Laplace Formel Die ist eine mathematische Formel aus der elementaren Wahrscheinlichkeitsrechnung Hat ein Zufallsexperime

Laplace-Formel

Die Laplace-Formel ist eine mathematische Formel aus der elementaren Wahrscheinlichkeitsrechnung. Hat ein Zufallsexperiment nur endlich viele Elementarereignisse und haben diese alle die gleiche Wahrscheinlichkeit, so gilt für die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses :

Pierre-Simon Laplace (Gemälde aus dem 19. Jahrhundert)

oder formeller

wenn und die Anzahl der Elemente des Ereignisses bzw. der Ergebnismenge bezeichnen.

Benannt ist die Formel nach dem französischen Mathematiker und Astronomen Pierre Simon Laplace (1749–1827).

Beispiele und Gegenbeispiele Bearbeiten

Rouletterad

Urnenmodell

Spielwürfel

Roulette Bearbeiten

Beim Roulette wird eine der 37 Zahlen 0 bis 36 ausgespielt. Hierbei soll aufgrund der Beschaffenheit des Roulette-Tellers und der Vorgehensweise bei den Ausspielungen gewährleistet sein, dass die Roulette-Kugel mit derselben Wahrscheinlichkeit auf jeder der 37 Zahlen liegen bleibt. Unter diesen Voraussetzungen wird jede der 37 Zahlen mit der Wahrscheinlichkeit ausgespielt.

Ziehen aus einer Urne Bearbeiten

Beim einfachen zufälligen Ziehen aus einer Urne mit gleichartigen nicht unterscheidbaren Kugeln wird jede Kugel mit der Wahrscheinlichkeit gezogen.

Doppelwurf eines Spielwürfels Bearbeiten

Beim zweimaligen Werfen eines Spielwürfels gibt es 36 mögliche Ergebnisse für die Augenzahlkombinationen

Gleichwahrscheinliche Ereignisse Bearbeiten

Ist der Spielwürfel ein Laplace-Würfel, so beträgt bei vier Ergebnissen die Augensumme 9, nämlich bei (6, 3), (5, 4), (4, 5), (3, 6), wobei alle Würfe mit der Augenzahl 9 gleich wahrscheinlich sind. Deshalb ist

die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses , die Augensumme 9 zu erhalten.

Nicht gleichwahrscheinliche Ereignisse Bearbeiten

Auch wenn es sich bei dem Spielwürfel um einen Laplace-Würfel handelt, sind die elf Ereignisse des Auftretens der Augensummen 2 bis 12 nicht gleich wahrscheinlich. Darüber hinaus ist es bei diesem Experiment unmöglich, gleichwahrscheinliche Augensummen durch Würfelmanipulation zu erreichen.

Dies lässt sich mittels eines Widerspruchsbeweises zeigen.

Es sei die Wahrscheinlichkeit, dass mit dem ersten Würfel die Augenzahl und die Wahrscheinlichkeit, dass mit dem zweiten Würfel die Augenzahl geworfen wird. Dann ist die Wahrscheinlichkeit für die Augensumme 2 und die Wahrscheinlichkeit für die Augensumme 12.

Wären alle elf Wahrscheinlichkeiten der Augensummen 2 bis 12 identisch, so müsste jede dieser Wahrscheinlichkeiten betragen.

Für die Wahrscheinlichkeit der Augensumme 7 würde dann gelten:

Wegen für alle reellen Zahlen ergibt sich ein Widerspruch zu (*).

Damit ist bewiesen, dass die Augensummen 2 bis 12 niemals gleich wahrscheinlich sein können.

Geschlecht eines neugeborenen Kindes Bearbeiten

Statistisch ist nachgewiesen, dass Knaben- und Mädchengeburten nur annähernd gleich wahrscheinlich sind, wenn auch in vielen stochastischen Aufgabenstellungen Gleichwahrscheinlichkeit angenommen wird.

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

Ulrich Krengel: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. Für Studium, Berufspraxis und Lehramt. 8. Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2005, ISBN 3-8348-0063-5.

