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De Méré Paradoxon Das De Méré Paradoxon ist ein mathematisches Paradoxon der Wahrscheinlichkeitsrechnung aus dem 17 Jahr

De-Méré-Paradoxon

Das De Méré-Paradoxon ist ein mathematisches Paradoxon der Wahrscheinlichkeitsrechnung aus dem 17. Jahrhundert, welches nach Chevalier de Méré benannt wurde.

Geschichte des Paradoxons von de Méré Bearbeiten

Als der damals bekannte französische Glücksspieler Chevalier de Méré den seinerzeit sehr geschätzten Wissenschaftler und Mathematiker Blaise Pascal traf, stellte er ihm eine Frage bezüglich des Glücksspiels. Als ihm Pascal seine Antwort präsentierte, war dieser nicht sonderlich überrascht, weil er bereits die Antwort kannte. Pascal hat zwar das Problem gelöst, aber den scheinbaren Widerspruch nicht.

Das Paradoxon Bearbeiten

Wirft man einmal einen sechsseitigen Spielwürfel (der, wenn er perfekt ist, ein Laplace-Würfel ist), ist die Wahrscheinlichkeit dafür, eine 6 zu würfeln, ein Sechstel.

Wirft man einmal zwei solche Laplace-Würfel, so ist die Wahrscheinlichkeit dafür, eine Doppelsechs zu würfeln, im Vergleich zur vorher genannten Wahrscheinlichkeit sechsmal geringer, sie beträgt nämlich 1/36.

Wirft man den einen Laplace-Würfel 4-mal, so liegt die Wahrscheinlichkeit dafür, mindestens eine 6 zu würfeln, knapp über 50 %.

Wirft man die zwei Laplace-Würfel 24-mal, so liegt die Wahrscheinlichkeit dafür, mindestens einmal eine Doppelsechs zu würfeln, aber knapp unter 50 %.

Das Paradoxon ist, dass die Erfolgswahrscheinlichkeit pro Wurf beim letzten Experiment genau ein Sechstel der Erfolgswahrscheinlichkeit pro Wurf beim vorletzten Experiment ist, die Anzahl der Würfe aber sechsmal so groß. Bei oberflächlicher Betrachtung könnte man daher annehmen, dass sich dies kompensiert und die Erfolgswahrscheinlichkeiten bei den beiden letzten Experimenten gleich sind.

Bei genauerer Betrachtung ist dies jedoch nicht der Fall.

Erklärung des Paradoxons Bearbeiten

Beim Versuch mit den 4 Würfen ist

Beim Versuch mit den 24 Würfen ist

Dies überraschte und befriedigte de Méré nicht, weil er dieses Ergebnis schon kannte.

Er wollte den Widerspruch gelöst haben, warum sich die Ergebnisse nicht proportional wie verhielten.

In dem 1718 erschienenen Buch „Doctrine of Chances“ wies Abraham de Moivre darauf hin, dass die „Proportionalitätsregel der kritischen Werte nicht weit von der Wahrheit entfernt ist“.

Mit „kritischem Wert“ ist die Mindestzahl an Würfen gemeint, die nötig ist, damit die Versuchs-Erfolgswahrscheinlichkeit über 50 % liegt.

Der kritische Wert ist die kleinste natürliche Zahl, für die gilt , gleichbedeutend mit

.

Hierbei wurde die Logarithmus-Potenzreihenentwicklung verwendet.

Mittels Landau-Symbolik lässt sich der letzte Term schreiben als .

Es zeigt sich also, dass kein proportionaler Zusammenhang besteht, sondern unter anderem noch ein quadratischer Term relevant ist. Die Näherung verbessert sich immer weiter, je mehr Terme berücksichtigt werden. Die Proportionalität ist als erste Näherung brauchbar, bringt jedoch keine exakten Ergebnisse.

Erweiterung auf mehr als zwei Würfe Bearbeiten

Weitere analoge Experimente mit einer beliebigen Würfelanzahl k führen auf die folgende allgemeinere Fragestellung:

Wie wahrscheinlich ist es, bei Würfen mit k idealen Würfeln mindestens eine k-fach-Sechs zu werfen?

Mit Hilfe der Binomialverteilung erhält man als Lösung den nachfolgenden Term.

