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Extremer Monomorphismus und Epimorphismus Extreme Monomorphismen und Epimorphismen sind Begriffe aus dem mathematischen

Extremer Monomorphismus und Epimorphismus

Extreme Monomorphismen und Epimorphismen sind Begriffe aus dem mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie. Es handelt sich um Verschärfungen der Monomorphismen beziehungsweise Epimorphismen.

Definition Bearbeiten

Ein Morphismus in einer Kategorie heißt extremer Monomorphismus, falls

  • ist ein Monomorphismus
  • Ist mit einem Morphismus und einem Epimorphismus , so ist ein Isomorphismus.

Dual dazu definiert man:

Ein Morphismus in einer Kategorie heißt extremer Epimorphismus, falls

  • ist ein Epimorphismus
  • Ist mit einem Morphismus und einem Monomorphismus , so ist ein Isomorphismus.

Bemerkung Bearbeiten

In der Definition des extremen Monomorphismus muss ein Monomorphismus sein, denn ist einer. Da als Epimorphismus vorausgesetzt wird, ist also Monomorphismus und Epimorphismus, also ein sogenannter Bimorphismus, was schwächer als Isomorphismus ist. Das Besondere an obiger Definition besteht also gerade darin, dass in dieser speziellen Situation nicht nur auf Bimorphismus, sondern sogar auf Isomorphismus geschlossen werden kann. Entsprechendes kann natürlich über extreme Epimorphismen gesagt werden.

Ferner zeigt diese Bemerkung, dass in sogenannten ausgeglichenen Kategorien, das sind solche, in denen jeder Bimorphismus schon Isomorphismus ist, obige Begriffe nichts Neues bringen. In solchen Kategorien sind die extremen Monomorphismen (bzw. Epimorphismen) genau die gewöhnlichen Monomorphismen (bzw. Epimorphismen). Diese Überlegung lässt sich sogar umkehren, das heißt für eine Kategorie sind folgende Aussagen äquivalent:

  • Die Kategorie ist ausgeglichen.
  • Jeder Epimorphismus ist extremer Epimorphismus.
  • Jeder Monomorphismus ist extremer Monomorphismus.

