Hadamard Ungleichung In der Mathematik beschreibt die eine Abschätzung für die Determinante eine Zahl die einer quadrati

Hadamard-Ungleichung

In der Mathematik beschreibt die Hadamard-Ungleichung eine Abschätzung für die Determinante (eine Zahl, die einer quadratischen Matrix zugeordnet wird) in einer quadratischen Matrix. Benannt ist sie nach dem französischen Mathematiker Jacques Salomon Hadamard.

Klassische Hadamard-Ungleichung Bearbeiten

Sei eine -Matrix über den komplexen Zahlen mit den Spaltenvektoren , dann gilt mit der Euklidischen Norm

Mit der QR-Zerlegung der Matrix gilt nämlich

wobei ist.

Geometrische Anschauung Bearbeiten

Ist eine -Matrix mit reellen Einträgen, so ist das Volumen des von ihren Zeilen- oder Spaltenvektoren aufgespannten -dimensionalen Parallelepipeds. Dieses Volumen wird maximal für orthogonale Zeilen (bzw. Spalten) und ist folglich höchstens so groß wie das Volumen des -dimensionalen Quaders mit Kanten der Längen .

Abgeschwächte Hadamard-Ungleichung Bearbeiten

Sei ein kommutativer Ring mit Pseudobetrag und eine -Matrix über mit den Zeilenvektoren . Dann gilt

mit der 1-Pseudonorm.

Bemerkungen Bearbeiten

Die klassische Hadamard-Ungleichung liefert wegen die schärfere Abschätzung.
Liegt ein Ring mit der üblichen Betragsfunktion der komplexen Zahlen zu Grunde (Beispiel: die ganzen Zahlen ), so ist stets die schärfere klassische Hadamard-Ungleichung anwendbar.

Literatur Bearbeiten

Roger A. Horn: Matrix Analysis. Cambridge University Press, 1990, ISBN 978-0-521-38632-6, S. 477 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).

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Veröffentlichungsdatum: März 07, 2024, 04:47 am

In der Mathematik beschreibt die Hadamard Ungleichung eine Abschatzung fur die Determinante eine Zahl die einer quadratischen Matrix zugeordnet wird in einer quadratischen Matrix Benannt ist sie nach dem franzosischen Mathematiker Jacques Salomon Hadamard Inhaltsverzeichnis 1 Klassische Hadamard Ungleichung 2 Geometrische Anschauung 3 Abgeschwachte Hadamard Ungleichung 4 Bemerkungen 5 LiteraturKlassische Hadamard Ungleichung BearbeitenSei M displaystyle M nbsp eine n n displaystyle n times n nbsp Matrix uber den komplexen Zahlen mit den Spaltenvektoren m 1 m n displaystyle m 1 dots m n nbsp dann gilt mit der Euklidischen Norm 2 displaystyle cdot 2 nbsp det M i 1 n m i 2 displaystyle det M leq prod i 1 n m i 2 nbsp Mit der QR Zerlegung M Q R displaystyle M QR nbsp der Matrix M displaystyle M nbsp gilt namlich det M det Q det R det R r 1 2 r n 2 displaystyle det M det Q cdot det R det R leq r 1 2 cdot ldots cdot r n 2 nbsp wobei r i 2 Q r i 2 m i 2 displaystyle r i 2 Qr i 2 m i 2 nbsp ist Geometrische Anschauung BearbeitenIst M displaystyle M nbsp eine n n displaystyle n times n nbsp Matrix mit reellen Eintragen so ist det M displaystyle det M nbsp das Volumen des von ihren Zeilen oder Spaltenvektoren m i displaystyle m i nbsp aufgespannten n displaystyle n nbsp dimensionalen Parallelepipeds Dieses Volumen wird maximal fur orthogonale Zeilen bzw Spalten und ist folglich hochstens so gross wie das Volumen i 1 n m i 2 displaystyle prod i 1 n m i 2 nbsp des n displaystyle n nbsp dimensionalen Quaders mit Kanten der Langen m i 2 displaystyle m i 2 nbsp Abgeschwachte Hadamard Ungleichung BearbeitenSei R displaystyle R cdot nbsp ein kommutativer Ring mit Pseudobetrag und M displaystyle M nbsp eine n n displaystyle n times n nbsp Matrix uber R displaystyle R nbsp mit den Zeilenvektoren m 1 m n displaystyle m 1 dots m n nbsp Dann gilt det M i 1 n m i 1 displaystyle det M leq prod i 1 n m i 1 nbsp mit der 1 Pseudonorm Bemerkungen BearbeitenDie klassische Hadamard Ungleichung liefert wegen x 2 x 1 displaystyle x 2 leq x 1 nbsp die scharfere Abschatzung Liegt ein Ring R C displaystyle R subseteq mathbb C nbsp mit der ublichen Betragsfunktion der komplexen Zahlen zu Grunde Beispiel die ganzen Zahlen Z displaystyle mathbb Z nbsp so ist stets die scharfere klassische Hadamard Ungleichung anwendbar Literatur BearbeitenRoger A Horn Matrix Analysis Cambridge University Press 1990 ISBN 978 0 521 38632 6 S 477 eingeschrankte Vorschau in der Google Buchsuche Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Hadamard Ungleichung amp oldid 237782827