Ein Sechzehneck oder Hexadekagon ist ein Polygon mit 16 Seiten und 16 Ecken Die Sechzehnecke konnen wie alle Polygone mit mind vier Seiten in uberschlagene und nicht uberschlagene einfache Sechzehnecke unterteilt werden Die einfachen wiederum in konkave und konvexe Sechzehnecke Letztere lassen sich nach weiteren Kriterien wie Seitenlangen Symmetrien oder Lage der Ecken unterscheiden Ein regelmassiges SechzehneckDieser Artikel behandelt im Folgenden das regelmassige Sechzehneck das konvex ist sechzehn gleich lange Seiten hat und dessen Ecken auf einem gemeinsamen Umkreis liegen sowie regelmassige uberschlagene Sechzehnecke Inhaltsverzeichnis 1 Regelmassiges Sechzehneck 1 1 Grossen 2 Mathematische Zusammenhange 2 1 Innenwinkel 2 2 Mittelpunktswinkel 2 3 Seitenlange 2 4 Umkreisradius 2 5 Inkreisradius 2 6 Hohe 2 7 Flacheninhalt 3 Geometrische Konstruktionen 3 1 Bei gegebenem Umkreis 3 2 Bei gegebener Seitenlange 4 Regelmassige uberschlagene Sechzehnecke 5 Vorkommen 5 1 Kunst 5 2 Architektur 6 Weblinks 7 EinzelnachweiseRegelmassiges Sechzehneck BearbeitenSchon bei den griechischen Mathematikern der Antike war bekannt dass ein regelmassiges Sechzehneck mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist Dies wird deshalb moglich weil es auch aus einem Quadrat bzw Achteck durch fortgesetzte Verdoppelung der Eckenzahl generiert werden kann Grossen Bearbeiten Grossen eines regelmassigen SechzehnecksInnenwinkel a n 2 n 180 14 16 180 157 5 displaystyle begin aligned alpha amp frac n 2 n cdot 180 circ frac 14 16 cdot 180 circ amp 157 5 circ end aligned nbsp nbsp Mittelpunktswinkel Zentriwinkel m 360 16 22 5 displaystyle begin aligned mu amp frac 360 circ 16 22 5 circ end aligned nbsp Seitenlange a 2 R sin 180 16 2 R sin 11 25 a R 2 2 2 displaystyle begin aligned a amp 2 cdot R cdot sin left frac 180 circ 16 right amp 2 cdot R cdot sin 11 25 circ a amp R cdot sqrt 2 sqrt 2 sqrt 2 end aligned nbsp Umkreisradius R a 2 sin 180 16 a 2 sin 11 25 R a 2 2 2 displaystyle begin aligned R amp frac a 2 cdot sin left frac 180 circ 16 right amp frac a 2 cdot sin 11 25 circ R amp frac a sqrt 2 sqrt 2 sqrt 2 end aligned nbsp Inkreisradius r a 1 2 cot 180 16 a 1 2 cot 11 25 r a 1 2 2 2 2 2 2 2 displaystyle begin aligned r amp a cdot frac 1 2 cdot cot left frac 180 circ 16 right amp a cdot frac 1 2 cdot cot 11 25 circ r amp a cdot frac 1 2 cdot sqrt frac 2 sqrt 2 sqrt 2 2 sqrt 2 sqrt 2 end aligned nbsp Hohe h 2 r a cot 11 25 displaystyle begin aligned h amp 2 cdot r a cdot cot left 11 25 circ right end aligned nbsp Flacheninhalt A 4 a 2 cot 180 16 4 a 2 cot 11 25 A 4 a 2 2 1 4 2 2 1 A 4 R 2 2 2 displaystyle begin aligned A amp 4 cdot a 2 cdot cot left frac 180 circ 16 right amp 4 cdot a 2 cdot cot 11 25 circ A amp 4 cdot a 2 cdot left sqrt 2 1 right cdot left sqrt 4 2 sqrt 2 1 right A amp 4 cdot R 2 cdot sqrt 2 sqrt 2 end aligned nbsp Mathematische Zusammenhange BearbeitenInnenwinkel Bearbeiten Die allgemeine Formel fur Polygone liefert a n 2 n 180 16 2 16 180 14 16 180 157 5 displaystyle alpha frac n 2 n cdot 180 circ frac 16 2 16 cdot 180 circ frac 14 16 cdot 180 circ 157 5 circ nbsp Mittelpunktswinkel Bearbeiten Der Mittelpunktswinkel oder Zentriwinkel m displaystyle mu nbsp wird von zwei benachbarten Umkreisradien R displaystyle R nbsp eingeschlossen In der allgemeinen Formel ist fur die Variable n displaystyle n nbsp die Zahl 16 displaystyle 16 nbsp einzusetzen m 360 n 360 16 22 5 displaystyle mu frac 360 circ n frac 360 circ 16 22 5 circ nbsp