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Rademacherfunktionen Die benannt nach Hans Rademacher sind für jede natürliche Zahl n displaystyle n auf dem halboffenen

Rademacherfunktionen

Die Rademacherfunktionen, benannt nach Hans Rademacher, sind für jede natürliche Zahl auf dem (halboffenen) Einheitsintervall [0,1) definierte Funktionen, die nur die Werte −1 und 1 annehmen.

Die ersten drei Rademacherfunktionen

Definition Bearbeiten

Die -te Rademacherfunktion wird definiert durch:

Alternativ kann man die -te Rademacherfunktion durch

definieren. Diese Definition ist äquivalent zur ersten Definition für alle Zahlen , die nicht von der Form sind. Wenn diese Form hat, so ist und daher verschwindet auch das Vorzeichen (sgn). Der Unterschied betrifft jedoch für jedes nur endlich viele und spielt daher z. B. in Funktionenräumen wie keine Rolle (da hier die Funktionen auf Nullmengen beliebig verändert werden können).

In der Literatur werden gelegentlich die Rademacherfunktionenen auch außerhalb des Basisintervalls periodisch fortgesetzt und die Definition der Rademacherfunktionen erfolgt mit Bezug zu den Walsh-Kaczmarz-Funktionen „Walsh-Sinus“ und „Walsh-Cosinus“ als:

Die Rademacherfunktionen sind dann in diesem Zusammenhang als Paar definiert als:

Mit obiger Festlegung lassen sich leichter Beziehungen aufstellen – ähnlich wie bei den trigonometrischen Funktionen – wie beispielsweise:

Beispiele Bearbeiten

Für die Funktion gilt also:

und für die Funktion :

Allgemein ordnet die -te Rademacher-Funktion einer Zahl im Einheitsintervall eine −1 zu, wenn die -te Ziffer in der Binärdarstellung von eine 1 ist, und eine 1, falls diese Ziffer 0 ist. Zum Beispiel gilt

und

Rademachersystem Bearbeiten

Die Rademacherfunktionen bilden ein Orthonormalsystem des Raums der quadratintegrierbaren Funktionen . Das heißt, es gilt

wobei das Kronecker-Delta ist. Dieses Orthonormalsystem trägt den Namen Rademachersystem, es ist jedoch keine Orthonormalbasis von .

Normale Zahlen Bearbeiten

Die Zahl heißt einfach normal zur Basis 2 (siehe auch normale Zahl), wenn die beiden Ziffern 0 und 1 in ihrer Binärdarstellung gleich häufig vorkommen. Die Tatsache, dass fast alle Zahlen einfach normal sind, kann man mit Hilfe der Rademacherfunktionen so beschreiben:

Es gilt für fast alle in

Interpretiert man die Binärdarstellung jeder der Zahlen im Einheitsintervall als unendliche Folge von Münzwürfen (Bernoulli-Prozess mit ), so ist das gerade die Aussage des starken Gesetzes der großen Zahlen.

Chintschin-Ungleichung Bearbeiten

Eine einfache Version dieser Ungleichung, die nach Alexander Jakowlewitsch Chintschin benannt ist und in der die Rademacherfunktionen vorkommen, lautet wie folgt.

Ist eine Folge reeller Zahlen, so gilt für jede natürliche Zahl

Rademacher-Mittelung Bearbeiten

Sind und Vektorräume, so können die Rademacherfunktionen eingesetzt werden, um alternative Darstellungen von Elementen aus dem Tensorprodukt zu finden. Es gilt für alle und :

Diese Formel nennt man Rademacher-Mittelung. Sie kann verwendet werden, um Normen des projektiven Tensorproduktes normierter Räume abzuschätzen.

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Hans Rademacher: Einige Sätze über Reihen von allgemeinen Orthogonalfunktionen. In: Mathematische Annalen. Band 87, Nr. 1/2, 1922, ISSN 0025-5831, S. 112–138 (Online).
  • Mark Kac: Statistical independence in probability, analysis and number theory. Hrsg.: Mathematical Association of America (= The Carus Mathematical Monographs. Band 12). Ithaca NY 1959, ISBN 0-88385-012-5 (Kapitel 1 und 2: Anwendung auf Münzwurf).
  • Stefan Kaczmarz, Hugo Steinhaus: Theorie der Orthogonalreihen (= Monografie Matematyczne. Band 6). Z Subwencji Funduszu Kultury Narodowej, 1935, ISSN 0077-0507 (matwbn.icm.edu.pl – Insbesondere Kapitel 4).
  • Donald E. Knuth: The Art of Computer Programming. Volume 4, A: Combinatorial algorithms. Part 1. Addison-Wesley, Upper Saddle River NJ u. a. 2011, ISBN 978-0-201-03804-0, besonders S. 287–288.

