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Wallissche Ungleichungen In der Analysis einem der Teilgebiete der Mathematik bezeichnet man als wallissche Ungleichunge

Wallissche Ungleichungen

In der Analysis, einem der Teilgebiete der Mathematik, bezeichnet man als wallissche Ungleichungen (englisch Wallis’s inequalities) solche Ungleichungen, welche mit der nach dem Mathematiker John Wallis benannten Produktformel zusammenhängen. Diese Ungleichungen liefern Abschätzungen, die den Zusammenhang zwischen der Doppelfakultätenfunktion und der Kreiszahl beleuchten. Die wallisschen Ungleichungen wurden in einer Vielzahl von Arbeiten weiterführenden Untersuchungen unterworfen.

Darstellung der Ungleichungen Bearbeiten

Zwei der geläufigsten wallisschen Ungleichungen sind folgende:

Folgerungen Bearbeiten

Aus den obigen Ungleichungen lassen sich die folgenden Ungleichungen ableiten, die, wenn von einigen kleinen Indizes abgesehen wird, schwächer als die zuvorigen beiden sind:

Wie Robert Alexander Rankin in seiner Monographie An Introduction to Mathematical Analysis zeigt, gewinnt man die letztgenannten Ungleichungen auch auf direktem Wege mit einem Induktionsbeweis.

Verschärfungen Bearbeiten

Ein Mathematiker namens Donat K. Kazarinoff zeigte im Jahre 1956 eine Verschärfung der oberen Abschätzung, nämlich:

Im Jahre 2005 bewiesen die beiden Mathematiker Chen Chao-Ping und Qi Feng eine Verschärfung der unteren Abschätzung, nämlich:

Zusammenhang mit dem wallisschen Produkt Bearbeiten

Der oben angesprochene Zusammenhang zwischen der Doppelfakultätenfunktion und der Kreiszahl ergibt sich bei Berücksichtigung des folgenden Resultats, welches man in der Differential- und Integralrechnung II von G. M. Fichtenholz findet (und ebenfalls in der genannten Monographie von Rankin):