Seitenlange Bearbeiten Fur die Berechnung der Seitenlange a displaystyle a nbsp denkt man sich das Sechzehneck in 16 kongruente Dreiecke Bestimmungsdreiecke zerlegt Nimmt man die Halfte eines solchen Dreiecks also ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seiten a 2 displaystyle frac a 2 nbsp R displaystyle R nbsp und r displaystyle r nbsp sowie mit dem halben Zentriwinkel 22 5 2 11 25 displaystyle frac 22 5 circ 2 11 25 circ nbsp so gilt sin 11 25 a 2 R a 2 R displaystyle sin 11 25 circ frac frac a 2 R frac a 2 cdot R nbsp durch Multiplikation mit 2 R displaystyle 2 cdot R nbsp erhalt man a 2 R sin 11 25 0 390 R displaystyle a 2 cdot R cdot sin 11 25 circ approx 0 390 cdot R nbsp Algebraischer Ausdruck a R 2 2 2 displaystyle a R cdot sqrt 2 sqrt 2 sqrt 2 nbsp Umkreisradius Bearbeiten Der Umkreisradius R displaystyle R nbsp bei gegebener Seitenlange a displaystyle a nbsp betragt R a 2 sin 11 25 2 563 a displaystyle R frac a 2 cdot sin 11 25 circ approx 2 563 cdot a nbsp Algebraischer Ausdruck R a 2 2 2 displaystyle R frac a sqrt 2 sqrt 2 sqrt 2 nbsp Inkreisradius Bearbeiten Auch der Inkreisradius r displaystyle r nbsp lasst sich mithilfe eines halbierten Bestimmungsdreiecks ermitteln Es ergibt sich tan 11 25 a 2 r a 2 r displaystyle tan left 11 25 circ right frac frac a 2 r frac a 2 cdot r nbsp durch Multiplikation mit 2 r displaystyle 2 cdot r nbsp erhalt man 2 r tan 11 25 a displaystyle 2 cdot r cdot tan left 11 25 circ right a nbsp und weiter r a 2 tan 11 25 displaystyle r frac a 2 cdot tan left 11 25 circ right nbsp wegen 1 tan 11 25 cot 11 25 displaystyle frac 1 tan left 11 25 circ right cot left 11 25 circ right nbsp gilt auch r a 1 2 cot 11 25 2 514 a displaystyle r a cdot frac 1 2 cdot cot left 11 25 circ right approx 2 514 cdot a nbsp Algebraischer Ausdruck a 1 2 2 2 2 2 2 2 displaystyle a cdot frac 1 2 cdot sqrt frac 2 sqrt 2 sqrt 2 2 sqrt 2 sqrt 2 nbsp Hohe Bearbeiten Die Hohe h displaystyle h nbsp eines regelmassigen Sechzehnecks ist das Doppelte des Inkreisradius h 2 r a tan 11 25 a cot 11 25 5 027 3 a displaystyle h 2 cdot r frac a tan left 11 25 circ right a cdot cot left 11 25 circ right approx 5 0273 cdot a nbsp Flacheninhalt Bearbeiten Der Flacheninhalt eines Dreiecks berechnet sich aus A D 1 2 a h a displaystyle A Delta frac 1 2 cdot a cdot h a nbsp In einem Bestimmungsdreieck ist die Hohe h a displaystyle h a nbsp gleich dem Inkreisradius r displaystyle r nbsp Der Flacheninhalt des gesamten Sechzehnecks d h 16 Bestimmungsdreiecke betragt also A 16 2 a r displaystyle A frac 16 2 cdot a cdot r nbsp Mit dem in Inkreisradius hergeleiteten Ausdruck fur r displaystyle r nbsp folgt daraus A 16 2 a a 1 2 cot 11 25 4 a 2 cot 11 25 displaystyle A frac 16 2 cdot a cdot a cdot frac 1 2 cdot cot left 11 25 circ right 4 cdot a 2 cdot cot 11 25 circ nbsp Algebraischer Ausdruck A 4 a 2 2 1 4 2 2 1 20 109 a 2 displaystyle A 4 cdot a 2 cdot left sqrt 2 1 right cdot left sqrt 4 2 sqrt 2 1 right approx 20 109 cdot a 2 nbsp Da die Anzahl der Seiten eines Sechzehnecks eine Zweierpotenz ist kann die Flache auch uber den Umkreis mit dem Radius R displaystyle R nbsp durch eine abgeleitete Formel aus Vietas Produktdarstellung der Kreiszahl Pi berechnet werden A R 2 2 1 2 2 2 2 2 4 R 2 2 2 3 061 R 2 displaystyle A R 2 cdot frac 2 1 cdot frac 2 sqrt 2 cdot frac 2 sqrt 2 sqrt 2 4 cdot R 2 sqrt 2 sqrt 2 approx 3 061 cdot R 2 nbsp Geometrische Konstruktionen BearbeitenBei gegebenem Umkreis Bearbeiten Im ersten Moment scheint es