Einzelnachweise Bearbeiten

Ross Honsberger: Gitter - Reste - Würfel Friedrich Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig 1984, ISBN 978-3-528-08476-9, S. 130 und 131
Karl Bosch: Statistik für Nichtstatistiker - Zufall und Wahrscheinlichkeit R. Oldenbourg Verlag München Wien 2007, ISBN 978-3-486-58219-2, S. 16–21

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Veröffentlichungsdatum: Dezember 01, 2023, 06:10 am

Die Laplace Formel ist eine mathematische Formel aus der elementaren Wahrscheinlichkeitsrechnung Hat ein Zufallsexperiment nur endlich viele Elementarereignisse und haben diese alle die gleiche Wahrscheinlichkeit so gilt fur die Wahrscheinlichkeit P A displaystyle P A eines Ereignisses A displaystyle A Pierre Simon Laplace Gemalde aus dem 19 Jahrhundert P A Anzahl der Ergebnisse bei denen das Ereignis A eintritt A n z a h l a l l e r m o g l i c h e n E r g e b n i s s e displaystyle P A frac text Anzahl der Ergebnisse bei denen das Ereignis A text eintritt mathrm Anzahl aller m ddot o glichen Ergebnisse oder formeller P A A W displaystyle P A frac left A right left Omega right wenn A displaystyle A und W displaystyle Omega die Anzahl der Elemente des Ereignisses A displaystyle A bzw der Ergebnismenge W displaystyle Omega bezeichnen Benannt ist die Formel nach dem franzosischen Mathematiker und Astronomen Pierre Simon Laplace 1749 1827 Inhaltsverzeichnis 1 Beispiele und Gegenbeispiele 1 1 Roulette 1 2 Ziehen aus einer Urne 1 3 Doppelwurf eines Spielwurfels 1 3 1 Gleichwahrscheinliche Ereignisse 1 3 2 Nicht gleichwahrscheinliche Ereignisse 1 4 Geschlecht eines neugeborenen Kindes 2 Siehe auch 3 Literatur 4 EinzelnachweiseBeispiele und Gegenbeispiele Bearbeiten nbsp Rouletterad nbsp Urnenmodell nbsp SpielwurfelRoulette Bearbeiten Beim Roulette wird eine der 37 Zahlen 0 bis 36 ausgespielt Hierbei soll aufgrund der Beschaffenheit des Roulette Tellers und der Vorgehensweise bei den Ausspielungen gewahrleistet sein dass die Roulette Kugel mit derselben Wahrscheinlichkeit auf jeder der 37 Zahlen liegen bleibt Unter diesen Voraussetzungen wird jede der 37 Zahlen mit der Wahrscheinlichkeit p 1 37 displaystyle p tfrac 1 37 nbsp ausgespielt Ziehen aus einer Urne Bearbeiten Beim einfachen zufalligen Ziehen aus einer Urne mit n displaystyle n nbsp gleichartigen nicht unterscheidbaren Kugeln wird jede Kugel mit der Wahrscheinlichkeit p 1 n displaystyle p tfrac 1 n nbsp gezogen Doppelwurf eines Spielwurfels Bearbeiten Beim zweimaligen Werfen eines Spielwurfels gibt es 36 mogliche Ergebnisse fur die Augenzahlkombinationen W i j i j 1 6 displaystyle Omega i j mid i j 1 dotsc 6 nbsp Gleichwahrscheinliche Ereignisse Bearbeiten Ist der Spielwurfel ein Laplace Wurfel so betragt bei vier Ergebnissen die Augensumme 9 namlich bei 6 3 5 4 4 5 3 6 wobei alle Wurfe mit der Augenzahl 9 gleich wahrscheinlich sind Deshalb ist P A 4 36 1 9 displaystyle P A frac 4 36 frac 1 9 nbsp die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A displaystyle A nbsp die Augensumme 9 zu erhalten Nicht gleichwahrscheinliche Ereignisse BearbeitenAuch wenn es sich bei dem Spielwurfel um einen Laplace Wurfel handelt sind die elf Ereignisse des Auftretens der Augensummen 2 bis 12 nicht gleich wahrscheinlich Daruber hinaus ist es bei diesem Experiment unmoglich gleichwahrscheinliche Augensummen durch Wurfelmanipulation zu erreichen 1 Dies lasst sich mittels eines Widerspruchsbeweises zeigen wbr Es sei p i 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Bearbeiten Ross Honsberger Gitter Reste Wurfel Friedrich Vieweg amp Sohn Verlagsgesellschaft mbH Braunschweig 1984 ISBN 978 3 528 08476 9 S 130 und 131 Karl Bosch Statistik fur Nichtstatistiker Zufall und Wahrscheinlichkeit R Oldenbourg Verlag Munchen Wien 2007 ISBN 978 3 486 58219 2 S 16 21 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Laplace Formel amp oldid 238030025