Literatur Bearbeiten

  • G. M. Fichtenholz: Differential- und Integralrechnung II. Übersetzung aus dem Russischen und wissenschaftliche Redaktion: Dipl.-Math. Brigitte Mai, Dipl.-Math. Walter Mai (= Hochschulbücher für Mathematik. Band 62). 6. Auflage. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1974.
  • Chen Chao-Ping, Qi Feng: Best upper and lower bounds in Wallis' inequality. In: Journal of the Indonesian Mathematical Society (MIHMI). Band 11, 2005, S. 137–141 (MR2168684).
  • D. K. Kazarinoff: On Wallis' formula. In: Edinburgh Mathematical Notes. 1956, no. 40, 1956, S. 19–21 (MR0082501).
  • D. S. Mitrinović: Analytic Inequalities. In cooperation with P. M. Vasić (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete. Band 165). Springer Verlag, Berlin (u. a.) 1970, ISBN 3-540-62903-3 (MR0274686).
  • Robert A. Rankin: An Introduction to Mathematical Analysis (= International Series of Monographs on Pure and Applied Mathematics. Band 165). Pergamon Press, Oxford, London, New York, Paris 1963.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. D. S. Mitrinović: Analytic Inequalities. 1970, S. 192–193, S. 287
  2. Vgl. Liste im MathSciNet@1@2Vorlage:Toter Link/ams.math.uni-bielefeld.de (Seite nicht mehr abrufbar, festgestellt im Mai 2019. Suche in Webarchiven)  Info: Der Link wurde automatisch als defekt markiert. Bitte prüfe den Link gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis.!
  3. ↑ Mitrinović, op. cit., S. 192
  4. Robert A. Rankin: An Introduction to Mathematical Analysis. 1963, S. 13
  5. G. M. Fichtenholz: Differential- und Integralrechnung II. 1974, S. 149–150
  6. Rankin, op. cit., S. 380
  7. Wie Fichtenholz ausführt, ist nämlich die Differenz der beiden äußeren Ausdrücke   .
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Veröffentlichungsdatum:
In der Analysis einem der Teilgebiete der Mathematik bezeichnet man als wallissche Ungleichungen englisch Wallis s inequalities solche Ungleichungen welche mit der nach dem Mathematiker John Wallis benannten Produktformel zusammenhangen Diese Ungleichungen liefern Abschatzungen die den Zusammenhang zwischen der Doppelfakultatenfunktion und der Kreiszahl p displaystyle pi beleuchten Die wallisschen Ungleichungen wurden in einer Vielzahl von Arbeiten weiterfuhrenden Untersuchungen unterworfen 1 2 Inhaltsverzeichnis 1 Darstellung der Ungleichungen 1 1 Folgerungen 2 Verscharfungen 3 Zusammenhang mit dem wallisschen Produkt 4 Literatur 5 EinzelnachweiseDarstellung der Ungleichungen BearbeitenZwei der gelaufigsten wallisschen Ungleichungen sind folgende 3 Fur jede naturliche Zahl n gt 0 displaystyle n gt 0 nbsp gelten die Abschatzungen 1 p n 1 2 lt 2 n 1 2 n 2 n 1 2 n 3 3 1 2 n 2 n 2 4 2 lt 1 p n displaystyle frac 1 sqrt pi cdot n frac 1 2 lt frac 2n 1 2n frac 2n 1 cdot 2n 3 cdot mathrm cdots mathrm cdot 3 cdot 1 2n cdot 2n 2 cdot mathrm cdots mathrm cdot 4 cdot 2 lt frac 1 sqrt pi cdot n nbsp Folgerungen Bearbeiten Aus den obigen Ungleichungen lassen sich die folgenden Ungleichungen ableiten die wenn von einigen kleinen Indizes abgesehen wird schwacher als die zuvorigen beiden sind 3 Fur jede naturliche Zahl n gt 0 displaystyle n gt 0 nbsp hat man 5 4 4 n 1 lt 2 n 1 2 n lt 3 4 2 n 1 displaystyle sqrt frac frac 5 4 4n 1 lt frac 2n 1 2n lt sqrt frac frac 3 4 2n 1 nbsp Wie Robert Alexander Rankin in seiner Monographie An Introduction to Mathematical Analysis zeigt gewinnt man die letztgenannten Ungleichungen auch auf direktem Wege mit einem Induktionsbeweis 4 Verscharfungen BearbeitenEin Mathematiker namens Donat K Kazarinoff zeigte im Jahre 1956 eine Verscharfung der oberen Abschatzung namlich 3 Fur jede naturliche Zahl n gt 0 displaystyle n gt 0 nbsp gilt 2 n 1 2 n lt 1 p n 1 4 displaystyle frac 2n 1 2n lt frac 1 sqrt pi cdot n frac 1 4 nbsp Im Jahre 2005 bewiesen die beiden Mathematiker Chen Chao Ping und Qi Feng eine Verscharfung der unteren Abschatzung namlich Fur jede naturliche Zahl n gt 0 displaystyle n gt 0 nbsp gilt 1 p n 4 p 1 2 n 1 2 n displaystyle frac 1 sqrt pi cdot n frac 4 pi 1 leq frac 2n 1 2n nbsp Zusammenhang mit dem wallisschen Produkt BearbeitenDer oben angesprochene Zusammenhang zwischen der Doppelfakultatenfunktion und der Kreiszahl ergibt sich bei Berucksichtigung des folgenden Resultats welches man in der Differential und Integralrechnung II von G M Fichtenholz findet und ebenfalls in der genannten Monographie von Rankin 5 6 Fur jede naturliche Zahl n gt 0 displaystyle n gt 0 nbsp ist 2 n 2 n 1 2 1 2 n 1 lt p 2 lt 2 n 2 n 1 2 1 2 n displaystyle Biggl frac 2n 2n 1 Biggr 2 cdot frac 1 2n 1 lt frac pi 2 lt Biggl frac 2n 2n 1 Biggr 2 cdot frac 1 2n nbsp und folglich 7 p 2 lim n 2 n 2 n 1 2 1 2 n lim n 2 n 2 n 1 2 1 2 n 1 lim n 2 2 4 2 2 n 2 2 2 n 2 1 1 3 3 5 2 n 3 2 n 1 2 n 1 2 n 1 displaystyle begin aligned frac pi 2 amp lim n 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mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berucksichtigung der Anwendungsgebiete Band 165 Springer Verlag Berlin u a 1970 ISBN 3 540 62903 3 MR0274686 Robert A Rankin An Introduction to Mathematical Analysis International Series of Monographs on Pure and Applied Mathematics Band 165 Pergamon Press Oxford London New York Paris 1963 Einzelnachweise Bearbeiten D S Mitrinovic Analytic Inequalities 1970 S 192 193 S 287 Vgl Liste im MathSciNet 1 2 Vorlage Toter Link ams math uni bielefeld de Seite nicht mehr abrufbar festgestellt im Mai 2019 Suche in Webarchiven nbsp Info Der Link wurde automatisch als defekt markiert Bitte prufe den Link gemass Anleitung und entferne dann diesen Hinweis a b c Mitrinovic op cit S 192 Robert A Rankin An Introduction to Mathematical Analysis 1963 S 13 G M Fichtenholz Differential und Integralrechnung II 1974 S 149 150 Rankin op cit S 380 Wie Fichtenholz ausfuhrt ist namlich die Differenz der beiden ausseren Ausdrucke lt p 4 n 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