Dieser liefert für die Spezialfälle k = 1 und k = 2 jeweils die Wahrscheinlichkeit zu den beiden Experimenten von Chevalier de Méré, nämlich ca. 51,77 % bei dem 4fachen Wurf und ca. 49,14 % bei dem 24fachen Wurf. Nach der Substitution zeigt der Grenzwert

deutlich, dass auch jede beliebige Erhöhung der Wurfanzahl und die damit einhergehende proportionale Erhöhung der Würfelanzahl den von Chevalier de Méré entdeckten scheinbaren Widerspruch nicht lösen kann.

Literatur Bearbeiten

  • Andreas Büchter, Hans-Wolfgang Henn: Elementare Stochastik: Eine Einführung in die Mathematik der Daten und des Zufalls. Springer, Berlin Heidelberg 2005, ISBN 3-540-22250-2, S. 221–223.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Wolfgang Göbels: Das Problem des Chevalier de Méré. Deutscher Verein zur Förderung des mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterrichts 66/1 (15.1.2013) S. 12–13, ISSN 0025-5866, © Verlag Klaus Seeberger, Neuss.
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Veröffentlichungsdatum:
Das De Mere Paradoxon ist ein mathematisches Paradoxon der Wahrscheinlichkeitsrechnung aus dem 17 Jahrhundert welches nach Chevalier de Mere benannt wurde Inhaltsverzeichnis 1 Geschichte des Paradoxons von de Mere 2 Das Paradoxon 3 Erklarung des Paradoxons 4 Erweiterung auf mehr als zwei Wurfe 5 Literatur 6 EinzelnachweiseGeschichte des Paradoxons von de Mere BearbeitenAls der damals bekannte franzosische Glucksspieler Chevalier de Mere den seinerzeit sehr geschatzten Wissenschaftler und Mathematiker Blaise Pascal traf stellte er ihm eine Frage bezuglich des Glucksspiels Als ihm Pascal seine Antwort prasentierte war dieser nicht sonderlich uberrascht weil er bereits die Antwort kannte Pascal hat zwar das Problem gelost aber den scheinbaren Widerspruch nicht Das Paradoxon BearbeitenWirft man einmal einen sechsseitigen Spielwurfel der wenn er perfekt ist ein Laplace Wurfel ist ist die Wahrscheinlichkeit dafur eine 6 zu wurfeln ein Sechstel Wirft man einmal zwei solche Laplace Wurfel so ist die Wahrscheinlichkeit dafur eine Doppelsechs zu wurfeln im Vergleich zur vorher genannten Wahrscheinlichkeit sechsmal geringer sie betragt namlich 1 36 Wirft man den einen Laplace Wurfel 4 mal so liegt die Wahrscheinlichkeit dafur mindestens eine 6 zu wurfeln knapp uber 50 Wirft man die zwei Laplace Wurfel 24 mal so liegt die Wahrscheinlichkeit dafur mindestens einmal eine Doppelsechs zu wurfeln aber knapp unter 50 Das Paradoxon ist dass die Erfolgswahrscheinlichkeit pro Wurf beim letzten Experiment genau ein Sechstel der Erfolgswahrscheinlichkeit pro Wurf beim vorletzten Experiment ist die Anzahl der Wurfe aber sechsmal so gross Bei oberflachlicher Betrachtung konnte man daher annehmen dass sich dies kompensiert und die Erfolgswahrscheinlichkeiten bei den beiden letzten Experimenten gleich sind Bei genauerer Betrachtung ist dies jedoch nicht der Fall Erklarung des Paradoxons BearbeitenBeim Versuch mit den 4 Wurfen ist P mind eine Sechs 1 P keine Sechs 1 5 6 4 0 517 7 52 displaystyle P text mind eine Sechs 1 P text keine Sechs 1 left frac 5 6 right 4 approx 0 5177 approx 52 nbsp Beim Versuch mit den 24 Wurfen ist P mind eine Doppelsechs 1 P keine Doppelsechs 1 35 36 24 0 491 4 49 displaystyle P text mind eine