In der Mathematik versteht man unter einer kubischen Funktion eine ganzrationale Funktion 3. Grades, also eine Funktion auf den reellen Zahlen, die in der Form
mit und geschrieben werden kann.
Kubische Funktionen können als reelle Polynomfunktionen von Polynomen über aufgefasst werden.
Eigenschaften Bearbeiten
Verhalten im Unendlichen Bearbeiten
Wie bei allen ganzrationalen Funktionen von ungeradem Grad gilt
falls der führende Koeffizient positiv ist, und
falls negativ ist.
Nullstellen Bearbeiten
Da eine kubische Funktion als Polynomfunktion stetig ist, folgt aus dem Verhalten im Unendlichen und dem Zwischenwertsatz, dass sie stets mindestens eine reelle Nullstelle hat. Andererseits kann eine ganzrationale Funktion vom Grad nicht mehr als Nullstellen besitzen. Somit folgt: Eine kubische Funktion hat in mindestens eine und maximal drei Nullstellen.
Zum Auffinden der Nullstellen einer kubischen Funktion siehe Kubische Gleichung und Cardanische Formeln. Die Diskriminante der allgemeinen kubischen Funktion lautet
und eignet sich zur Nullstellenklassifikation des Polynoms: Im Fall existieren drei verschiedene reelle Nullstellen, im Fall nur eine. Gilt , so gibt es entweder eine einfache und eine doppelte reelle Nullstelle oder es gibt eine dreifache reelle Nullstelle.
Wenn der Funktionsgraph exakt eine reelle Nullstelle hat, dann kann diese auf folgende Weise ermittelt werden:
Dabei ist der Ausdruck unter der Quadratwurzel positiv.
Diese Nullstellenformel bildet zur quadratischen Mitternachtsformel das kubische Analogon.
Das numerische Auffinden der Nullstellen ist beispielsweise mit dem Newton-Verfahren möglich.
Der Ausdruck steht für das arithmetische Mittel der Seiten , und eines Quaders, vergleichbar dem einer quadratischen Funktion, das das arithmetische Mittel der Seiten und eines Rechtecks ist.
Kubische Funktionen lassen sich als Nullpunktform darstellen:
Dabei sind , und die Seiten eines Quaders. Der Faktor vor dem , die Steigung der Funktion, entspricht der Quaderzahl oder dem Anteil eines Quaders, der Faktor vor dem entspricht der Seitensumme, der Faktor vor dem entspricht der Hälfte einer Quaderoberfläche und die Konstante einem Quadervolumen:
Analog zur Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion lässt sich eine Wendepunktform aufstellen mit Hilfe der kubischen Ergänzung:
Beispiel
Die erste Nullstelle ist gleich , der Wendepunkt ist , , . Quadratische Ergänzung ergibt die zweite und dritte Nullstelle: und .
Monotonie und lokale Extrema Bearbeiten
Als Polynomfunktion ist beliebig oft differenzierbar. Für ihre 1. Ableitung ergibt sich die quadratische Funktion
Ist deren Diskriminante positiv, d. h. es gilt , so besitzt genau ein lokales Maximum und genau ein lokales Minimum. Anderenfalls ist streng monoton, und zwar streng monoton wachsend für und streng monoton fallend für .
Wendepunkt und Symmetrie Bearbeiten
Jede kubische Funktion besitzt genau einen Wendepunkt . Die Wendestelle
ist die eindeutig bestimmte Nullstelle der 2. Ableitung .
Der Funktionsgraph von ist punktsymmetrisch zu seinem Wendepunkt.
Normalform Bearbeiten
Durch Verschiebung und Umskalierung lässt sich jede kubische Funktion in die Form
mit bringen.
Man erhält also genau drei mögliche Fälle dieser Normalform.:
- : Der Graph von besitzt zwei Extrempunkte.
- : Die Extrempunkte fallen zu genau einem Sattelpunkt zusammen.
- : Der Graph von besitzt weder Extrema noch Sattelpunkt, da die Ableitung jetzt auf dem gesamten Definitionsbereich positiv ist.
Da die Transformation auf Normalform die Existenz der Extrema nicht verändert, gilt diese Charakterisierung auch für die ursprüngliche Funktion . Der Koeffizient ist das entgegengesetzte Vorzeichen der Diskriminante der Ableitung der ursprünglichen Funktion .
Kubische Parabel Bearbeiten
Als kubische Parabeln bezeichnet man die Funktionsgraphen von kubischen Funktionen und diejenigen Kurven in der Ebene, die aus diesen durch Drehungen hervorgehen. Da bei der geometrischen Betrachtung der Kurve eine Translation irrelevant ist, braucht man nur kubische Polynome mit analytisch zu untersuchen.
Kubisches Polynom Bearbeiten
Sei ein beliebiger Ring. Als kubische Polynome über bezeichnet man Ausdrücke der Form
mit und . Formal handelt es sich um Elemente des Polynomringes vom Grad 3, sie definieren Abbildungen von nach . Im Fall handelt es sich im obigen Sinne um kubische Funktionen.
Falls ein algebraisch abgeschlossener Körper ist, zerfällt jedes kubische Polynom als Produkt dreier Linearfaktoren.
Allgemeiner sind kubische Polynome in Variablen Ausdrücke der Form
wobei nicht alle Null sein sollen. Diese Polynome definieren Abbildungen von nach . Ihre Nullstellenmengen im werden für als kubische Kurven (falls die Kurve keine Singularitäten hat, als elliptische Kurven) und für als kubische Flächen bezeichnet.