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Eine Ungleichung ist ein Gegenstand der Mathematik mit dem Grossenvergleiche formuliert und untersucht werden konnen Jede Ungleichung besteht aus zwei Termen die durch eines der Vergleichszeichen lt Kleinerzeichen Kleinergleichzeichen Grossergleichzeichen oder gt Grosserzeichen verbunden sind Oft spricht man anstatt von einer Ungleichung auch von einer Abschatzung wenn man mit Hilfe einer Ungleichung das Wachstum eines komplexen Terms durch einen einfacheren Term kontrolliert Sind T 1 T 1 und T 2 T 2 zwei Terme dann ist T 1 lt T 2 T 1 lt T 2 eine Ungleichung 1 Man spricht T 1 T 1 kleiner als T 2 T 2 Wie bei einer Gleichung heisst T 1 T 1 die linke Seite und T 2 T 2 die rechte Seite der Ungleichung 2 Die in den beiden Termen auftretenden Werte sind meist reelle Zahlen Die durch das Vergleichszeichen angesprochene Ordnungsrelation bezieht sich dann auf die naturliche Anordnung der reellen Zahlen Inhaltsverzeichnis 1 Formen von Ungleichungen 2 Umformung von Ungleichungen 2 1 Umkehrbarkeit 2 2 Monotoniegesetze im Zusammenhang mit den Grundrechenarten 2 2 1 Addition und Subtraktion 2 2 2 Multiplikation und Division 2 3 Anwenden einer Funktion 2 3 1 Beispiele 3 Losen von Ungleichungen 4 Abschatzungen 5 Bekannte Ungleichungen 5 1 Dreiecksungleichung 5 2 Cauchy Schwarz Ungleichung 6 Erweiterung des Begriffes 6 1 Komplexe Zahlen 6 2 Spaltenvektoren 6 3 Weitere Beispiele 7 Siehe auch 8 Literatur 9 Einzelnachweise und FussnotenFormen von Ungleichungen BearbeitenFolgende funf Formen von Ungleichungen sind moglich 1 T 1 lt T 2 T 1 lt T 2 T 1 T 1 kleiner T 2 T 2 2 T 1 T 2 T 1 leq T 2 T 1 T 1 kleiner oder gleich T 2 T 2 3 T 1 gt T 2 T 1 gt T 2 T 1 T 1 grosser T 2 T 2 4 T 1 T 2 T 1 geq T 2 T 1 T 1 grosser oder gleich T 2 T 2 5 T 1 T 2 T 1 neq T 2 T 1 T 1 ungleich T 2 T 2 Die Form 5 entsteht durch Negation einer Gleichung Sie wird daher in der Mathematik in der Regel nicht eigens thematisiert Ungleichungen sind Aussageformen Die auf den beiden Seiten einer Ungleichung vorkommenden funktionalen Terme beinhalten in der Regel Variablen welche stellvertretend fur Elemente aus dem Definitionsbereich der jeweiligen Terme stehen Werden diese Variablen durch feste Elemente der jeweiligen Definitionsbereiche ersetzt Einsetzen so entstehen Aussagen welche entweder wahr oder falsch sind Umformung von Ungleichungen BearbeitenAhnlich wie bei Gleichungen ist es auch bei Ungleichungen moglich diese in aquivalente Ungleichungen umzuformen Aquivalente Ungleichungen haben die gleichen Losungsmengen daher ist das Umformen von Ungleichungen wichtig zum Losen von Ungleichungen worauf der hierauf folgende Abschnitt eingehen wird 3 Im Folgenden werden wichtige Regeln zu aquivalenten Ungleichungen fur die Vergleichszeichen lt und gt und fur Terme im Korper der reellen Zahlen dargestellt Diese Aquivalenzumformungsregeln gelten analog auch fur die Vergleichszeichen und Zudem werden weitere Regeln zu nicht aquivalenten Umformungen von Ungleichungen angeboten die man oft in der Analysis etwa bei Konvergenzbeweisen mittels Epsilontik benotigt 4 Umkehrbarkeit Bearbeiten Ungleichungen konnen umgekehrt werden T 1 T 2 T 2 T 1 T 1 leq T 2 Leftrightarrow T 2 geq T 1 Monotoniegesetze im Zusammenhang