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Ungleichung von Guha Die englisch Guha s inequality ist eine von mehreren elementaren Ungleichungen im Umfeld der AGM Un

Ungleichung von Guha

Die Ungleichung von Guha (englisch Guha’s inequality) ist eine von mehreren elementaren Ungleichungen im Umfeld der AGM-Ungleichung und lässt sich als solche dem mathematischen Gebiet der Analysis zurechnen. Sie geht auf eine wissenschaftliche Publikation von U. C. Guha aus dem Jahre 1967 zurück.

Darstellung der Ungleichung Bearbeiten

Die Ungleichung lautet folgendermaßen:

Anmerkungen Bearbeiten

  • Die Bedeutung der Ungleichung liegt darin, dass sie, wie Guha 1967 zeigte, eine einfache und zugleich geschickte Herleitung der AGM-Ungleichung für beliebig (jedoch endlich) viele nichtnegative Zahlen ermöglicht.
  • Der Beweis der Ungleichung lässt sich rein algebraisch führen. Mittels algebraischer Umformungen kann man ihre Gleichwertigkeit mit der Ungleichung nachweisen, welche aufgrund der getroffenen Voraussetzungen offenbar gültig ist. Sie lässt sich ebenfalls auf geometrisch-anschauliche Weise zeigen.
  • Es gilt das Gleichheitszeichen genau im Falle .

Literatur Bearbeiten

  • Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: When Less is More : Visualizing Basic Inequalities (= The Dolciani Mathematical Expositions. Band 36). The Mathematical Association of America, Washington, DC 2009, ISBN 978-0-88385-342-9 (MR2498836).
  • P. S. Bullen, D. S. Mitrinović, Petar M. Vasić (Hrsg.): Means and Their Inequalities (= Mathematics and Its Applications (East European Series). Band 31.). D. Reidel Publishing Company, Dordrecht 1988, ISBN 90-277-2629-9 (MR0947142 – Translated and revised from the Serbo-Croatian).
  • U. C. Guha: Arithmetic mean – geometric mean inequality. In: Mathematical Gazette. Band 51, 1967, S. 145–146.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. ↑ Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: When Less is More : Visualizing Basic Inequalities. 2009, S. 29
  2. ↑ P. S. Bullen, D. S. Mitrinović, Petar M. Vasić: Means and Their Inequalities. 1988, S. 77
  3. Alsina / Nelsen, op. cit., S. 29–30
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Veröffentlichungsdatum:
Die Ungleichung von Guha englisch Guha s inequality ist eine von mehreren elementaren Ungleichungen im Umfeld der AGM Ungleichung und lasst sich als solche dem mathematischen Gebiet der Analysis zurechnen Sie geht auf eine wissenschaftliche Publikation von U C Guha aus dem Jahre 1967 zuruck 1 2 Inhaltsverzeichnis 1 Darstellung der Ungleichung 2 Anmerkungen 3 Literatur 4 EinzelnachweiseDarstellung der Ungleichung BearbeitenDie Ungleichung lautet folgendermassen 1 2 Gegeben seien reelle Zahlen a p q x y displaystyle a p q x y nbsp und fur diese gelte a 0 displaystyle a geq 0 nbsp sowie p q gt 0 displaystyle p geq q gt 0 nbsp und x y gt 0 displaystyle x geq y gt 0 nbsp Dann ist p x y a x q y a p 1 x a q 1 y a displaystyle bigl px y a bigr cdot bigl x qy a bigr geq bigl p 1 x a bigr cdot bigl q 1 y a bigr nbsp dd Anmerkungen BearbeitenDie Bedeutung der Ungleichung liegt darin dass sie wie Guha 1967 zeigte eine einfache und zugleich geschickte Herleitung der AGM Ungleichung fur beliebig jedoch endlich viele nichtnegative Zahlen ermoglicht 3 2 Der Beweis der Ungleichung lasst sich rein algebraisch fuhren Mittels algebraischer Umformungen kann man ihre Gleichwertigkeit mit der Ungleichung p x q y x y 0 displaystyle left px qy right cdot left x y right geq 0 nbsp nachweisen welche aufgrund der getroffenen Voraussetzungen offenbar gultig ist Sie lasst sich ebenfalls auf geometrisch anschauliche Weise zeigen 1 Es gilt das Gleichheitszeichen genau im Falle x y displaystyle x y nbsp 1 Literatur BearbeitenClaudi Alsina Roger B Nelsen When Less is More Visualizing Basic Inequalities The Dolciani Mathematical Expositions Band 36 The Mathematical Association of America Washington DC 2009 ISBN 978 0 88385 342 9 MR2498836 P S Bullen D S Mitrinovic Petar M Vasic Hrsg Means and Their Inequalities Mathematics and Its Applications East European Series Band 31 D Reidel Publishing Company Dordrecht 1988 ISBN 90 277 2629 9 MR0947142 Translated and revised from the Serbo Croatian U C Guha Arithmetic mean geometric mean inequality In Mathematical Gazette Band 51 1967 S 145 146 Einzelnachweise Bearbeiten a b c d Claudi Alsina Roger B Nelsen When Less is More Visualizing Basic Inequalities 2009 S 29 a b c P S Bullen D S Mitrinovic Petar M Vasic Means and Their Inequalities 1988 S 77 Alsina Nelsen op cit S 29 30 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Ungleichung von Guha amp oldid 183831539