Die Ungleichung von Cantelli ist eine elementare stochastische Ungleichung die auf den italienischen Mathematiker Francesco Paolo Cantelli zuruckgeht Sie ist verwandt mit der tschebyschow markowschen Ungleichung und liefert eine einseitige Abschatzung fur die Wahrscheinlichkeit dass eine reelle Zufallsvariable ihren Erwartungswert um eine positive Zahl ubersteigt 1 Inhaltsverzeichnis 1 Formulierung der Ungleichung 2 Beweis der Ungleichung 2 1 Schritt 1 2 2 Schritt 2 2 3 Schritt 3 3 Anmerkungen 4 Quellen 5 Einzelnachweise und Fussnoten 6 AnmerkungenFormulierung der Ungleichung BearbeitenDie Cantellische Ungleichung lasst sich angeben wie folgt Gegeben seien ein Wahrscheinlichkeitsraum W A P displaystyle Omega mathcal A operatorname P nbsp und eine reelle Zufallsvariable X W A P R displaystyle X colon Omega mathcal A operatorname P to mathbb R nbsp X displaystyle X nbsp besitze ein endliches zweites Moment E X 2 lt displaystyle operatorname E X 2 lt infty nbsp A 1 dd Weiter gegeben sei eine reelle Zahl c gt 0 displaystyle c gt 0 nbsp Dann besteht die UngleichungP X E X c V X c 2 V X displaystyle operatorname P bigl X geq operatorname E X c bigr leq frac operatorname V X c 2 operatorname V X nbsp A 2 dd Beweis der Ungleichung BearbeitenDer Darstellung von Klaus D Schmidt folgend lasst sie sich folgendermassen herleiten Schritt 1 Bearbeiten Man setzt Z X E X displaystyle Z X operatorname E X nbsp dd Dann ist zunachst E Z 0 displaystyle operatorname E Z 0 nbsp dd und weiter V Z V X E Z 2 displaystyle operatorname V Z operatorname V X operatorname E bigl Z 2 bigr nbsp dd Schritt 2 Bearbeiten Hat man nun eine zunachst beliebige reelle Zahl t gt c displaystyle t gt c nbsp so ergibt sich insbesondere wegen der tschebyschow markowschen Ungleichung fur zweite Momente die folgende Ungleichungskette P X E X c P Z c P Z t c t P Z t c t E Z t 2 c t 2 E Z 2 t 2 c t 2 V Z t 2 c t 2 V X t 2 c t 2 displaystyle begin aligned operatorname P bigl X geq operatorname E bigl X bigr c bigr amp operatorname P bigl Z geq c bigr amp operatorname P bigl Z t geq c t bigr amp leq operatorname P bigl Z t geq c t bigr amp leq frac operatorname E bigl Z t 2 bigr c t 2 amp frac operatorname E bigl Z 2 bigr t 2 c t 2 amp frac operatorname V Z t 2 c t 2 amp frac operatorname V X t 2 c t 2 end aligned nbsp dd Schritt 3 Bearbeiten Insbesondere fur die reelle Zahl t 0 V X c displaystyle t 0 frac operatorname V X c nbsp dd gilt nach Schritt 2 P X E X c V X t 0 2 c t 0 2 V X V X 2 c 2 c V X c 2 c 2 V X V X 2 c 2 c V X c 2 V X c 2 V X c 2 V X 2 V X c 2 V X displaystyle begin aligned operatorname P bigl X geq operatorname E X c bigr amp leq frac operatorname V X t 0 2 c t 0 2 amp frac operatorname V X frac operatorname V X 2 c 2 c frac operatorname V X c 2 amp frac c 2 cdot operatorname V X operatorname V X 2 c 2 cdot c frac operatorname V X c 2 amp frac operatorname V X cdot bigl c 2 operatorname V X bigr c 2 operatorname V X 2 amp frac operatorname V bigl X bigr c 2 operatorname V X end aligned nbsp dd Damit ist alles bewiesen Anmerkungen BearbeitenDie in obigem Schritt 2 auftretende reellwertige Funktion c t V X t 2 c t 2 displaystyle c infty ni t mapsto frac operatorname V X t 2 c t 2 nbsp dd nimmt an der genannten Stelle t 0 V X c displaystyle t 0 frac operatorname V X c nbsp dd ihr absolutes Minimum an Die in der cantellischen Ungleichung genannte obere Schranke ist also in diesem Sinne optimal Auch fur negative c displaystyle c nbsp lasst sich eine ahnliche Abschatzung herleiten Es gilt dann fur c lt 0 displaystyle c lt 0 nbsp P X E X c c 2 c 2 V X displaystyle operatorname P bigl X geq operatorname E X c bigr geq frac c 2 c 2 operatorname V X nbsp dd Quellen BearbeitenKlaus D Schmidt Mass und Wahrscheinlichkeit Springer Lehrbuch Springer Verlag Berlin Heidelberg 2009 ISBN 978 3 540 89729 3 Einzelnachweise und Fussnoten Bearbeiten Klaus D Schmidt Mass und Wahrscheinlichkeit 2009 S 288 289Anmerkungen Bearbeiten Fur eine reelle Zufallsvariable 3 displaystyle xi nbsp wird deren Erwartungswert mit E 3 displaystyle operatorname E xi nbsp bezeichnet Fur eine reelle Zufallsvariable 3 displaystyle xi nbsp wird deren Varianz mit V 3 displaystyle operatorname V xi nbsp bezeichnet Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Ungleichung von Cantelli amp oldid 234955948
