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Chintschin Ungleichung Die benannt nach Alexander Jakowlewitsch Chintschin ist eine Ungleichung aus dem mathematischen T

Chintschin-Ungleichung

Die Chintschin-Ungleichung, benannt nach Alexander Jakowlewitsch Chintschin, ist eine Ungleichung aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis. Sie vergleicht Summen von Quadraten mit p-Normen zugehöriger Linearkombinationen von Rademacherfunktionen. Nach der französischen Transskiption des Namens Chintschin findet man diese Ungleichung oft unter der Bezeichnung Khintchine-Ungleichung.

Definitionen Bearbeiten

Es seien reelle oder komplexe Zahlen. Diese kann man zu einem Vektor zusammenfassen, wobei für oder stehe. Dieser Vektor hat als Element des euklidischen bzw. unitären Vektorraums eine Länge .

Es seien die Rademacherfunktionen. Dann kann man mit den gewählten Zahlen als Koeffizienten die Linearkombination bilden und erhält so eine beschränkte Funktion , die offenbar eine Treppenfunktion ist und daher in jedem Lp([0,1]) liegt, wobei . Die Chintschin-Ungleichung vergleicht die p-Norm dieser Linearkombination mit der Länge des Vektors .

Formulierung der Ungleichung Bearbeiten

Zu jedem gibt es Konstanten , so dass für alle gilt:

Setzt man die Definitionen der Normen ein, bedeutet das

Bemerkungen Bearbeiten

Die volle Ungleichung findet sich erstmals bei John Edensor Littlewood, Spezialfälle wurden aber bereits 1923 von Chintschin veröffentlicht, weshalb die Ungleichung seinen Namen trägt.

Für ist die Ungleichung trivial, es gilt dann sogar Gleichheit. Der Grund liegt darin, dass die Rademacherfunktionen im Hilbertraum ein Orthonormalsystem bilden und daher

gilt.

Optimale Konstanten Bearbeiten

Funktionen (blau) und (rot)

Die üblichen Beweise der Chintschin-Ungleichung, wie sie sich in den zitierten Lehrbüchern finden, sind nicht besonders aufwändig, liefern aber nur recht grobe Abschätzungen für die Konstanten. Sehr viel schwieriger ist die Ermittlung der optimalen Konstanten, diese wurden von Uffe Haagerup, aufbauend auf Vorarbeiten von Stanisław Szarek, gefunden. Es bezeichne die Gammafunktion und die Lösung der Gleichung

Die optimalen Konstanten für die Chintschin-Ungleichungen in reellen Räumen lauten damit:

und

Anwendung Bearbeiten

Aus den Abschätzungen der Chintschinschen-Ungleichung liest man direkt ab, dass der von den Rademacherfunktionen in erzeugte abgeschlossene Unterraum isomorph zum Folgenraum der quadrat-summierbaren Folgen ist, das heißt jeder Banachraum enthält einen abgeschlossenen und zu isomorphen Unterraum. Nachdem Satz von Pitt hat kein für diese Eigenschaft. Daher kann für nicht zu isomorph sein. Im Gegensatz dazu besteht nach dem Satz von Fischer-Riesz für sogar eine isometrische Isomorphie .

Kahane-Chintschin-Ungleichung Bearbeiten

Eine weitere offensichtliche Folgerung aus der Chintschin-Ungleichung ist, dass die verschiedenen p-Normen auf dem von den Rademacher-Funktionen erzeugten Unterraum äquivalent sind. Dies wurde wie folgt von Jean-Pierre Kahane zur sogenannten Kahane-Chintschin-Ungleichung verallgemeinert. Eine Rademacher-Folge ist eine Folge von unabhängig und identisch verteilten Zufallsgrößen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum mit für alle . Die Rademacherfunktionen auf dem Wahrscheinlichkeitsraum [0,1] mit dem Lebesguemaß bilden offensichtlich so eine Folge.

Zu jedem gibt es eine Konstante , so dass für jeden Banachraum und jede endliche Folge und Rademacher-Folge die Ungleichungen

