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Föppl-Klammer

Die Föppl-Klammer ist eine von August Föppl eingeführte, vereinfachende Schreibweise vor allem in der Mechanik. Sie wird auch Föppl-Symbol genannt. Gelegentlich wird sie nach dem britischen Mathematiker William Herrick Macaulay auch als Macaulay-Klammer bezeichnet.

Definition Bearbeiten

Die Föppl-Klammer ist keine mathematische Schreibweise, sie wurde von Ingenieuren für den Gebrauch in der Technischen Mechanik übernommen.

Dieser Ausdruck bedeutet, dass die Klammer für x-Werte kleiner als 0 ist, und für Werte größer als den Wert einer normalen Klammer annimmt. Dabei ist zu beachten, dass die Föppl-Klammer für nicht definiert ist. Für Betrachtungen in diesem Punkt sind andere Beschreibungsformen (z. B. das Gleichgewicht am differentiellen Element) nötig; jedoch sind derartige Überlegungen in den meisten Fällen nicht erforderlich.

Insbesondere beschreibt:

Somit lassen sich Sprünge, z. B. in einem Kraftverlauf, durch Multiplikation der Klammer mit der Kraft (siehe Beispiel) modellieren.

Ableitung und Stammfunktion sind ebenfalls definiert:

Bei der Differentiation und bei der Integration kann das Klammersymbol wie eine runde Klammer angesehen werden.

Verwendung Bearbeiten

Die Föppl-Klammer erlaubt es die Kraft- und Momentenverläufe an Biegebalken und Balken in kurzer Form darzustellen. Ohne diese Darstellung wären für jede angreifende Kraft und jedes angreifende Moment eine Fallunterscheidung zu treffen.

Die Exponenten einer Föppl-Klammer sind entsprechend dem Kraft- oder Momentenverlauf zu wählen. Beispiele: Die Flächenbelastung q(x) ist konstant: n=0; eine Kraft oder ein Moment greifen an: n=0; die Flächenbelastung q(x) ist linear: n=1; die Flächenbelastung q(x) ist quadratisch: n=2; die Flächenbelastung q(x) ist kubisch: n=3 usw.

Bei der Berechnung der Querkraft Q(x) durch Integration z. B. bei einer linearen Flächenbelastung q(x) mit n=1 ergibt sich für Q(x) der Exponent n=2 und durch weitere Integration für das Biegemoment M(x) der Exponent n=3.

Beispiel Bearbeiten

Ein Balken der Länge l ist in seinen Endpunkten A und D statisch bestimmt gelagert. Er wird im Punkt B durch die Kraft F und im Punkt C durch das Moment M belastet.

Es gilt für den Zusammenhang zwischen Belastung und Schnittgrößen:

Der Querkraftverlauf (in z-Richtung) folgt der Formel:

mit Föppl-Klammer:

ohne Föppl-Klammer:

Der Biegemomentverlauf (um die y-Achse) folgt der Formel:

mit Föppl-Klammer:

ohne Föppl-Klammer:

Siehe auch Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

D. Gross, W. Hauger, J. Schröder, W. Wall: Technische Mechanik 1 -- Statik. 12. Auflage. Springer-Verlag, 2013, S. 198ff .

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Veröffentlichungsdatum: Dezember 03, 2023, 20:29 pm