mit den Grundrechenarten Bearbeiten Addition und Subtraktion Bearbeiten Invarianz der Kleiner Relation bei der Addition mit einer Zahl auf beiden Seiten der UngleichungFur beliebige reellwertige Terme T 1 T 1 T 2 T 2 T 3 T 3 und T 4 T 4 gilt Es ist T 1 lt T 2 T 1 lt T 2 genau dann wenn T 1 T 3 lt T 2 T 3 displaystyle T 1 T 3 lt T 2 T 3 Es ist T 1 lt T 2 T 1 lt T 2 genau dann wenn T 1 T 3 lt T 2 T 3 displaystyle T 1 T 3 lt T 2 T 3 Es durfen also auf beiden Seiten einer Ungleichung die gleichen Terme addiert oder subtrahiert werden ohne dass sich die Losungsmenge der Ungleichung andert Beispielsweise vereinfacht sich die Ungleichung 5 x lt 4 x 7 5x lt 4x 7 durch Subtraktion des Terms 4 x 4x auf beiden Seiten zu der aquivalenten Ungleichung x lt 7 x lt 7 Daruber hinaus gelten in Bezug auf die Addition auch noch weitere Regeln Aus T 1 lt T 2 T 1 lt T 2 und T 3 lt T 4 displaystyle T 3 lt T 4 folgt T 1 T 3 lt T 2 T 4 displaystyle T 1 T 3 lt T 2 T 4 Aus T 1 T 2 displaystyle T 1 leq T 2 und T 3 lt T 4 displaystyle T 3 lt T 4 folgt T 1 T 3 lt T 2 T 4 displaystyle T 1 T 3 lt T 2 T 4 Aus T 1 lt T 2 T 1 lt T 2 und T 3 T 4 displaystyle T 3 leq T 4 folgt T 1 T 3 lt T 2 T 4 displaystyle T 1 T 3 lt T 2 T 4 Aus T 1 T 2 displaystyle T 1 leq T 2 und T 3 T 4 displaystyle T 3 leq T 4 folgt T 1 T 3 T 2 T 4 displaystyle T 1 T 3 leq T 2 T 4 Multiplikation und Division Bearbeiten Regel a gt 0 x lt y a x lt a y displaystyle a gt 0 land x lt y Rightarrow ax lt ay Regel a lt 0 x lt y a x gt a y displaystyle a lt 0 land x lt y Rightarrow ax gt ay Fur beliebige Terme T 1 T 1 T 2 T 2 und T 3 T 3 gilt Aus T 1 lt T 2 T 1 lt T 2 folgt T 1 gt T 2 T 1 gt T 2 Aus 0 lt T 1 lt T 2 0 lt T 1 lt T 2 folgt 0 lt 1 T 2 lt 1 T 1 0 lt 1 T 2 lt 1 T 1 Aus T 3 gt 0 T 3 gt 0 und T 1 lt T 2 T 1 lt T 2 folgt T 1 T 3 lt T 2 T 3 T 1 T 3 lt T 2 T 3 und T 1 T 3 lt T 2 T 3 T 1 T 3 lt T 2 T 3 Aus T 3 lt 0 T 3 lt 0 und T 1 lt T 2 T 1 lt T 2 folgt T 1 T 3 gt T 2 T 3 T 1 T 3 gt T 2 T 3 und T 1 T 3 gt T 2 T 3 T 1 T 3 gt T 2 T 3 Hier gilt demnach folgende Merkregel Bei Punktrechnung mit einer reellen Zahl gt 0 bleiben die Vergleichszeichen erhalten wahrend sie sich bei Punktrechnung mit einer reellen Zahl lt 0 umkehren So sind zum Beispiel die Ungleichungen 3 x lt 12 3x lt 12 und x gt 4 x gt 4 aquivalent wie man mit Hilfe von Division durch 3 3 erkennt Daruber hinaus gelten in Bezug auf die Multiplikation innerhalb der Gruppe R gt 0 displaystyle mathbb R gt 0 cdot der positiven reellen Zahlen auch noch weitere Regeln Aus T 1 lt T 2 T 1 lt T 2 und T 3 lt T 4 displaystyle T 3 lt T 4 folgt T 1 T 3 lt T 2 T 4 displaystyle T 1 T 3 lt T 2 T 4 Aus T 1 T 2 displaystyle T 1 leq T 2 und T 3 lt T 4 displaystyle T 3 lt T 4 folgt T 1 T 3 lt T 2 T 4 displaystyle T 1 T 3 lt T 2 T 4 Aus T 1 lt T 2 T 1 lt T 2 und T 3 T 4 displaystyle T 3 leq T 4 folgt T 1 T 3 lt T 2 T 4 displaystyle T 1 T 3 lt T 2 T 4 Aus T 1 T 2 displaystyle T 1 leq T 2 und T 3 T 4 displaystyle T 3 leq T 4 folgt T 1 T 3 T 2 T 4 displaystyle T 1 T 3 leq T 2 T 4 Anwenden einer Funktion Bearbeiten Durch Anwenden einer streng monotonen Funktion auf beide Seiten einer Ungleichung erhalt man wieder eine Ungleichung mit derselben Losungsmenge wie die Ausgangs Ungleichung Ahnlich wie bei den Monotoniegesetzen