bestehen, wobei E für die Bildung des Erwartungswertes steht.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Raymond A. Ryan: Introduction to Tensor Products of Banach Spaces, Springer-Verlag 2002, ISBN 1-85233-437-1, Theorem 2.24
  2. Joseph Diestel: Sequences and series in Banach spaces, Springer-Verlag (1984), ISBN 0-387-90859-5, Theorem in Kapitel VII
  3. J. E. Littlewood: On a certain bilinear form, Quart. J. Math. Oxford (1930), Band 1, Seiten 164–174
  4. A. Khintchine: Über dyadische Brüche, Math. Zeitschrift (1923), Band 18, Seiten 109–116
  5. Uffe Haagerup: The best constants in the Khintchine inequality, Studia Mathematica (1981), Band 70 Nr. 3, Seiten 231–283
  6. J. S. Szarek: On the best constant on the Khintchine inequality, Studia Mathematica (1976), Band 58, Seiten 197–218
  7. J. P. Kahane: Sur les sommes vectorielles Σ±u, C. R. Acad. Sci. Paris (1964), Band 259, Seiten 2577–2580
  8. F. Albiac, N. J. Kalton: Topics in Banach Space Theory, Springer-Verlag (2006), ISBN 978-1-4419-2099-7, Theorem 6.2.5
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Die Chintschin Ungleichung benannt nach Alexander Jakowlewitsch Chintschin ist eine Ungleichung aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis Sie vergleicht Summen von Quadraten mit p Normen zugehoriger Linearkombinationen von Rademacherfunktionen Nach der franzosischen Transskiption des Namens Chintschin findet man diese Ungleichung oft unter der Bezeichnung Khintchine Ungleichung Inhaltsverzeichnis 1 Definitionen 2 Formulierung der Ungleichung 3 Bemerkungen 4 Optimale Konstanten 5 Anwendung 6 Kahane Chintschin Ungleichung 7 EinzelnachweiseDefinitionen BearbeitenEs seien c 1 c n displaystyle c 1 ldots c n nbsp reelle oder komplexe Zahlen Diese kann man zu einem Vektor c c 1 c n K n displaystyle c c 1 ldots c n in mathbb K n nbsp zusammenfassen wobei K displaystyle mathbb K nbsp fur R displaystyle mathbb R nbsp oder C displaystyle mathbb C nbsp stehe Dieser Vektor hat als Element des euklidischen bzw unitaren Vektorraums eine Lange c 2 c 1 2 c n 2 1 2 displaystyle textstyle c 2 c 1 2 ldots c n 2 1 2 nbsp Es seien r n 0 1 R t sgn sin 2 n p t displaystyle r n 0 1 rightarrow mathbb R t mapsto operatorname sgn sin 2 n pi t nbsp die Rademacherfunktionen Dann kann man mit den gewahlten Zahlen als Koeffizienten die Linearkombination c 1 r 1 c n r n displaystyle c 1 r 1 ldots c n r n nbsp bilden und erhalt so eine beschrankte Funktion 0 1 R displaystyle 0 1 rightarrow mathbb R nbsp die offenbar eine Treppenfunktion ist und daher in jedem Lp 0 1 liegt wobei 1 p lt displaystyle 1 leq p lt infty nbsp Die Chintschin Ungleichung vergleicht die p Norm dieser Linearkombination mit der Lange des Vektors c displaystyle c nbsp Formulierung der Ungleichung BearbeitenZu jedem p 1 displaystyle p in 1 infty nbsp gibt es Konstanten A p B p gt 0 displaystyle A p B p gt 0 nbsp so dass fur alle c 1 c n K displaystyle c 1 ldots c n in mathbb K nbsp gilt 1 2 A p c 1 c n 2 k 1 n c k r k p B p c 1 c n 2 displaystyle A p cdot c 1 ldots c n 2 leq left sum k 1 n c k r k right p leq B p cdot c 1 ldots c n 2 nbsp Setzt man die Definitionen der Normen ein bedeutet das A p k 1 n c k 2 1 2 0 1 k 1 n c k r k t p d t 1 p B p k 1 n c k 2 1 2 displaystyle A p cdot left sum k 1 n c k 2 right frac 1 2 leq left int 0 1 left sum k 1 n c k r k t right p mathrm d t right frac 1 p leq B p cdot left sum k 1 n c k 2 right frac 1 2 nbsp Bemerkungen BearbeitenDie volle Ungleichung findet sich erstmals bei John Edensor Littlewood 3 Spezialfalle wurden aber bereits 1923 von Chintschin veroffentlicht 4 weshalb die Ungleichung seinen Namen tragt Fur p 2 displaystyle p 2 nbsp ist die Ungleichung trivial es gilt dann sogar Gleichheit Der Grund liegt darin dass die Rademacherfunktionen im Hilbertraum L 2 0 