Dieser Artikel befasst sich mit der geometrischen Figur Achteck Fur die scherzhaft so bezeichnete Bedurfnisanstalt siehe Cafe Achteck Ein Achteck auch Oktogon oder Oktagon von lat octogonum octagonum octagonon von griech ὀktagwnon oktagōnon ist eine geometrische Figur und ein Vieleck Polygon mit acht Ecken und acht Seiten Achtecke lassen sich wie alle Polygone die keine Dreiecke sind in konvexe konkave und uberschlagene Achtecke einteilen In Variationen wird dies naher beschrieben und im Anschluss daran das regelmassige Achteck ausfuhrlich dargestellt Bild 1Regelmassiges konvexes Achteck Inhaltsverzeichnis 1 Variationen 2 Regelmassiges Achteck 2 1 Formeln 2 2 Flachenberechnung 2 3 Geometrische Konstruktionen 2 3 1 Bei gegebenem Umkreis 2 3 2 Bei gegebener Seitenlange 2 4 Parkettierungen mit regelmassigen Achtecken 2 5 Polyeder mit regelmassigen Achtecken 2 6 Vorkommen 3 Siehe auch 4 Weblinks 5 EinzelnachweiseVariationen Bearbeiten nbsp Bild 3Oben konkaves AchteckUnten uberschlagenes Achteck nbsp Bild 2Unregelmassiges Achteck Das Achteck ist darstellbar als konvexes Achteck in dem alle Innenwinkel kleiner als 180 sind Ein konvexes Achteck kann regelmassig Bild 1 oder unregelmassig Bild 2 sein Das regelmassige Achteck ist bestimmt durch acht Punkte auf einem virtuellen oder realen Kreis Die benachbarten Punkte haben zueinander stets den gleichen Abstand und sind mittels aneinandergereihten Strecken auch Seiten oder Kanten genannt verbunden konkaves Achteck Bild 3 in dem mindestens ein Innenwinkel grosser als 180 ist uberschlagenes Achteck Bild 3 Ein uberschlagenes Achteck kann regelmassig oder unregelmassig sein nbsp Bild 5Sehnenachteck nbsp Bild 4Regelmassiges uberschlagenes AchteckStern 8 3 8 5 displaystyle left 8 3 right left 8 5 right nbsp Das regelmassige uberschlagene Achteck Bild 4 ergibt sich wenn beim Verbinden der acht Eckpunkte jedes Mal mindestens einer ubersprungen wird und die somit erzeugten Sehnen gleich lang sind Notiert werden solche regelmassigen Sterne mit Schlafli Symbolen n k displaystyle left n k right nbsp wobei n displaystyle n nbsp die Anzahl der Eckpunkte angibt und jeder k displaystyle k nbsp te Punkt verbunden wird Es gibt nur einen regelmassigen Achtstrahlstern auch Achterstern oder Oktogramm genannt dd Die Sterne mit den Symbolen 8 2 und 8 6 sind Quadrate Legt man diese zwei Quadrate mit ihren Achs und Diagonallinien ubereinander und dreht sie anschliessend relativ zueinander um 45 siehe die weissen Dreiecke im Stern ergibt sich ein Achtort dd Sehnenachteck Bild 5 in dem alle Ecken auf einem gemeinsamen Umkreis liegen aber die Seitenlangen moglicherweise ungleich sind Ein besonderes Sehnenachteck ist das sog Putnam Achteck das 1978 in der William Lowell Putnam Competition einem bedeutenden Mathematikwettbewerb in den USA als Aufgabe prasentiert wurde 1 Es besitzt vier aufeinanderfolgende Seiten der Langenmasszahl 3 und weitere vier