Beispiele Bearbeiten

  • In der Kategorie der Ringe mit 1 und den Ringhomomorphismen, die 1 auf 1 abbilden, ist die Inklusionsabbildung ein Epimorphismus, der nicht extrem ist, denn , ohne dass Isomorphismus ist. Dies ist gleichzeitig ein Monomorphismus, der nicht extrem ist, wobei man dann zu betrachten hat. Allgemein ist jeder Bimorphismus, der kein Isomorphismus ist, ein solches Beispiel.
Auch in dieser Kategorie kann man also leicht Monomorphismen und Epimorphismen angeben, die nicht extrem sind.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Gerhard Preuß: Allgemeine Topologie, Springer-Verlag 1972, ISBN 978-3-540-06006-2, Definition 1.5.9.
  2. Horst Herrlich: Topologische Reflexionen und Coreflexionen, Lecture Notes in Mathematics 78 (1968), Definition 7.1.1
  3. K. Morita, J. Nagata: Topics in General Topology, North Holland 1998, 0-444-70455-8, Kapitel 14, Definition 2.8
  4. Horst Herrlich, George E. Strecker: Category Theory, Allyn and Bacon Inc. 1973, Satz 17.13
  5. Horst Herrlich, George E. Strecker: Category Theory, Allyn ans Bacon Inc. 1973, Beispiel 17.10 (4)
  6. Lothar Tschampel: Topologie 1. Allgemeine Topologie. Version 2. Buch-X-Verlag, Berlin 2011, ISBN 978-3-934671-60-7, Satz 3.062.2
  7. Lothar Tschampel: Topologie 1. Allgemeine Topologie. Version 2. Buch-X-Verlag, Berlin 2011, ISBN 978-3-934671-60-7, Satz 3.062.3
  8. Horst Herrlich, George E. Strecker: Category Theory, Allyn ans Bacon Inc. 1973, Beispiel 17.10 (5)
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Veröffentlichungsdatum:
Extreme Monomorphismen und Epimorphismen sind Begriffe aus dem mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie Es handelt sich um Verscharfungen der Monomorphismen beziehungsweise Epimorphismen Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Bemerkung 3 Beispiele 4 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenEin Morphismus f displaystyle f nbsp in einer Kategorie heisst extremer Monomorphismus falls f displaystyle f nbsp ist ein Monomorphismus Ist f h g displaystyle f h circ g nbsp mit einem Morphismus h displaystyle h nbsp und einem Epimorphismus g displaystyle g nbsp so ist g displaystyle g nbsp ein Isomorphismus Dual dazu definiert man Ein Morphismus f displaystyle f nbsp in einer Kategorie heisst extremer Epimorphismus falls f displaystyle f nbsp ist ein Epimorphismus Ist f g h displaystyle f g circ h nbsp mit einem Morphismus h displaystyle h nbsp und einem Monomorphismus g displaystyle g nbsp so ist g displaystyle g nbsp ein Isomorphismus 1 2 3 Bemerkung BearbeitenIn der Definition des extremen Monomorphismus muss g displaystyle g nbsp ein Monomorphismus sein denn f displaystyle f nbsp ist einer Da g displaystyle g nbsp als Epimorphismus vorausgesetzt wird ist g displaystyle g nbsp also Monomorphismus und Epimorphismus also ein sogenannter Bimorphismus was schwacher als Isomorphismus ist Das Besondere an obiger Definition besteht also gerade darin dass in dieser speziellen Situation nicht nur auf Bimorphismus sondern sogar auf Isomorphismus geschlossen werden kann Entsprechendes kann naturlich uber extreme Epimorphismen gesagt werden Ferner zeigt diese Bemerkung dass in sogenannten ausgeglichenen Kategorien das sind solche in denen jeder Bimorphismus schon Isomorphismus ist obige Begriffe nichts Neues bringen In solchen Kategorien sind die extremen Monomorphismen bzw Epimorphismen genau die gewohnlichen Monomorphismen bzw Epimorphismen Diese Uberlegung lasst sich sogar umkehren das heisst fur eine Kategorie sind folgende Aussagen aquivalent 4 Die Kategorie ist ausgeglichen Jeder Epimorphismus ist extremer Epimorphismus Jeder Monomorphismus ist extremer Monomorphismus Beispiele BearbeitenIn der Kategorie der Mengen der Gruppen oder der R Moduln uber einem kommutativen Ring R sind extremen Monomorphismen genau die Monomorphismen und genau die injektiven Abbildungen bzw Homomorphismen denn diese Kategorien sind ausgeglichen siehe obige Bemerkung Genauso sind die extremen Epimorphismen genau die Epimorphismen und genau die surjektiven Abbildungen bzw Homomorphismen In der Kategorie der Ringe mit 1 und den Ringhomomorphismen die 1 auf 1 abbilden ist die Inklusionsabbildung i Z Q displaystyle iota colon mathbb Z rightarrow mathbb Q nbsp ein Epimorphismus der nicht extrem ist denn i i i d Z displaystyle iota iota circ mathrm id mathbb Z nbsp ohne dass i displaystyle iota nbsp Isomorphismus ist Dies ist gleichzeitig ein Monomorphismus der nicht extrem ist wobei man dann i i d Q i displaystyle iota mathrm id mathbb Q circ iota nbsp zu betrachten hat 5 Allgemein ist jeder Bimorphismus der kein Isomorphismus ist ein solches Beispiel In der Kategorie der topologischen Raume mit den stetigen Abbildungen sind die extremen Monomorphismen X Y displaystyle X rightarrow Y nbsp genau die Homoomorphismen von X displaystyle X nbsp auf Unterraume von Y displaystyle Y nbsp 6 Ferner sind dieser Kategorie die extremen Epimorphismen genau die Quotientenabbildungen 7 Daher gibt es in dieser Kategorie Monomorphismen und Epimorphismen die nicht extrem sind Ist zum Beispiel X displaystyle X nbsp das Einheitsintervall 0 1 displaystyle 0 1 nbsp mit der diskreten Topologie und Y displaystyle Y nbsp das Einheitsintervall mit der euklidischen Topologie so ist i d 0 1 X Y displaystyle mathrm id 0 1 colon X rightarrow Y nbsp ein nicht extremer Monomorphismus und ein nicht extremer Epimorphismus In der Kategorie der Banachraume und stetigen linearen Abbildungen gilt fur einen Morphismus f X Y displaystyle f colon X rightarrow Y nbsp 8 f displaystyle f nbsp ist extremer Monomorphismus displaystyle Leftrightarrow nbsp Es gibt eine Konstante m gt 0 displaystyle m gt 0 nbsp mit m x f x displaystyle m x leq f x nbsp fur alle x X displaystyle x in X nbsp f displaystyle f nbsp ist extremer Epimorphismus displaystyle Leftrightarrow nbsp f displaystyle f nbsp ist surjektiv dd Auch in dieser Kategorie kann man also leicht Monomorphismen und Epimorphismen angeben die nicht extrem sind Einzelnachweise Bearbeiten Gerhard Preuss Allgemeine Topologie Springer Verlag 1972 ISBN 978 3 540 06006 2 Definition 1 5 9 Horst Herrlich Topologische Reflexionen und Coreflexionen Lecture Notes in Mathematics 78 1968 Definition 7 1 1 K Morita J Nagata Topics in General Topology North Holland 1998 0 444 70455 8 Kapitel 14 Definition 2 8 Horst Herrlich George E Strecker Category Theory Allyn and Bacon Inc 1973 Satz 17 13 Horst Herrlich George E Strecker Category Theory Allyn ans Bacon Inc 1973 Beispiel 17 10 4 Lothar Tschampel Topologie 1 Allgemeine Topologie Version 2 Buch X Verlag Berlin 2011 ISBN 978 3 934671 60 7 Satz 3 062 2 Lothar Tschampel Topologie 1 Allgemeine Topologie Version 2 Buch X Verlag Berlin 2011 ISBN 978 3 934671 60 7 Satz 3 062 3 Horst Herrlich George E Strecker Category Theory Allyn ans Bacon Inc 1973 Beispiel 17 10 5 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Extremer Monomorphismus und Epimorphismus amp oldid 225530710