1 displaystyle L 2 0 1 nbsp ein Orthonormalsystem bilden und daher k 1 n c k r k 2 2 k 1 n c k 2 displaystyle left sum k 1 n c k r k right 2 2 sum k 1 n c k 2 nbsp gilt Optimale Konstanten Bearbeiten nbsp Funktionen p A p displaystyle p mapsto A p nbsp blau und p B p displaystyle p mapsto B p nbsp rot Die ublichen Beweise der Chintschin Ungleichung wie sie sich in den zitierten Lehrbuchern finden sind nicht besonders aufwandig liefern aber nur recht grobe Abschatzungen fur die Konstanten Sehr viel schwieriger ist die Ermittlung der optimalen Konstanten diese wurden von Uffe Haagerup aufbauend auf Vorarbeiten von Stanislaw Szarek gefunden 5 6 Es bezeichne G displaystyle Gamma nbsp die Gammafunktion und p 0 displaystyle p 0 nbsp die Losung der Gleichung G p 1 2 p 2 displaystyle Gamma left frac p 1 2 right frac sqrt pi 2 nbsp das heisst p 0 1 847 42 displaystyle p 0 1 84742 ldots nbsp Die optimalen Konstanten fur die Chintschin Ungleichungen in reellen Raumen lauten damit A p 2 1 2 1 p falls 1 p p 0 2 1 2 G p 1 2 p 1 p falls p 0 lt p lt 2 1 falls 2 p lt displaystyle A p begin cases 2 frac 1 2 frac 1 p amp text falls 1 leq p leq p 0 2 frac 1 2 cdot left frac Gamma frac p 1 2 sqrt pi right frac 1 p amp text falls p 0 lt p lt 2 1 amp text falls 2 leq p lt infty end cases nbsp und B p 1 falls 1 p 2 2 1 2 G p 1 2 p 1 p falls 2 lt p lt displaystyle B p begin cases 1 amp text falls 1 leq p leq 2 2 frac 1 2 cdot left frac Gamma frac p 1 2 sqrt pi right frac 1 p amp text falls 2 lt p lt infty end cases nbsp Anwendung BearbeitenAus den Abschatzungen der Chintschinschen Ungleichung liest man direkt ab dass der von den Rademacherfunktionen in L p 0 1 displaystyle L p 0 1 nbsp erzeugte abgeschlossene Unterraum isomorph zum Folgenraum ℓ 2 displaystyle ell 2 nbsp der quadrat summierbaren Folgen ist das heisst jeder Banachraum L p 0 1 displaystyle L p 0 1 nbsp enthalt einen abgeschlossenen und zu ℓ 2 displaystyle ell 2 nbsp isomorphen Unterraum Nachdem Satz von Pitt hat kein ℓ p displaystyle ell p nbsp fur p 2 displaystyle p not 2 nbsp diese Eigenschaft Daher kann ℓ p displaystyle ell p nbsp fur p 2 displaystyle p not 2 nbsp nicht zu L p 0 1 displaystyle L p 0 1 nbsp isomorph sein Im Gegensatz dazu besteht nach dem Satz von Fischer Riesz fur p 2 displaystyle p 2 nbsp sogar eine isometrische Isomorphie L 2 0 1 ℓ 2 displaystyle L 2 0 1 cong ell 2 nbsp Kahane Chintschin Ungleichung BearbeitenEine weitere offensichtliche Folgerung aus der Chintschin Ungleichung ist dass die verschiedenen p Normen auf dem von den Rademacher Funktionen erzeugten Unterraum aquivalent sind Dies wurde wie folgt von Jean Pierre Kahane zur sogenannten Kahane Chintschin Ungleichung verallgemeinert 7 Eine Rademacher Folge ist eine Folge e n n displaystyle varepsilon n n nbsp von unabhangig und identisch verteilten Zufallsgrossen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum W S P displaystyle Omega Sigma P nbsp mit P e n 1 P e n 1 1 2 displaystyle P varepsilon n 1 P varepsilon n 1 textstyle frac 1 2 nbsp fur alle n displaystyle n nbsp Die Rademacherfunktionen auf dem Wahrscheinlichkeitsraum 0 1 mit dem Lebesguemass bilden offensichtlich so eine Folge Zu jedem 1 p lt displaystyle 1 leq p lt infty nbsp gibt es eine Konstante C p displaystyle C p nbsp so dass fur jeden Banachraum X 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Mathematica 1981 Band 70 Nr 3 Seiten 231 283 J S Szarek On the best constant on the Khintchine inequality Studia Mathematica 1976 Band 58 Seiten 197 218 J P Kahane Sur les sommes vectorielles S u C R Acad Sci Paris 1964 Band 259 Seiten 2577 2580 F Albiac N J Kalton Topics in Banach Space Theory Springer Verlag 2006 ISBN 978 1 4419 2099 7 Theorem 6 2 5 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Chintschin Ungleichung amp oldid 184065005