aufeinanderfolgende Seiten der Langenmasszahl 2 Bild 6 Seine Flachenmasszahl betragt nach Umordnung der Teildreiecke und Anwendung des Satzes des Pythagoras Bild 7 2 2 3 2 4 1 2 2 2 12 2 13 displaystyle 2 cdot sqrt 2 3 2 4 cdot frac 1 2 cdot left sqrt 2 right 2 12 cdot sqrt 2 13 nbsp 2 nbsp Bild 7Putnam Achteck nach Umordnung der Teildreiecke nbsp Bild 6Putnam Achteck mit UmkreisRegelmassiges Achteck BearbeitenFormeln Bearbeiten Hauptartikel Regelmassiges Polygon Kenngrossen Mathematische Formeln zum regelmassigen AchteckZentriwinkel a 360 8 45 displaystyle alpha frac 360 circ 8 45 circ nbsp nbsp Innenwinkel d 180 a 135 displaystyle delta 180 circ alpha 135 circ nbsp Inkreisradius r i 1 2 2 a 1 207 a displaystyle r i frac 1 sqrt 2 2 cdot a approx 1 207 cdot a nbsp Umkreisradius r u 1 2 4 2 2 a 1 307 a displaystyle r u frac 1 2 cdot sqrt 4 2 sqrt 2 cdot a approx 1 307 cdot a nbsp Radiusverhaltnis r i r u 3 2 2 4 2 2 0 923 88 displaystyle frac r i r u sqrt frac 3 2 sqrt 2 4 2 sqrt 2 approx 0 92388 nbsp Lange der Diagonalen d 1 2 r u 4 2 2 a 2 613 a displaystyle d 1 2 cdot r mathrm u sqrt 4 2 sqrt 2 cdot a approx 2 613 cdot a nbsp d 2 2 r i 1 2 a 2 414 a displaystyle d 2 2 cdot r mathrm i 1 sqrt 2 cdot a approx 2 414 cdot a nbsp d 3 2 r u 2 2 a 1 848 a displaystyle d 3 sqrt 2 cdot r mathrm u sqrt 2 sqrt 2 cdot a approx 1 848 cdot a nbsp Flacheninhalt A 2 2 2 a 2 4 828 a 2 displaystyle A 2 2 cdot sqrt 2 cdot a 2 approx 4 828 cdot a 2 nbsp A 2 2 r u 2 2 828 r u 2 displaystyle A 2 cdot sqrt 2 cdot r mathrm u 2 approx 2 828 cdot r mathrm u 2 nbsp Flachenberechnung Bearbeiten Zerlege das regelmassige Achteck in 8 gleichschenklige Dreiecke Der von deren Schenkeln eingeschlossene Winkel betragt 360 8 45 Die beiden Basiswinkel des Dreieckes betragen je 67 5 Die Hohe halbiert das gleichschenklige Dreieck Es entsteht durch Einzeichnen der Hohe ein rechtwinkliges Dreieck mit den Winkeln 67 5 22 5 und 90 Folgende Losungsansatze gehen von diesem rechtwinkligen Dreieck aus dabei gilt a displaystyle a nbsp ist die Seitenlange des Achtecks a displaystyle a nbsp ist die halbe Seitenlange des Achtecks r i displaystyle r mathrm i nbsp ist der Radius des Inkreises r u displaystyle r mathrm u nbsp ist der Radius des Umkreises A displaystyle A nbsp ist der Flacheninhalt des Achtecks A displaystyle A nbsp ist der Flacheninhalt des rechtwinkligen Dreiecks Gegeben sei der Radius r i displaystyle r mathrm i nbsp des Inkreises Der gesuchte Schenkel Gegenkathete zum spitzen Winkel lasst sich durch den Tangens von 22 5 ermitteln a r i tan 22 5 displaystyle a r mathrm i cdot tan 22 5 circ nbsp Den Flacheninhalt des rechtwinkligen Dreiecks erhalt man durch A a r i 2 r i tan 22 5 r i 2 r i 2 tan 22 5 2 displaystyle A frac a cdot r mathrm i 2 frac r mathrm i cdot tan 22 5 circ cdot r mathrm i 2 frac r mathrm i 2 cdot tan 22 5 circ 2 nbsp Das gleichschenklige Dreieck hat die doppelte Flache des rechtwinkligen