an 8 9 Anwendungen BearbeitenDie tschebyscheffsche Ungleichung geht wesentlich ein in die Beweise des Borel Cantelli Lemmas und des Schwachen Gesetzes der grossen Zahlen 10 Die Verallgemeinerung auf hohere Momente kann benutzt werden um zu zeigen dass aus der L p displaystyle L p nbsp Konvergenz von Funktionenfolgen die Konvergenz im Mass folgt Fur den Median m displaystyle m nbsp gilt m m s displaystyle left mu m right leq sigma nbsp Beispiele BearbeitenBeispiel 1 Bearbeiten Nehmen wir zum Beispiel an dass die Lange von Wikipedia Artikeln einen Erwartungswert von 1000 Zeichen mit einer Standardabweichung von 200 Zeichen hat Aus der tschebyscheffschen Ungleichung kann man dann ableiten dass mit mindestens 75 Wahrscheinlichkeit ein Wikipedia Artikel eine Lange zwischen 600 und 1400 Zeichen hat k 400 m 1000 s 200 displaystyle k 400 mu 1000 sigma 200 nbsp Der Wert fur die Wahrscheinlichkeit wird auf folgende Weise berechnet P X 1000 lt 400 1 200 2 400 2 0 75 75 displaystyle operatorname P left left X 1000 right lt 400 right geq 1 frac 200 2 400 2 0 75 75 nbsp Beispiel 2 Bearbeiten Eine andere Folgerung aus dem Satz ist dass fur jede Wahrscheinlichkeitsverteilung mit Mittelwert m displaystyle mu nbsp und endlicher Standardabweichung s displaystyle sigma nbsp mindestens die Halfte der Werte im Intervall m 2 s m 2 s displaystyle mu sqrt 2 sigma mu sqrt 2 sigma nbsp liegen k 2 2 s 2 displaystyle k 2 2 sigma 2 nbsp Beispiel 3 Bearbeiten Ein Zufallsereignis tritt bei einem Versuch mit Wahrscheinlichkeit p displaystyle p nbsp ein Der Versuch wird n displaystyle n nbsp mal wiederholt das Ereignis trete dabei k displaystyle k nbsp mal auf k displaystyle k nbsp ist dann binomialverteilt und hat Erwartungswert n p displaystyle np nbsp und Varianz n p 1 p displaystyle np 1 p nbsp die relative Haufigkeit k n displaystyle tfrac k n nbsp des Eintretens hat somit Erwartungswert p displaystyle p nbsp und Varianz p 1 p n displaystyle tfrac p 1 p n nbsp Fur die Abweichung der relativen Haufigkeit vom Erwartungswert liefert die tschebyscheffsche Ungleichung P k n p ϵ p 1 p ϵ 2 n 1 4 ϵ 2 n displaystyle operatorname P left left frac k n p right geq epsilon right leq frac p 1 p epsilon 2 n leq frac 1 4 epsilon 2 n nbsp wobei fur die zweite Abschatzung die unmittelbar aus der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel folgende Beziehung p 1 p 1 2 displaystyle sqrt p 1 p leq tfrac 1 2 nbsp verwendet wurde Bei dieser Formel handelt es sich um den Spezialfall eines schwachen Gesetzes der grossen Zahlen das die stochastische Konvergenz der relativen Haufigkeiten gegen den Erwartungswert zeigt Die tschebyscheffsche Ungleichung liefert fur dieses Beispiel nur eine grobe Abschatzung eine quantitative Verbesserung liefert die Chernoff Ungleichung Beweisskizze BearbeitenDie meisten Autoren fuhren die tschebyscheffsche Ungleichung als Spezialfall der Markow Ungleichung P Y k E h Y h k displaystyle P left Y geq k right leq frac operatorname E left h Y right h k nbsp mit Y X m displaystyle Y X mu nbsp und der Funktion h x x 2 displaystyle h x x 2 nbsp ein 11 12 13 Wie man die Markow Ungleichung mit schulgemassen Mitteln aus einem unmittelbar einsichtigen Flachenvergleich folgern und dann daraus diese Fassung der Ungleichung von Tschebyscheff herleiten kann findet man zum Beispiel bei Wirths 14 Fur einen direkten Beweis definiert man A k w W X m k displaystyle A k omega in Omega mid X mu geq k nbsp Bezeichnet 1 A displaystyle mathbf 1 A nbsp die Indikatorfunktion auf der Menge A displaystyle A nbsp so gilt fur alle w displaystyle omega nbsp die Ungleichung X w m 2 k 2 1 A k w displaystyle X omega mu 2 geq k 2 mathbf 1 A k omega nbsp Denn ist w A k displaystyle omega notin A k nbsp so ist die rechte Seite null und die Ungleichung erfullt Ist w A k displaystyle omega in A k nbsp so hat die linke Seite nach Definition der Mengen A k displaystyle A k nbsp mindestens den Wert k 2 displaystyle k 2 nbsp und die Ungleichung ist wiederum erfullt