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Fundamentallemma der Variationsrechnung In der Variationsrechnung spielt das sogenannte oder Hauptlemma der Variationsre

Fundamentallemma der Variationsrechnung

In der Variationsrechnung spielt das sogenannte Fundamentallemma der Variationsrechnung oder Hauptlemma der Variationsrechnung (englisch Fundamental lemma of calculus of variations oder Dubois-Reymond lemma) eine zentrale Rolle. Es wird manchmal ebenfalls mit Fundamentalsatz der Variationsrechnung benannt, fällt jedoch nicht mit diesem zusammen. Es handelt sich um ein bedeutendes Lemma, welches dem deutschen Mathematiker Paul Dubois-Reymond zugerechnet wird.

In seiner einfachsten Version macht das Fundamentallemma die folgende Aussage:

Dann ist die Nullfunktion.

Eine andere, aber insgesamt etwas weiter reichende Version des Fundamentallemmas, welche auch mehrdimensionale Integration einbezieht, lautet wie folgt:

Dann gilt fast überall.

Für eine unmittelbare Anwendung beachte, dass eine lokal integrierbare Funktion durch die Formel

eine Distribution auf definiert. Nach obigem Lemma sind zwei solche Distributionen und genau dann gleich, wenn und fast überall übereinstimmen (zum Beweis betrachte man ).

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. ↑ Philippe Blanchard, Erwin Brüning: Direkte Methoden der Variationsrechnung: Ein Lehrbuch. 1982, S. 78 ff.
  2. George Leitmann: The Calculus of Variations and Optimal Control : An Introduction. Plenum Press, New York (u. a.) 1981, S. 14 ff.
  3. Dubois-Reymond, Erläuterungen zu den Anfangsgründen der Variationsrechnung, Mathematische Annalen, Band 15, 1879, S. 283–314, hier S. 297, 300
  4. Oskar Bolza, Vorlesungen über Variationsrechnung, Teubner 1909, S. 26. Nach Bolza stammt der älteste Beweis von Friedrich Stegmann, Lehrbuch der Variationsrechnung, Kassel 1854, dort werden aber einschränkendere Annahmen gemacht.
  5. Philippe G. Ciarlet: Linear and Nonlinear Functional Analysis with Applications . 2013, S. 314.
  6. Über weitere Versionen gibt der entsprechende Artikel Fundamental lemma of calculus of variations im englischsprachigen Wikipedia Auskunft.
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In der Variationsrechnung spielt das sogenannte Fundamentallemma der Variationsrechnung oder Hauptlemma der Variationsrechnung englisch Fundamental lemma of calculus of variations oder Dubois Reymond lemma eine zentrale Rolle Es wird manchmal ebenfalls mit Fundamentalsatz der Variationsrechnung benannt fallt jedoch nicht mit diesem zusammen Es handelt sich um ein bedeutendes Lemma welches dem deutschen Mathematiker Paul Dubois Reymond zugerechnet wird 1 2 3 4 In seiner einfachsten Version macht das Fundamentallemma die folgende Aussage 1 Sei I a b R displaystyle I a b subset mathbb R ein kompaktes reelles Intervall und sei g I R displaystyle g colon I to mathbb R eine stetige Funktion Es gelte fur jede stetig differenzierbare Funktion h I R displaystyle h colon I to mathbb R mit h a h b 0 displaystyle h a h b 0 abg t h t dt 0 displaystyle int a b g t h t mathrm d t 0 dd Dann ist g displaystyle g die Nullfunktion Eine andere aber insgesamt etwas weiter reichende Version des Fundamentallemmas welche auch mehrdimensionale Integration einbezieht lautet wie folgt 5 6 Sei W displaystyle Omega eine offene Teilmenge des RN N N displaystyle mathbb R N N in mathbb N und sei g W R displaystyle g colon Omega to mathbb R eine lokal integrierbare Funktion Es gelte fur jede unendlich oft differenzierbare Funktion h W R displaystyle h colon Omega to mathbb R mit kompaktem Trager Wg x h x dx 0 displaystyle int Omega g x h x mathrm d x 0 dd Dann gilt g 0 displaystyle g 0 fast uberall Fur eine unmittelbare Anwendung beachte dass eine lokal integrierbare Funktion g W R displaystyle g colon Omega to mathbb R durch die Formel Tg h Wg x h x dx displaystyle T g h int Omega g x h x mathrm d x eine Distribution Tg displaystyle T g auf W displaystyle Omega definiert Nach obigem Lemma sind zwei solche Distributionen Tg1 displaystyle T g 1 und Tg2 displaystyle T g 2 genau dann gleich wenn g1 displaystyle g 1 und g2 displaystyle g 2 fast uberall ubereinstimmen zum Beweis betrachte man g1 g2 displaystyle g 1 g 2 Einzelnachweise Bearbeiten a b Philippe Blanchard Erwin Bruning Direkte Methoden der Variationsrechnung Ein Lehrbuch 1982 S 78 ff George Leitmann The Calculus of Variations and Optimal Control An Introduction Plenum Press New York u a 1981 S 14 ff Dubois Reymond Erlauterungen zu den Anfangsgrunden der Variationsrechnung Mathematische Annalen Band 15 1879 S 283 314 hier S 297 300 Oskar Bolza Vorlesungen uber Variationsrechnung Teubner 1909 S 26 Nach Bolza stammt der alteste Beweis von Friedrich Stegmann Lehrbuch der Variationsrechnung Kassel 1854 dort werden aber einschrankendere Annahmen gemacht Philippe G Ciarlet Linear and Nonlinear Functional Analysis with Applications 2013 S 314 Uber weitere Versionen gibt der entsprechende Artikel Fundamental lemma of calculus of variations im englischsprachigen Wikipedia Auskunft Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Fundamentallemma der Variationsrechnung amp oldid 196879956