Die Foppl Klammer ist eine von August Foppl eingefuhrte vereinfachende Schreibweise vor allem in der Mechanik Sie wird auch Foppl Symbol genannt Gelegentlich wird sie nach dem britischen Mathematiker William Herrick Macaulay auch als Macaulay Klammer bezeichnet 1 Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Verwendung 2 1 Beispiel 3 Siehe auch 4 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenDie Foppl Klammer ist keine mathematische Schreibweise sie wurde von Ingenieuren fur den Gebrauch in der Technischen Mechanik ubernommen x a n 0 f u r x lt a x a n f u r x gt a displaystyle langle x a rangle n begin cases 0 amp mathrm f ddot u r x lt a x a n amp mathrm f ddot u r x gt a end cases nbsp Dieser Ausdruck bedeutet dass die Klammer fur x Werte kleiner als a displaystyle a nbsp 0 ist und fur Werte grosser als a displaystyle a nbsp den Wert einer normalen Klammer x a n displaystyle x a n nbsp annimmt Dabei ist zu beachten dass die Foppl Klammer fur x a displaystyle x a nbsp nicht definiert ist Fur Betrachtungen in diesem Punkt sind andere Beschreibungsformen z B das Gleichgewicht am differentiellen Element notig jedoch sind derartige Uberlegungen in den meisten Fallen nicht erforderlich Insbesondere beschreibt x a 0 0 f u r x lt a 1 f u r x gt a displaystyle langle x a rangle 0 begin cases 0 amp mathrm f ddot u r x lt a 1 amp mathrm f ddot u r x gt a end cases nbsp Somit lassen sich Sprunge z B in einem Kraftverlauf durch Multiplikation der Klammer mit der Kraft siehe Beispiel modellieren Ableitung und Stammfunktion sind ebenfalls definiert d d x x a n n x a n 1 displaystyle frac mathrm d mathrm d x langle x a rangle n n langle x a rangle n 1 nbsp x a n d x 1 n 1 x a n 1 C displaystyle int langle x a rangle n mathrm d x frac 1 n 1 langle x a rangle n 1 C nbsp Bei der Differentiation und bei der Integration kann das Klammersymbol wie eine runde Klammer angesehen werden Verwendung BearbeitenDie Foppl Klammer erlaubt es die Kraft und Momentenverlaufe an Biegebalken und Balken in kurzer Form darzustellen Ohne diese Darstellung waren fur jede angreifende Kraft und jedes angreifende Moment eine Fallunterscheidung zu treffen Die Exponenten einer Foppl Klammer sind entsprechend dem Kraft oder Momentenverlauf zu wahlen Beispiele Die Flachenbelastung q x ist konstant n 0 eine Kraft oder ein Moment greifen an n 0 die Flachenbelastung q x ist linear n 1 die Flachenbelastung q x ist quadratisch n 2 die Flachenbelastung q x ist kubisch n 3 usw Bei der Berechnung der Querkraft Q x durch Integration z B bei einer linearen Flachenbelastung q x mit n 1 ergibt sich fur Q x der Exponent n 2 und durch weitere Integration fur das Biegemoment M x der Exponent n 3 Beispiel Bearbeiten Ein Balken der Lange l ist in seinen Endpunkten A und D statisch bestimmt gelagert Er wird im Punkt B durch die Kraft F und im Punkt C durch das Moment M belastet nbsp Es gilt fur den Zusammenhang zwischen Belastung und Schnittgrossen d Q d x q d M d x Q displaystyle frac mathrm d Q mathrm d x q qquad frac mathrm d M mathrm d x Q nbsp Der Querkraftverlauf in z Richtung folgt der Formel mit Foppl Klammer Q x F A z F x f 0 displaystyle Q x F Az F langle x f rangle 0 nbsp Erklarung Der Querkraftverlauf entspricht links von der Stelle f der negativen Auflagerkraft FAz da die Foppl Klammer bei x lt f als Null definiert ist Rechts von der Stelle f nimmt der Term den Wert 1 an was dazu fuhrt dass die Last F in den Querkraftverlauf durch einen Sprung mit einfliesst ohne Foppl Klammer Q x F A z f u r 0 lt x lt f F A z F f u r f lt x lt l displaystyle Q x begin cases F Az amp mathrm f ddot u r 0 lt x lt f F Az F amp mathrm f ddot u r f lt x lt l end cases nbsp Der Biegemomentverlauf um die y Achse folgt der Formel mit Foppl Klammer M y x F A z x F x f 1 M x m 0 displaystyle M y x F Az x F langle x f rangle 1 M langle x m rangle 0 nbsp ohne Foppl Klammer M x F A z x f u r 0 lt x lt f F A z x F x f f u r f lt x lt m F A z x F x f M f u r m lt x lt l displaystyle M x begin cases F Az x amp mathrm f ddot u r 0 lt x lt f F Az x F x f amp mathrm f ddot u r f lt x lt m F Az x F x f M amp mathrm f ddot u r m lt x lt l end cases nbsp Siehe auch BearbeitenSprungklammer Heaviside FunktionEinzelnachweise Bearbeiten D Gross W Hauger J Schroder W Wall Technische Mechanik 1 Statik 12 Auflage Springer Verlag 2013 S 198ff Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Foppl Klammer amp oldid 201187379