Mit der Monotonie des Erwartungswertes und seinen elementaren Rechenregeln folgt uber die Definition der Varianz s 2 Var X E X m 2 E k 2 1 A k k 2 P A k k 2 P X m k displaystyle sigma 2 operatorname Var X operatorname E X mu 2 geq operatorname E k 2 mathbf 1 A k k 2 P A k k 2 P X mu geq k nbsp Teilen durch k 2 displaystyle k 2 nbsp liefert die Ungleichung 15 Verwandte Resultate BearbeitenBurkholder Ungleichung Doobsche Maximalungleichung Ungleichung von Cantelli Chernoff Ungleichung Ungleichung von Hajek und Renyi Jensensche Ungleichung Kolmogorow Ungleichung Ungleichung von Ljapunow Markow Ungleichung Stochastik Ungleichung von Ottaviani Skorokhod Mehrdimensionale Tschebyscheffsche UngleichungLiteratur BearbeitenRobert B Ash Real Analysis and Probability Academic Press New York 1972 ISBN 0 12 065201 3 Heinz Bauer Mass und Integrationstheorie De Gruyter Lehrbuch 2 uberarbeitete Auflage de Gruyter Berlin New York 1992 ISBN 3 11 013625 2 Heinz Bauer Wahrscheinlichkeitstheorie De Gruyter Lehrbuch 5 durchgesehene und verbesserte Auflage de Gruyter Berlin New York 2002 ISBN 3 11 017236 4 Ulrich Krengel Einfuhrung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik 7 Auflage Vieweg Verlag Wiesbaden 2003 ISBN 3 528 67259 5 R G Laha V K Rohatgi Probability Theory Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics John Wiley amp Sons New York u a 1979 ISBN 0 471 03262 X A N Sirjaev Wahrscheinlichkeit Hochschulbucher fur Mathematik Band 91 VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften Berlin 1988 ISBN 3 326 00195 9 Andreas Wagener Chebyshev s Algebraic inequality and comparative statics under uncertainty In Mathematical Social Sciences 52 2006 S 217 221 doi 10 1016 j mathsocsci 2006 05 004 Weblinks Bearbeiten nbsp Wikibooks Beschreibung mit Beispiel Lern und LehrmaterialienEinzelnachweise und Anmerkungen Bearbeiten Norbert Henze Stochastik fur Einsteiger Eine Einfuhrung in die faszinierende Welt des Zufalls 10 Auflage Springer Spektrum Wiesbaden 2013 ISBN 978 3 658 03076 6 S 165 doi 10 1007 978 3 658 03077 3 Hans Otto Georgii Stochastik Einfuhrung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik 4 Auflage Walter de Gruyter Berlin 2009 ISBN 978 3 11 021526 7 S 112 doi 10 1515 9783110215274 Robert B Ash Real Analysis and Probability 1972 S 84 85 amp S 227 A N Sirjaev Wahrscheinlichkeit 1988 S 572 R G Laha V K Rohatgi Probability Theory 1979 S 33 Heinz Bauer Mass und Integrationstheorie 1992 S 128 Matthias Lowe Grosse Abweichungen PDF 418 KB Westfalische Wilhelms Universitat Munster Institut fur Mathematische Stochastik S 4 abgerufen am 8 Marz 2020 Chebyshev Pafnutii Lvovich In Michiel Hazewinkel Hrsg Encyclopedia of Mathematics Springer Verlag und EMS Press Berlin 2002 ISBN 1 55608 010 7 englisch encyclopediaofmath org V V Sazonov Bienayme Irenee Jules In Michiel Hazewinkel Hrsg Encyclopedia of Mathematics Springer Verlag und EMS Press Berlin 2002 ISBN 1 55608 010 7 englisch encyclopediaofmath org Heinz Bauer Wahrscheinlichkeitstheorie 2002 S 69 ff Achim Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie 3 Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 2013 ISBN 978 3 642 36017 6 S 110 doi 10 1007 978 3 642 36018 3 Hans Otto Georgii Stochastik Einfuhrung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik 4 Auflage Walter de Gruyter Berlin 2009 ISBN 978 3 11 021526 7 S 122 doi 10 1515 9783110215274 Klaus D Schmidt Mass und Wahrscheinlichkeit 2 durchgesehene Auflage Springer Verlag Heidelberg Dordrecht London New York 2011 ISBN 978 3 642 21025 9 S 288 doi 10 1007 978 3 642 21026 6 H Wirths Der Erwartungswert Skizzen zur Begriffsentwicklung von Klasse 8 bis 13 In Mathematik in der Schule 1995 Heft 6 S 330 343 Ehrhard Behrends Elementare Stochastik Ein Lernbuch von Studierenden mitentwickelt Springer Spektrum Wiesbaden 2013 ISBN 978 3 8348 1939 0 S 229 230 doi 10 1007 978 3 8348 2331 1 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Tschebyscheffsche Ungleichung amp oldid 214187867