Die Peano-Kurve (nach Giuseppe Peano) ist eine raumfüllende Kurve (FASS-Kurve).
Sie ist definiert als der Grenzwert einer Folge von Kurven, die schrittweise konstruiert werden können.
Im zweidimensionalen Fall ist ein Beispiel für eine Peano-Kurve das folgende: Man beginnt mit der Unterteilung eines Quadrats in neun gleich große Quadrate, die in einer S-Kurve durchlaufen werden. Im nächsten Schritt wird jedes dieser Quadrate wieder unterteilt und die entstehenden Quadrate in S-Kurven durchlaufen, die als neue Kurve zusammengehängt werden:
Skaliert man die Kurven auf dieselbe Größe, erhält man als erste vier Schritte:
Setzt man dieses Verfahren der Rekursion fort, erhält man eine Folge von Kurven, die punktweise konvergiert.
Als Grenzwert erhält man die Peano-Kurve, auf der jeder Punkt des Ausgangsquadrats liegt und die unendlich lang ist.
Dieses Verfahren lässt sich leicht auf höhere Dimensionen verallgemeinern. Auch liefert eine stetige surjektive Abbildung (mit ) wiederum stetige und surjektive Abbildungen , und durch Verkettung erhält man eine stetige Surjektion für jede natürliche Zahl .
Weitere Peano-Kurven Bearbeiten
Es existiert auch noch eine weitere flächenfüllende Kurve, die als „Peano-Kurve“ bekannt ist. Ihre Struktur entspricht der Cantor-Diagonalisierung. Dabei wird eine Strecke zwischen zwei Punkten durch das Gebilde der ersten Stufe ersetzt.
| Peano-Kurve der ersten Stufe | Peano-Kurve der zweiten Stufe |
Literatur Bearbeiten
Giuseppe Peano: Sur une courbe, qui remplit tout une aire plane. In: Mathematische Annalen 36 (1890), S. 157–160.
Weblinks Bearbeiten
- Fraktale Dimension am Beispiel der Peano-Kurve
- Interaktive Demonstration der Peano-Kurve.