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Eugen Gauß: Walsh-Funktionen für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Teubner, Stuttgart 1994, ISBN 3-519-02099-8 (Kapitel 3.1).
  2. Diese Beschreibung ist allerdings mehrdeutig für Zahlen der Form (die auch dyadische Rationalzahlen genannt werden). Diese Zahlen haben zwei Binärdarstellungen (Bsp.: 1/2 = 0,12 = 0,0111…2).
  3. Peter Karlhuber-Vöckl: Orthonormale Systeme, Singuläre Integrale und Fastdiagonale Matrizen. (PDF; 1,2 MB) Linz, Universität, Diplom-Arbeit, 2004, S. 9.
  4. Raymond A. Ryan: Introduction to Tensor Products of Banach Spaces, Springer-Verlag 2002, ISBN 1-85233-437-1, Lemma 2.22: Rademacher averaging
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Veröffentlichungsdatum:
Die Rademacherfunktionen benannt nach Hans Rademacher sind fur jede naturliche Zahl n displaystyle n auf dem halboffenen Einheitsintervall 0 1 definierte Funktionen die nur die Werte 1 und 1 annehmen Die ersten drei Rademacherfunktionen Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiele 3 Rademachersystem 4 Normale Zahlen 5 Chintschin Ungleichung 6 Rademacher Mittelung 7 Siehe auch 8 Literatur 9 Weblinks 10 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenDie n displaystyle n nbsp te Rademacherfunktion wird definiert durch r n t 1 k displaystyle r n t 1 k nbsp falls k 2 n t lt k 1 2 n displaystyle frac k 2 n leq t lt frac k 1 2 n nbsp gilt fur ein k displaystyle k nbsp mit 0 k lt 2 n 1 displaystyle 0 leq k lt 2 n 1 nbsp Alternativ kann man die n displaystyle n nbsp te Rademacherfunktion durch r n t sgn sin 2 n p t displaystyle r n t operatorname sgn big sin big 2 n pi t big big nbsp definieren Diese Definition ist aquivalent zur ersten Definition fur alle Zahlen t displaystyle t nbsp die nicht von der 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operatorname sign cos 2 pi x nbsp Die Rademacherfunktionen sind dann in diesem Zusammenhang als Paar definiert als sir 2 n x displaystyle operatorname sir 2 n x nbsp cor 2 n x displaystyle operatorname cor 2 n x nbsp Mit obiger Festlegung lassen sich leichter Beziehungen aufstellen ahnlich wie bei den trigonometrischen Funktionen wie beispielsweise sir x cor x sir 2 x displaystyle operatorname sir x operatorname cor x operatorname sir 2x nbsp Beispiele BearbeitenFur die Funktion r 1 t displaystyle r 1 t nbsp gilt also r 1 t 1 0 t lt 1 2 1 1 2 t lt 1 displaystyle r 1 t begin cases 1 quad amp 0 leq t lt 1 2 1 amp 1 2 leq t lt 1 end cases nbsp und fur die Funktion r 2 t displaystyle r 2 t nbsp r 2 t 1 0 t lt 1 4 1 1 4 t lt 1 2 1 1 2 t lt 3 4 1 3 4 t lt 1 displaystyle r 2 t begin cases 1 quad amp 0 leq t lt 1 4 1 amp 1 4 leq t lt 1 2 1 quad amp 1 2 leq t lt 3 4 1 amp 3 4 leq t lt 1 end cases nbsp Allgemein ordnet die n displaystyle n nbsp te Rademacher Funktion einer Zahl t displaystyle t nbsp im Einheitsintervall eine 1 zu wenn die n displaystyle n nbsp te Ziffer in der Binardarstellung von t displaystyle t nbsp eine 1 ist und eine 1 falls diese Ziffer 0 ist 2 Zum Beispiel gilt r 1 0 375 r 1 0 0 11 2 1 displaystyle r 1 0 375 r 1 0 color red 0 11 2 1 nbsp und r 2 0 375 r 2 0 0 1 1 2 1 displaystyle r 2 0 375 r 2 0 0 color red 1 1 2 1 nbsp Rademachersystem BearbeitenDie Rademacherfunktionen bilden ein Orthonormalsystem des Raums der quadratintegrierbaren Funktionen L 2 0 1 displaystyle L 2 0 1 nbsp Das heisst es gilt 0 1 r n x r m x d x d m n displaystyle int 0 1 r n x r m x mathrm d x delta mn nbsp wobei d m n displaystyle delta mn nbsp das Kronecker Delta ist Dieses Orthonormalsystem tragt den Namen Rademachersystem es ist jedoch keine