allerdings muss auch hier unter Umstanden das Vergleichszeichen gedreht werden Wendet man namlich eine streng monoton wachsende Funktion auf beide Seiten an andert sich das Vergleichszeichen dadurch nicht wohl aber wenn man eine streng monoton fallende Funktion benutzt In diesem Fall muss das Vergleichszeichen lt lt dann durch das entsprechend umgekehrte Zeichen gt gt ersetzt werden analog das Vergleichszeichen leq durch das geq Zeichen und umgekehrt Beispiele Bearbeiten Der naturliche Logarithmus ln ln und die Wurzelfunktion sqrt sind streng monoton wachsende Funktionen und konnen daher ohne dass man dabei die Vergleichszeichen drehen musste zur Umformung von Ungleichungen verwendet werden Seien T 1 T 2 T 1 T 2 zwei Terme gilt dann dementsprechend zum Beispiel 0 lt T 1 lt T 2 ln T 1 lt ln T 2 T 1 lt T 2 0 lt T 1 lt T 2 Leftrightarrow ln T 1 lt ln T 2 Leftrightarrow sqrt T 1 lt sqrt T 2 Vorsicht dagegen ist geboten wenn es sich um Exponentialfunktionen handelt die je nach ihrer Basis a a streng monoton steigend aber auch fallend sein konnen 0 lt T 1 lt T 2 a T 1 lt a T 2 f u r a gt 1 a b e r a T 1 gt a T 2 f u r a lt 1 displaystyle 0 lt T 1 lt T 2 Leftrightarrow a T 1 lt a T 2 quad mathtt f ddot u r a gt 1 aber quad a T 1 gt a T 2 quad mathtt f ddot u r a lt 1 Gleiches gilt fur Logarithmen beliebiger Exponenten 0 lt T 1 lt T 2 log a T 1 lt log a T 2 f u r a gt 1 a b e r log a T 1 gt log a T 2 f u r a lt 1 displaystyle 0 lt T 1 lt T 2 Leftrightarrow log a T 1 lt log a T 2 quad mathtt f ddot u r a gt 1 aber quad log a T 1 gt log a T 2 quad mathtt f ddot u r a lt 1 Zum Beispiel 0 lt 0 8 n 0 05 a b e r n ln 0 05 ln 0 8 13 43 displaystyle 0 lt 0 8 n leq 0 05 quad mathtt aber quad n geq frac ln 0 05 ln 0 8 approx 13 43 Losen von Ungleichungen Bearbeiten Hauptartikel Losen von Ungleichungen Eine Frage beim Umgang mit Ungleichungen ist ahnlich wie bei der Losung von Gleichungen die Frage nach der Losungsmenge der Ungleichung Hier ist die Frage zu beantworten ob und wenn ja welche Elemente der Definitionsbereiche beim Einsetzen in die beiden Terme eine wahre oder falsche Aussage liefern Eine wichtige Technik zum Finden der Losungsmenge ist das Umformen der Ungleichung in eine einfachere Form Abschatzungen BearbeitenHaufig ist nicht die Bestimmung einer Losungsmenge einer Ungleichung von Interesse sondern es kann auch von Interesse sein einen Term zusammen mit seiner Definitionsmenge durch einen anderen Term mit der gleichen Definitionsmenge abzuschatzen Eine Ungleichung T 1 lt T 2 T 1 lt T 2 nennt man dann auch eine Abschatzung und sagt man habe T 1 T 1 nach oben durch T 2 T 2 und umgekehrt T 2 T 2 nach unten durch T 1 T 1 abgeschatzt Eine Abschatzung T 1 lt T 2 T 1 lt T 2 von T 1 T 1 nach oben wird vergrobert indem man T 2 T 2 vergrossert das heisst indem man T 2 T 2 durch eine Zahl T 3 gt T 2 displaystyle T 3 gt T 2 ersetzt nach dem Transitivitatsgesetz gilt dann auch die Abschatzung T 1 lt T 3 displaystyle T 1 lt T 3 Bei der Untersuchung von Grenzwerten kann man beispielsweise komplizierte Ausdrucke so vergrossern dass man leichter sehen kann dass der Grenzwert des Ausgangsterms unter einer Schranke bleibt 5 6 7 Bekannte Ungleichungen BearbeitenIn allen mathematischen Teilgebieten gibt es Satze zur