Doppelsechs 1 P text keine Doppelsechs 1 left frac 35 36 right 24 approx 0 4914 approx 49 nbsp Dies uberraschte und befriedigte de Mere nicht weil er dieses Ergebnis schon kannte Er wollte den Widerspruch gelost haben warum sich die Ergebnisse nicht proportional wie 4 6 24 36 displaystyle 4 6 24 36 nbsp verhielten In dem 1718 erschienenen Buch Doctrine of Chances wies Abraham de Moivre darauf hin dass die Proportionalitatsregel der kritischen Werte nicht weit von der Wahrheit entfernt ist Mit kritischem Wert ist die Mindestzahl n displaystyle n nbsp an Wurfen gemeint die notig ist damit die Versuchs Erfolgswahrscheinlichkeit uber 50 liegt Der kritische Wert n displaystyle n nbsp ist die kleinste naturliche Zahl fur die gilt 1 1 p n gt 1 2 displaystyle 1 1 p n gt frac 1 2 nbsp gleichbedeutend mitn gt ln 1 2 ln 1 p ln 1 2 p 1 2 p 2 1 3 p 3 ln 2 p 1 2 p 2 1 3 p 3 displaystyle n gt frac ln frac 1 2 ln 1 p frac ln frac 1 2 p frac 1 2 p 2 frac 1 3 p 3 ldots frac ln 2 p frac 1 2 p 2 frac 1 3 p 3 ldots nbsp Hierbei wurde die Logarithmus Potenzreihenentwicklung verwendet Mittels Landau Symbolik lasst sich der letzte Term schreiben als ln 2 p 1 2 p 2 O p 3 displaystyle frac ln 2 p frac 1 2 p 2 mathcal O p 3 nbsp Es zeigt sich also dass kein proportionaler Zusammenhang besteht sondern unter anderem noch ein quadratischer Term relevant ist Die Naherung verbessert sich immer weiter je mehr Terme berucksichtigt werden Die Proportionalitat ist als erste Naherung brauchbar bringt jedoch keine exakten Ergebnisse Erweiterung auf mehr als zwei Wurfe BearbeitenWeitere analoge Experimente mit einer beliebigen Wurfelanzahl k fuhren auf die folgende allgemeinere Fragestellung Wie wahrscheinlich ist es bei 4 6 k 1 displaystyle 4 cdot 6 k 1 nbsp Wurfen mit k idealen Wurfeln mindestens eine k fach Sechs zu werfen Mit Hilfe der Binomialverteilung erhalt man als Losung den nachfolgenden Term 1 4 6 k 1 0 1 6 k 0 1 1 6 k 4 6 k 1 1 1 1 6 k 2 3 6 k displaystyle 1 binom 4 cdot 6 k 1 0 cdot left frac 1 6 k right 0 cdot left 1 frac 1 6 k right 4 cdot 6 k 1 1 left 1 frac 1 6 k right frac 2 3 cdot 6 k nbsp Dieser liefert fur die Spezialfalle k 1 und k 2 jeweils die Wahrscheinlichkeit zu den beiden Experimenten von Chevalier de Mere namlich ca 51 77 bei dem 4fachen Wurf und ca 49 14 bei dem 24fachen Wurf Nach der Substitution n 6 k displaystyle n 6 k nbsp zeigt der Grenzwertlim n 1 1 1 n 2 3 n 1 e 2 3 48 66 displaystyle mathop lim limits n to infty 1 left 1 frac 1 n right frac 2 3 cdot n 1 rm e frac 2 3 approx 48 66 nbsp deutlich dass auch jede beliebige Erhohung der Wurfanzahl und die damit einhergehende proportionale Erhohung der Wurfelanzahl den von Chevalier de Mere entdeckten scheinbaren Widerspruch nicht losen kann 1 Literatur BearbeitenAndreas Buchter Hans Wolfgang Henn Elementare Stochastik Eine Einfuhrung in die Mathematik der Daten und des Zufalls Springer Berlin Heidelberg 2005 ISBN 3 540 22250 2 S 221 223 Einzelnachweise Bearbeiten Wolfgang Gobels Das Problem des Chevalier de Mere Deutscher Verein zur Forderung des mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterrichts 66 1 15 1 2013 S 12 13 ISSN 0025 5866 c Verlag Klaus Seeberger Neuss Abgerufen von https de wikipedia org w index php title De Mere Paradoxon amp oldid 211730653