Dieser Artikel behandelt den Fundamentalsatz der Variationsrechnung nicht zu verwechseln mit dem Fundamentallemma der Variationsrechnung Der Fundamentalsatz der Variationsrechnung englisch Fundamental Theorem of the Calculus of Variations ist ein grundlegender Satz des mathematischen Teilgebiets der Variationsrechnung und eng verwandt mit dem weierstrassschen Satz vom Minimum Er behandelt die in der Variationsrechnung zentrale Frage unter welchen Bedingungen reellwertige Funktionale ein Minimum annehmen 1 2 3 Inhaltsverzeichnis 1 Formulierung des Fundamentalsatzes 1 1 Beweis 2 Folgerungen aus dem Fundamentalsatz 2 1 Anmerkung zum Beweis der Folgerungen 3 Andere Version des Fundamentalsatzes 4 Siehe auch 5 Literatur 6 EinzelnachweiseFormulierung des Fundamentalsatzes BearbeitenDer Fundamentalsatz der Variationsrechnung lasst sich formulieren wie folgt 1 Sei X displaystyle X nbsp ein reflexiver Banachraum uber R displaystyle mathbb R nbsp und sei darin M X displaystyle M subset X nbsp eine nichtleere schwach abgeschlossene und zugleich beschrankte Teilmenge Sei weiter ϕ M R displaystyle phi colon M to mathbb R nbsp ein schwach unterhalbstetiges Funktional Dann nimmt das Funktional ϕ displaystyle phi nbsp auf M displaystyle M nbsp ein Minimum an Mit anderen Worten Es existiert ein Element x 0 M displaystyle x 0 in M nbsp mitϕ x 0 inf x M ϕ x min x M ϕ x displaystyle phi x 0 inf x in M phi x min x in M phi x nbsp dd Beweis Bearbeiten Der Darstellung von Fucik Necas und Soucek folgend lasst sich der Beweis wie folgt fuhren 1 Nach dem Satz von Eberlein Smulian impliziert die Reflexivitat des Banachraums X displaystyle X nbsp dass darin jede beschrankte Folge eine schwach konvergente Teilfolge besitzt Also gibt es unter den genannten Bedingungen in M displaystyle M nbsp eine Folge von Elementen x n M n N displaystyle x n in M n in mathbb N nbsp die einerseits in R displaystyle mathbb R nbsp den Grenzwert lim n ϕ x n inf x M ϕ x displaystyle lim n rightarrow infty phi x n inf x in M phi x nbsp bildet und die andererseits in M displaystyle M nbsp schwach gegen ein Element x 0 M displaystyle x 0 in M nbsp konvergiert Dieses Element x 0 displaystyle x 0 nbsp ist die gesuchte Minimumstelle fur ϕ displaystyle phi nbsp Denn in Verbindung mit der Halbstetigkeit von ϕ displaystyle phi nbsp ergibt sich die folgende Ungleichungskette inf x M ϕ x ϕ x 0 lim inf n ϕ x n lim n ϕ x n inf x M ϕ x displaystyle inf x in M phi x leq phi x 0 leq liminf n to infty phi x n lim n rightarrow infty phi x n inf x in M phi x nbsp Das bedeutet jedoch ϕ x 0 inf x M ϕ x min x M ϕ x displaystyle phi x 0 inf x in M phi x min x in M phi x nbsp und der Satz ist bewiesen Folgerungen aus dem Fundamentalsatz BearbeitenAn den Fundamentalsatz lassen sich zwei direkte Folgerungen anschliessen 1 I a Die Bedingungen des Fundamentalsatzes sind erfullt wenn dort M displaystyle M nbsp eine nichtleere abgeschlossene beschrankte und konvexe Teilmenge des reflexiven R displaystyle mathbb R nbsp Banachraums X displaystyle X nbsp und das Funktional ϕ displaystyle phi nbsp stetig und konvex ist Das heisst In diesem Falle hat ϕ displaystyle phi nbsp eine Minimumstelle x 0 M displaystyle x 0 in M nbsp b Ist dann ϕ displaystyle phi nbsp daruber hinaus noch strikt konvex so ist die