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Tangentenumlaufzahl In der Mathematik misst die oder Tangentendrehzahl engl turning number die Anzahl der Umdrehungen ei

Tangentenumlaufzahl

In der Mathematik misst die Tangentenumlaufzahl oder Tangentendrehzahl (engl.: turning number) die Anzahl der Umdrehungen einer geschlossenen Kurve.

Definition Bearbeiten

Tangentenrichtungen

Eine geschlossene reguläre Kurve in der Ebene ist eine Abbildung

mit für alle .

Ihre Tangentenumlaufzahl ist die Umlaufzahl der Tangente als Abbildung

in Bezug auf den Nullpunkt , also die Anzahl der Umrundungen von entgegen der Uhrzeigerrichtung um den Nullpunkt.

Tangentenumlaufzahl und Totalkrümmung Bearbeiten

Die Tangentenumlaufzahl kann als die durch dividierte Totalkrümmung der Kurve

wobei die Krümmung der Kurve im Punkt bezeichnet.

Eine Kurve mit Umlaufzahl > 1 muss einen Doppelpunkt haben.

Klassifikation regulärer Kurven bis auf reguläre Homotopie Bearbeiten

Der Satz von Whitney-Graustein besagt, dass zwei reguläre Kurven in der Ebene genau dann regulär homotop sind, wenn sie dieselbe Tangentenumlaufzahl haben.

Umlaufsatz Bearbeiten

Der Umlaufsatz von Heinz Hopf besagt, dass die Tangentenumlaufzahl einer Kurve ohne Selbstdurchdringungen 1 oder −1 sein muss.

Literatur Bearbeiten

  • Christian Bär: Elementare Differentialgeometrie. De Gruyter Studium, 2002. ISBN 978-3-11-022459-7
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In der Mathematik misst die Tangentenumlaufzahl oder Tangentendrehzahl engl turning number die Anzahl der Umdrehungen einer geschlossenen Kurve Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Tangentenumlaufzahl und Totalkrummung 3 Klassifikation regularer Kurven bis auf regulare Homotopie 4 Umlaufsatz 5 LiteraturDefinition Bearbeiten nbsp TangentenrichtungenEine geschlossene regulare Kurve in der Ebene ist eine Abbildung c S 1 R 2 displaystyle c colon S 1 to mathbb R 2 nbsp mit f x 0 0 displaystyle f prime x not 0 0 nbsp fur alle x displaystyle x nbsp Ihre Tangentenumlaufzahl ist die Umlaufzahl der Tangente als Abbildung c S 1 R 2 0 0 displaystyle dot c colon S 1 to mathbb R 2 setminus left 0 0 right nbsp in Bezug auf den Nullpunkt 0 0 displaystyle 0 0 nbsp also die Anzahl der Umrundungen von c displaystyle dot c nbsp entgegen der Uhrzeigerrichtung um den Nullpunkt Tangentenumlaufzahl und Totalkrummung BearbeitenDie Tangentenumlaufzahl kann als die durch 2 p displaystyle 2 pi nbsp dividierte Totalkrummung der Kurve 1 2 p S 1 k 8 d 8 displaystyle frac 1 2 pi int limits S 1 k theta d theta nbsp wobei k 8 displaystyle k theta nbsp die Krummung der Kurve im Punkt f 8 displaystyle f theta nbsp bezeichnet nbsp Eine Kurve mit Umlaufzahl gt 1 muss einen Doppelpunkt haben Klassifikation regularer Kurven bis auf regulare Homotopie BearbeitenDer Satz von Whitney Graustein besagt dass zwei regulare Kurven in der Ebene genau dann regular homotop sind wenn sie dieselbe Tangentenumlaufzahl haben Umlaufsatz BearbeitenDer Umlaufsatz von Heinz Hopf besagt dass die Tangentenumlaufzahl einer Kurve ohne Selbstdurchdringungen 1 oder 1 sein muss Literatur BearbeitenChristian Bar Elementare Differentialgeometrie De Gruyter Studium 2002 ISBN 978 3 11 022459 7 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Tangentenumlaufzahl amp oldid 227854638