Gultigkeit von Ungleichungen Das heisst gewisse mathematische Aussagen sichern unter bestimmten Umstanden die Richtigkeit einer vorgegebenen Ungleichung fur eine gewisse Definitionsmenge Im Folgenden werden einige wichtige Ungleichungen kurz erwahnt Dreiecksungleichung Bearbeiten Hauptartikel Dreiecksungleichung Nach der Dreiecksungleichung ist im Dreieck die Summe der Langen zweier Seiten a a und b b stets mindestens so gross wie die Lange der dritten Seite c c Das heisst formal c a b c leq a b Diese Ungleichung kann fur viele mathematische Objekte verallgemeinert werden Beispielsweise ist die Ungleichung a b a b a b leq a b fur die Betragsfunktion eine Verallgemeinerung der zuvor genannten Ungleichung und gilt fur alle reellen Zahlen Sie tragt ebenfalls den Namen Dreiecksungleichung Diese Ungleichung kann auch fur Betrag komplexer Zahlen oder fur Integrale verallgemeinert werden siehe Minkowski Ungleichung Cauchy Schwarz Ungleichung Bearbeiten Hauptartikel Cauchy Schwarzsche Ungleichung Sei V V Prahilbertraum also ein Vektorraum mit Skalarprodukt langle cdot cdot rangle und seien x x und y y Elemente aus V V dann gilt immer die Ungleichung x y 2 x x y y langle x y rangle 2 leq langle x x rangle cdot langle y y rangle Gleichheit gilt genau dann wenn x x und y y linear abhangig sind Vektorraume mit Skalarprodukt treten in vielen mathematischen Teilgebieten auf Daher ist die Cauchy Schwarz Ungleichung auch in vielen Teildisziplinen der Mathematik von Bedeutung beispielsweise wird sie in der linearen Algebra der Integrationstheorie und in der Wahrscheinlichkeitstheorie verwendet Erweiterung des Begriffes BearbeitenBis jetzt wurden in diesem Artikel nur Ungleichungen betrachtet deren Terme Werte in den reellen Zahlen annehmen Der Ungleichungsbegriff wird gelegentlich jedoch nicht einheitlich zum Beispiel auf komplexe Zahlen Vektoren oder Matrizen erweitert Um Ungleichungen fur diese Objekte betrachten zu konnen mussen zuerst die vier Vergleichszeichen lt gt und im Folgenden auch Relationen genannt fur diese Objekte definiert werden Komplexe Zahlen Bearbeiten Die Menge der komplexen Zahlen C mathbb C ist zusammen mit der ublichen Addition und Multiplikation ein Korper jedoch ist es nicht moglich eine Relation so zu wahlen dass C mathbb C times leq zu einem geordneten Korper wird Das heisst es ist nicht moglich dass eine Relation auf C mathbb C times leq sowohl das Trichotomie das Transitivitats und das Monotoniegesetz erfullt Jedoch wird manchmal eine Relation die durch x lt y Re x lt Re y Re x Re y Im x lt Im y displaystyle x lt y Leftrightarrow operatorname Re x lt operatorname Re y lor left operatorname Re x operatorname Re y land operatorname Im x lt operatorname Im y right definiert ist betrachtet Hierbei bezeichnen x y x y komplexe Zahlen und Re operatorname Re den Realteil beziehungsweise Im operatorname Im den Imaginarteil einer komplexen Zahl Diese Definition der Relation erfullt das Trichotomie und das Transitivitatsgesetz 8 Spaltenvektoren Bearbeiten Auch fur Spaltenvektoren ist es moglich Relationen zu definieren Seien x y R n x y in mathbb R n zwei Spaltenvektoren mit x x 1 x 2 x n T x x 1 x 2 ldots x n T und y y 1 y 2 y n T y y 1 y 2 ldots y n T wobei x i x i and y i y i reelle Zahlen sind