Orthonormalbasis von L 2 0 1 displaystyle L 2 0 1 nbsp Normale Zahlen BearbeitenDie Zahl t 0 1 displaystyle t in 0 1 nbsp heisst einfach normal zur Basis 2 siehe auch normale Zahl wenn die beiden Ziffern 0 und 1 in ihrer Binardarstellung gleich haufig vorkommen Die Tatsache dass fast alle Zahlen einfach normal sind kann man mit Hilfe der Rademacherfunktionen so beschreiben Es gilt fur fast alle t displaystyle t nbsp in 0 1 displaystyle 0 1 nbsp lim n r 1 t r n t n 0 displaystyle lim n to infty frac r 1 t cdots r n t n 0 nbsp Interpretiert man die Binardarstellung jeder der Zahlen im Einheitsintervall als unendliche Folge von Munzwurfen Bernoulli Prozess mit p 1 2 displaystyle p 1 2 nbsp so ist das gerade die Aussage des starken Gesetzes der grossen Zahlen Chintschin Ungleichung Bearbeiten Hauptartikel Chintschin Ungleichung Eine einfache Version dieser Ungleichung die nach Alexander Jakowlewitsch Chintschin benannt ist und in der die Rademacherfunktionen r n t displaystyle r n t nbsp vorkommen lautet wie folgt 3 Ist a n n displaystyle a n n nbsp eine Folge reeller Zahlen so gilt fur jede naturliche Zahl N displaystyle N nbsp 0 1 n 1 N a n r n t d t 1 2 n 1 N a n 2 1 2 displaystyle int 0 1 left sum n 1 N a n r n t right mathrm d t geq frac 1 sqrt 2 left sum n 1 N a n 2 right 1 2 nbsp Rademacher Mittelung BearbeitenSind E displaystyle E nbsp und F displaystyle F nbsp Vektorraume so konnen die Rademacherfunktionen eingesetzt werden um alternative Darstellungen von Elementen aus dem Tensorprodukt E F displaystyle E otimes F nbsp zu finden Es gilt fur alle x 1 x n E displaystyle x 1 ldots x n in E nbsp und y 1 y n F displaystyle y 1 ldots y n in F nbsp i 1 n x i y i 0 1 i 1 n r i t x i i 1 n r i t y i d t displaystyle sum i 1 n x i otimes y i int 0 1 left sum i 1 n r i t x i right otimes left sum i 1 n r i t y i right mathrm d t nbsp Diese Formel nennt man Rademacher Mittelung Sie kann verwendet werden um Normen des projektiven Tensorproduktes normierter Raume abzuschatzen 4 Siehe auch BearbeitenHaar WaveletLiteratur BearbeitenHans Rademacher Einige Satze uber Reihen von allgemeinen Orthogonalfunktionen In Mathematische Annalen Band 87 Nr 1 2 1922 ISSN 0025 5831 S 112 138 Online Mark Kac Statistical independence in probability analysis and number theory Hrsg Mathematical Association of America The Carus Mathematical Monographs Band 12 Ithaca NY 1959 ISBN 0 88385 012 5 Kapitel 1 und 2 Anwendung auf Munzwurf Stefan Kaczmarz Hugo Steinhaus Theorie der Orthogonalreihen Monografie Matematyczne Band 6 Z Subwencji Funduszu Kultury Narodowej 1935 ISSN 0077 0507 matwbn icm edu pl Insbesondere Kapitel 4 Donald E Knuth The Art of Computer Programming Volume 4 A Combinatorial algorithms Part 1 Addison Wesley Upper Saddle River NJ u a 2011 ISBN 978 0 201 03804 0 besonders S 287 288 Weblinks BearbeitenEric W Weisstein Square Wave In MathWorld englisch Einzelnachweise Bearbeiten Eugen Gauss Walsh Funktionen fur Ingenieure und Naturwissenschaftler Teubner Stuttgart 1994 ISBN 3 519 02099 8 Kapitel 3 1 Diese Beschreibung ist allerdings mehrdeutig fur Zahlen der Form t k 2 n displaystyle t k 2 n nbsp die auch dyadische Rationalzahlen genannt werden Diese Zahlen haben zwei Binardarstellungen Bsp 1 2 0 12 0 0111 2 Peter Karlhuber Vockl Orthonormale Systeme Singulare Integrale und Fastdiagonale Matrizen PDF 1 2 MB Linz Universitat Diplom Arbeit 2004 S 9 Raymond A Ryan Introduction to Tensor Products of Banach Spaces Springer Verlag 2002 ISBN 1 85233 437 1 Lemma 2 22 Rademacher averaging Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Rademacherfunktionen amp oldid 226335114