naheliegend zuerst eine Seitenlange des Achtecks mit dessen Umkreis zu zeichnen und anschliessend den Mittelpunktswinkel m displaystyle mu nbsp zu halbieren um die Seitenlange des Sechzehnecks zu erhalten Es ist jedoch auch moglich den Mittelpunktswinkel in weniger Konstruktionsschritten zu bestimmen nbsp Bild 1 Sechzehneck bei gegebenem Umkreis ES beginnt Bild 1 mit dem Einzeichnen des Durchmessers A B displaystyle overline AB nbsp anschliessend folgen um Punkt A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp je ein Kreisbogen mit Radius A B displaystyle overline AB nbsp die sich in C displaystyle C nbsp und D displaystyle D nbsp schneiden Die Verbindungslinie C D displaystyle overline CD nbsp halbiert den Durchmesser A B displaystyle overline AB nbsp in O displaystyle O nbsp Nach dem Ziehen des Umkreises wird der so entstandene Schnittpunkt E 4 displaystyle E 4 nbsp mit B displaystyle B nbsp verbunden Nun zieht man einen Kreisbogen um E 4 displaystyle E 4 nbsp mit dem Radius E 4 O displaystyle overline E 4 O nbsp der die Verbindungslinie E 4 B displaystyle overline E 4 B nbsp in F displaystyle F nbsp schneidet Schliesslich folgt eine Halbgerade ab dem Mittelpunkt O displaystyle O nbsp durch F displaystyle F nbsp bis sie den Umkreis im Eckpunkt E 1 displaystyle E 1 nbsp schneidet Somit ist die erste Seite E 1 B displaystyle overline E 1 B nbsp des entstehenden Sechzehnecks gefunden Nach dem Einzeichnen der restlichen funfzehn Seiten ist das Sechzehneck fertiggestellt Der Mittelpunktswinkel m displaystyle mu nbsp mit der Winkelweite 360 16 22 5 displaystyle frac 360 circ 16 22 5 circ nbsp ergibt sich mithilfe der Innenwinkel des gleichschenkligen Dreiecks O F E 4 displaystyle OFE 4 nbsp O E 4 F 45 displaystyle angle OE 4 F 45 circ nbsp F O E 4 E 4 F O 1 2 180 45 67 5 displaystyle angle FOE 4 angle E 4 FO frac 1 2 cdot left 180 circ 45 circ right 67 5 circ nbsp dd daraus folgt B O F 90 67 5 22 5 displaystyle angle BOF 90 circ 67 5 circ 22 5 circ nbsp dd Eine alternative Konstruktion Bild 2 halbiert den Umkreisradius und einen 45 displaystyle 45 circ nbsp Winkel nbsp Bild 2 Alternative Konstruktion eines regelmassigen Sechzehnecks bei gegebenem Umkreis Animation Bei gegebener Seitenlange Bearbeiten nbsp Bild 3 Sechzehneck bei gegebener Seitenlange siehe Animation Die Konstruktion eines regelmassigen Sechzehnecks bei gegebener Seitenlange Bild 3 ist sehr ahnlich der des Achtecks bei gegebener Seitenlange Zuerst bezeichnet man die Endpunkte der Seitenlange a displaystyle a nbsp mit A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp Es folgen ein Kreisbogen mit dem Radius a displaystyle a nbsp um den Punkt B displaystyle B nbsp und ein zweiter mit gleichem Radius um A displaystyle A nbsp es ergeben sich die Schnittpunkte R displaystyle R nbsp und S displaystyle S nbsp Es geht weiter mit der Halbgeraden ab R displaystyle R nbsp durch S displaystyle S nbsp und der Parallelen zu R S displaystyle overline RS nbsp ab dem Punkt B displaystyle B nbsp die den Kreisbogen um B displaystyle B nbsp in T displaystyle T nbsp schneidet Nun wird der Punkt T displaystyle T nbsp mit A displaystyle A nbsp verbunden es entsteht der Schnittpunkt U displaystyle U nbsp Anschliessend halbiert eine Winkelhalbierende den Winkel T B U displaystyle TBU nbsp sie schneidet die Halbgerade R S displaystyle overline RS nbsp in O displaystyle O nbsp Somit ist der Mittelpunkt O displaystyle O nbsp des entstehenden Sechzehnecks bestimmt Den Mittelpunktswinkel 22 