Relationen auf R n mathbb R n kann man dann beispielsweise durch x lt y i 1 n x i lt y i x lt y Leftrightarrow i 1 ldots n x i lt y i und durch x y i 1 n x i y i x leq y Leftrightarrow i 1 ldots n x i leq y i definieren Analog kann man auch die Relationen und gt erklaren Hier ist es allerdings nicht moglich alle Elemente miteinander zu vergleichen Beispielsweise kann keines der vier Vergleichszeichen ein Verhaltnis zwischen den Elementen x 2 5 T x 2 5 T und y 3 4 T y 3 4 T beschreiben Weitere Beispiele Bearbeiten Ist A R n n A in mathbb R n times n so definiert man A gt 0 A gt 0 genau dann wenn A A positiv definit ist Sind A B R n n A B in mathbb R n times n so gilt A gt B A gt B genau dann wenn A B gt 0 A B gt 0 Ahnlich konnen auch lt lt oder leq geq semidefinit definiert werden Sei E E cdot ein reeller Banachraum und K E K subseteq E ein Kegel Sind x y E x y in E so gilt x y x leq y genau dann wenn y x K y x in K Siehe auch BearbeitenUngleichung von Guha Ungleichung von Hilbert Ungleichung von Mulholland Ungleichung von Popoviciu Wallissche UngleichungenLiteratur BearbeitenEdwin F Beckenbach Richard Bellman Inequalities Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete Band 30 4 Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg New York Tokyo 1983 ISBN 3 540 03283 5 Walter Gellert Herbert Kastner Siegfried Neuber Hrsg Fachlexikon ABC Mathematik Verlag Harri Deutsch Thun und Frankfurt Main 1978 ISBN 3 87144 336 0 G H Hardy J E Littlewood G Polya Inequalities Reprint of the 2 edition 1952 Cambridge University Press Cambridge 1964 Harro Heuser Lehrbuch der Analysis Teil 1 17 Auflage Vieweg Teubner Verlag Wiesbaden 2009 ISBN 978 3 8348 0777 9 MR2502662 D S Mitrinovic Analytic Inequalities In cooperation with P M Vasic Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berucksichtigung der Anwendungsgebiete Band 165 Springer Verlag Berlin u a 1970 ISBN 3 540 62903 3 MR0274686 Einzelnachweise und Fussnoten Bearbeiten Jurgen Tietze Terme Gleichungen Ungleichungen Rechenregeln begrunden Fehlerfallen vermeiden 2 uberarb Aufl 2015 Wiesbaden 2015 ISBN 978 3 658 06193 7 S 127 Ungleichung In Guido Walz Hrsg Lexikon der Mathematik 1 Auflage Spektrum Akademischer Verlag Mannheim Heidelberg 2000 ISBN 978 3 8274 0439 8 Rechnen mit Ungleichungen In Guido Walz Hrsg Lexikon der Mathematik 1 Auflage Spektrum Akademischer Verlag Mannheim Heidelberg 2000 ISBN 978 3 8274 0439 8 Viele dieser Regeln lassen sich auf das Rechnen mit Ungleichungen in angeordneten Gruppen ubertragen Steffen Goebbels Stefan Ritter Mathematik verstehen und anwenden von den Grundlagen bis zu Fourier Reihen und Laplace Transformation Springer Verlag 2018 ISBN 978 3 662 57394 5 S 68 google de abgerufen am 4 September 2022 Harro Heuser Lehrbuch der Analysis Teil 1 Mit 811 Aufgaben zum Teil mit Losungen 17 aktualisierte Auflage Wiesbaden 2009 ISBN 978 3 8348 0777 9 S 45 Wladyslaw Sojka Einfuhrung in die Analysis BoD Books on Demand 2001 ISBN 978 3 8311 2303 2 S 56 google de abgerufen am 4 September 2022 Tobias Hemmert Komplexe Zahlen Konstruktion aus den reellen Zahlen Darstellung und Anwendung in der Physik 1 Auflage 2010 ISBN 978 3 656 00717 3 Seite 7 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Ungleichung amp oldid 226563676