Minimumstelle x 0 M displaystyle x 0 in M nbsp sogar eindeutig bestimmt II a Ist ϕ X R displaystyle phi colon X to mathbb R nbsp ein schwach unterhalbstetiges und zugleich koerzitives Funktional des reflexiven R displaystyle mathbb R nbsp Banachraums X displaystyle X nbsp so gilt die Behauptung des Fundamentalsatzes ebenfalls Das bedeutet Es ist danninf x M ϕ x gt displaystyle inf x in M phi x gt infty nbsp dd sowieϕ x 0 inf x M ϕ x min x M ϕ x displaystyle phi x 0 inf x in M phi x min x in M phi x nbsp dd fur mindestens ein x 0 X displaystyle x 0 in X nbsp b Im Falle dass ϕ X R displaystyle phi colon X to mathbb R nbsp koerzitiv stetig und konvex bzw strikt konvex ist ist die Folgerung I in entsprechender Weise gultig Anmerkung zum Beweis der Folgerungen Bearbeiten Wegen der schwachen Abgeschlossenheit von M displaystyle M nbsp ist das Funktional ϕ displaystyle phi nbsp genau dann schwach unterhalbstetig wenn fur jede reelle Zahl a displaystyle a nbsp die Urbildmenge ϕ 1 a displaystyle phi 1 infty a nbsp des zugehorigen Intervalls a displaystyle infty a nbsp schwach abgeschlossen ist 1 Ein stetiges und konvexes Funktional auf einer konvexen Teilmenge eines Banachraums ist stets schwach unterhalbstetig 1 Andere Version des Fundamentalsatzes BearbeitenEine etwas andere jedoch verwandte Version des Fundamentalsatzes ist die folgende 4 Sei M displaystyle M nbsp ein nichtleerer Hausdorff Raum und sei weiter ϕ M R displaystyle phi colon M to mathbb R cup infty nbsp ein unterhalbstetiges Funktional Weiterhin gebe es eine reelle Zahl r displaystyle r nbsp mit i M ϕ r x M ϕ x r displaystyle M phi r colon x in M mid phi x leq r neq emptyset nbsp ii M ϕ r displaystyle M phi r nbsp ist folgenkompakt dd Dann gilt Es existiert ein Element x 0 M displaystyle x 0 in M nbsp mitϕ x 0 inf x M ϕ x min x M ϕ x displaystyle phi x 0 inf x in M phi x min x in M phi x nbsp dd Siehe auch BearbeitenMaximumprinzip von Bauer Minimallosung Satz vom Minimum und MaximumLiteratur BearbeitenPhilippe Blanchard Erwin Bruning Direkte Methoden der Variationsrechnung Ein Lehrbuch Springer Verlag Wien New York 1982 ISBN 3 211 81692 5 MR0687073 Philippe Blanchard Erwin Bruning Variational Methods in Mathematical Physics A unified approach Translated from the German by Gillian M Hayes Texts and Monographs in Physics Verlag Springer Verlag Berlin 1992 MR1230382 Philippe G Ciarlet Linear and Nonlinear Functional Analysis with Applications Society for Industrial and Applied Mathematics Philadelphia PA 2013 ISBN 978 1 61197 258 0 MR3136903 Svatopluk Fucik Jindrich Necas Vladimir Soucek Einfuhrung in die Variationsrechnung Erweiterte Ausgabe des Vorlesungsskripts Uvod do variacniho poctu Teubner Texte zur Mathematik Teubner Verlagsgesellschaft Leipzig 1977 Einzelnachweise Bearbeiten a b c d e f Svatopluk Fucik Jindrich Necas Vladimir Soucek Einfuhrung in die Variationsrechnung 1977 S 16 19 Philippe Blanchard Erwin Bruning Direkte Methoden der Variationsrechnung Ein Lehrbuch 1982 S 1 ff Philippe Blanchard Erwin Bruning Variational Methods in Mathematical Physics 1992 S 1 ff Philippe Blanchard Erwin Bruning Direkte Methoden der Variationsrechnung Ein Lehrbuch 1982 S 16 ff Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Fundamentalsatz der Variationsrechnung amp oldid 236297366