5 displaystyle 22 5 circ nbsp liefert die zweite Halbgerade ab A displaystyle A nbsp durch O displaystyle O nbsp Nach dem Einzeichnen des Umkreises um O displaystyle O nbsp und durch A displaystyle A nbsp ergeben sich die Ecken C displaystyle C nbsp und Q displaystyle Q nbsp des Sechzehnecks Jetzt die noch fehlende Seitenlangen a displaystyle a nbsp auf den Umkreis abtragen und abschliessend die benachbarten Ecken zu einem fertigen Sechzehneck miteinander verbinden Der Mittelpunktswinkel m displaystyle mu nbsp mit der Winkelweite 360 16 22 5 displaystyle frac 360 circ 16 22 5 circ nbsp ergibt sich mithilfe der Innenwinkel des gleichschenkligen Dreiecks B U A displaystyle BUA nbsp B A U 45 displaystyle angle BAU 45 circ nbsp A U B U B A 1 2 180 45 67 5 displaystyle angle AUB angle UBA frac 1 2 cdot left 180 circ 45 circ right 67 5 circ nbsp daraus folgt m T B U A O B 90 67 5 22 5 displaystyle mu angle TBU angle AOB 90 circ 67 5 circ 22 5 circ nbsp Regelmassige uberschlagene Sechzehnecke BearbeitenEin regelmassiges uberschlagenes Sechzehneck ergibt sich wenn beim Verbinden der sechzehn Eckpunkte jedes Mal mindestens einer ubersprungen wird und die somit erzeugten Sehnen gleich lang sind Notiert werden solche regelmassigen Sterne mit Schlafli Symbolen n k displaystyle left n k right nbsp wobei n displaystyle n nbsp die Anzahl der Eckpunkte angibt und jeder k displaystyle k nbsp te Punkt verbunden wird Es gibt nur drei regelmassige Sechzehnstrahlsterne auch Hexadekagramme genannt Die Sterne mit den Schlafli Symbolen 16 2 und 16 14 sind regelmassige Achtecke bzw die mit den Schlafli Symbolen 16 4 und 16 12 sind Quadrate Die Sterne mit den Schlafli Symbolen 16 6 und 16 10 sind Achtersterne auch Oktogramme genannt Regelmassige Sechzehnstrahlsterne nbsp 16 3 16 13 displaystyle left 16 3 right left 16 13 right nbsp nbsp 16 5 16 11 displaystyle left 16 5 right left 16 11 right nbsp nbsp 16 7 16 9 displaystyle left 16 7 right left 16 9 right nbsp Vorkommen BearbeitenKunst Bearbeiten nbsp Der sechzehneckige Turm in Raffaels Vermahlung Maria nbsp Ein sechzehneckiges Kachelmuster der Alhambra im Zentrum der Stern 16 7 16 9 Im Girih Kachelmuster in der Alhambra treten unter anderem auch sechzehneckige Symmetrien auf Im fruhen 16 Jahrhundert war Raffael der erste Maler der eine perspektivische Darstellung eines regelmassigen sechzehneckigen Gebaudes darstellte und zwar in dem Bild Vermahlung Maria 1 Architektur Bearbeiten Sechzehneckig strukturierte Bauwerke sind z B das englische A La Ronde aus dem 18 Jahrhundert der niederlandische Leuchtturm Huisduinen des spaten 19 Jahrhunderts und der ehemalige Panorama Bau in Leipzig Ebenso weisen sakrale Zentralbauten wie insbesondere die Kuppel des Petersdoms in Rom der Aachener Dom in der geometrischen Konzeption seines karolingischen Oktogons zusammen mit dem dieses umgebenden Umgang sowie die sechzehneckige Kapelle im Inneren des Magdeburger Doms 2 eine solche Struktur auf Weblinks Bearbeiten nbsp Commons Sechzehnecke Sammlung von Bildern Videos und Audiodateien Eric W Weisstein Hexadecagon In MathWorld englisch Einzelnachweise Bearbeiten Veroffentlicht in Nexus III Architecture and Mathematics Kim Williams Hrsg Ospedaletto Pisa Pacini Editore 2000 S 147 156 ottostadt magdeburg Die sechzehneckige Kapelle Otto der Grosse im Magdeburger Dom Tourist Information Magdeburg 12 September 2019 abgerufen am 23 September 2019 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Sechzehneck amp oldid 216274648
