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Totalkrümmung In der Kurventheorie einem Teilgebiet der Mathematik wird die einer Kurve φ a b R n displaystyle varphi co

Totalkrümmung

In der Kurventheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, wird die Totalkrümmung einer Kurve definiert als das Integral ihrer Krümmung , also als

Kurven in der Ebene Bearbeiten

Die Totalkrümmung einer geschlossenen Kurve in der Ebene ist stets ein ganzzahliges Vielfaches von . Der ganzzahlige Faktor ist die Tangentenumlaufzahl der Kurve.

Aus dem Satz von Whitney-Graustein folgt, dass sich die Totalkrümmung einer geschlossenen regulären Kurve unter regulären Homotopien nicht ändert.

Raumkurven Bearbeiten

Aus der Fary-Milnor-Ungleichung folgt, dass die Totalkrümmung einer verknoteten Raumkurve stets größer als ist.

Höherdimensionale Verallgemeinerung Bearbeiten

Für höherdimensionale riemannsche Mannigfaltigkeiten bezeichnet man als Totale Skalarkrümmung (oder im Fall von Flächen ebenfalls als Totalkrümmung) das Integral

der Skalarkrümmung bezüglich der Volumenform der riemannschen Metrik .

Für Flächen folgt aus dem Satz von Gauß-Bonnet, dass ihre Totalkrümmung nur von der Euler-Charakteristik der Fläche und nicht von der riemannschen Metrik abhängt.

Literatur Bearbeiten

  • Wolfgang Kühnel: Differentialgeometrie: Kurven – Flächen – Mannigfaltigkeiten, Springer Spektrum 2013, ISBN 978-3-658-00615-0
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In der Kurventheorie einem Teilgebiet der Mathematik wird die Totalkrummung einer Kurve f a b R n displaystyle varphi colon a b to mathbb R n definiert als das Integral ihrer Krummung k displaystyle kappa also als a b k s d s displaystyle int a b kappa s ds Inhaltsverzeichnis 1 Kurven in der Ebene 2 Raumkurven 3 Hoherdimensionale Verallgemeinerung 4 LiteraturKurven in der Ebene BearbeitenDie Totalkrummung einer geschlossenen Kurve in der Ebene ist stets ein ganzzahliges Vielfaches von 2 p displaystyle 2 pi nbsp Der ganzzahlige Faktor ist die Tangentenumlaufzahl der Kurve Aus dem Satz von Whitney Graustein folgt dass sich die Totalkrummung einer geschlossenen regularen Kurve unter regularen Homotopien nicht andert Raumkurven BearbeitenAus der Fary Milnor Ungleichung folgt dass die Totalkrummung einer verknoteten Raumkurve stets grosser als 4 p displaystyle 4 pi nbsp ist Hoherdimensionale Verallgemeinerung BearbeitenFur hoherdimensionale riemannsche Mannigfaltigkeiten M g displaystyle M g nbsp bezeichnet man als Totale Skalarkrummung oder im Fall von Flachen ebenfalls als Totalkrummung das Integral M s c a l d v o l g displaystyle int M scal dvol g nbsp der Skalarkrummung bezuglich der Volumenform der riemannschen Metrik g displaystyle g nbsp Fur Flachen folgt aus dem Satz von Gauss Bonnet dass ihre Totalkrummung 2 p x M displaystyle 2 pi chi M nbsp nur von der Euler Charakteristik der Flache und nicht von der riemannschen Metrik abhangt Literatur BearbeitenWolfgang Kuhnel Differentialgeometrie Kurven Flachen Mannigfaltigkeiten Springer Spektrum 2013 ISBN 978 3 658 00615 0 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Totalkrummung amp oldid 191212342