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Bildmaß Ein ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Maßtheorie und dient dazu das Maß in einem Maßraum Ω Σ

Bildmaß

Ein Bildmaß ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Maßtheorie und dient dazu, das Maß in einem Maßraum auf einen anderen Raum zu übertragen. Hierbei werden mithilfe einer messbaren Funktion den Mengen in Werte zugeordnet. Das so auf definierte Maß ist das Bildmaß.

Eine wichtige Rolle spielt das Bildmaß insbesondere bei der Definition der Verteilung einer Zufallsvariablen.

Für das Bildmaß existieren verschiedene Notationen, meistens wird das Symbol oder verwendet: , , , , oder .

Definition Bearbeiten

Es sei ein Maßraum und

eine -messbare Funktion in einen Messraum . Dann ist die Abbildung

definiert durch

ein Maß auf , genannt das Bildmaß von bezüglich . Dabei bezeichnet das Urbild von .

Transformationssatz Bearbeiten

Für eine messbare Funktion (wobei die (affin) erweiterten reellen Zahlen bezeichnet) gilt der folgende Transformationssatz für messbare Mengen :

wenn mindestens eines der beiden obigen Integrale definiert ist.

Quellen Bearbeiten

  1. Robert B. Ash: Real Analysis and Probability. Academic Press, New York 1972. ISBN 0-12-065201-3. Theorem 1.6.12.
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Ein Bildmass ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Masstheorie und dient dazu das Mass in einem Massraum W S m displaystyle Omega Sigma mu auf einen anderen Raum W S displaystyle Omega Sigma zu ubertragen Hierbei werden mithilfe einer messbaren Funktion g W W displaystyle g colon Omega to Omega den Mengen in S displaystyle Sigma Werte zugeordnet Das so auf W displaystyle Omega definierte Mass ist das Bildmass Eine wichtige Rolle spielt das Bildmass insbesondere bei der Definition der Verteilung einer Zufallsvariablen Fur das Bildmass existieren verschiedene Notationen meistens wird das Symbol displaystyle oder displaystyle verwendet g m displaystyle g mu m g 1 displaystyle mu circ g 1 g m displaystyle g mu g m displaystyle g sharp mu oder g m displaystyle g mu Definition BearbeitenEs sei W S m displaystyle Omega Sigma mu nbsp ein Massraum und g W W displaystyle g colon Omega to Omega nbsp eine S W displaystyle Sigma text Omega nbsp messbare Funktion in einen Messraum W S displaystyle Omega Sigma nbsp Dann ist die Abbildung g m m g 1 S 0 displaystyle g mu mu circ g 1 Sigma to 0 infty nbsp definiert durch A m g 1 A displaystyle A mapsto mu g 1 A nbsp ein Mass auf W S displaystyle Omega Sigma nbsp genannt das Bildmass von m displaystyle mu nbsp bezuglich g displaystyle g nbsp Dabei bezeichnet g 1 A displaystyle g 1 A nbsp das Urbild von A S displaystyle A in Sigma nbsp Transformationssatz BearbeitenFur eine messbare Funktion f W R displaystyle f colon Omega to overline mathbb R nbsp wobei R R displaystyle overline mathbb R mathbb R cup infty infty nbsp die affin erweiterten reellen Zahlen bezeichnet gilt der folgende Transformationssatz fur messbare Mengen A W displaystyle A subseteq Omega nbsp g 1 A f g d m A f d m g 1 displaystyle int g 1 A f circ g mathrm d mu int A f mathrm d mu circ g 1 nbsp wenn mindestens eines der beiden obigen Integrale definiert ist 1 Quellen Bearbeiten Robert B Ash Real Analysis and Probability Academic Press New York 1972 ISBN 0 12 065201 3 Theorem 1 6 12 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Bildmass amp oldid 226041993