Dreiecks das Achteck die achtfache Flache des gleichschenkligen Dreiecks A 2 8 A 16 r i 2 tan 22 5 2 8 r i 2 tan 22 5 displaystyle A 2 cdot 8 cdot A 16 cdot left frac r mathrm i 2 cdot tan 22 5 circ 2 right 8 cdot r mathrm i 2 cdot tan 22 5 circ nbsp Gegeben sei die Seitenlange a displaystyle a nbsp des Achtecks Analog zur obigen Betrachtung lasst sich der Radius r i displaystyle r mathrm i nbsp des Inkreises mit Hilfe des Tangens von 22 5 ermitteln a displaystyle a nbsp sei die Halfte von a displaystyle a nbsp r i a tan 22 5 displaystyle r mathrm i frac a tan 22 5 circ nbsp Die Flacheninhalt des rechtwinkligen Dreiecks erhalt man durch A a r i 2 a 2 2 tan 22 5 displaystyle A frac a cdot r mathrm i 2 frac a 2 2 cdot tan 22 5 circ nbsp Setzt man A displaystyle A nbsp in die Formel fur die Gesamtflache ein erhalt man A 8 2 A 16 a 2 2 tan 22 5 8 a 2 tan 22 5 2 a 2 tan 22 5 displaystyle A 8 cdot 2 cdot A 16 cdot frac a 2 2 cdot tan 22 5 circ frac 8 cdot a 2 tan 22 5 circ frac 2 cdot a 2 tan 22 5 circ nbsp Gegeben sei der Radius r u displaystyle r mathrm u nbsp des Umkreises Das Verhaltnis a displaystyle a nbsp zu r u displaystyle r mathrm u nbsp entspricht dem Sinus des spitzen Winkels a r u sin 22 5 displaystyle a r mathrm u cdot sin 22 5 circ nbsp Der Radius r i displaystyle r mathrm i nbsp des Inkreises betragt r i a tan 22 5 r u sin 22 5 tan 22 5 r u cos 22 5 displaystyle r mathrm i frac a tan 22 5 circ frac r mathrm u cdot sin 22 5 circ tan 22 5 circ r mathrm u cdot cos 22 5 circ nbsp Die Flacheninhalt des rechtwinkligen Dreiecks erhalt man durch A a r i 2 r u 2 sin 22 5 cos 22 5 2 displaystyle A frac a cdot r mathrm i 2 frac r mathrm u 2 cdot sin 22 5 circ cdot cos 22 5 circ 2 nbsp Setzt man A displaystyle A nbsp in die Formel fur die Gesamtflache ein erhalt man A 8 2 A 16 r u 2 sin 22 5 cos 22 5 2 8 r u 2 sin 22 5 cos 22 5 displaystyle A 8 cdot 2 cdot A 16 cdot left frac r mathrm u 2 cdot sin 22 5 circ cdot cos 22 5 circ 2 right 8 cdot r mathrm u 2 cdot sin 22 5 circ cdot cos 22 5 circ nbsp bzw mit den Additionstheoremen fur die Winkelfunktionen A 4 r u 2 sin 45 displaystyle A 4 cdot r mathrm u 2 cdot sin 45 circ nbsp Geometrische Konstruktionen Bearbeiten Bei gegebenem Umkreis Bearbeiten nbsp Achteck konstruiert aus einem Quadrat Umkreisdurchmesser durch Diagonale d 1 displaystyle d 1 nbsp vorgegeben nbsp Konstruktion eines regelmassigen Achtecks bei gegebenem Umkreis Konstruieren kann man ein regelmassiges Achteck indem man bei einem Quadrat die Symmetrieachsen mithilfe der Mittelsenkrechten M S displaystyle M mathrm S nbsp konstruiert und deren Schnittpunkte mit dem Umkreis mit den Ecken des Quadrats verbindet Eine Alternative zeigt die nebenstehende Animation Bei gegebener Seitenlange Bearbeiten nbsp Konstruktion eines regelmassigen Achtecks bei gegebener Seitenlange siehe Animation Die Konstruktion ist nahezu gleich der des regelmassigen Sechzehnecks bei gegebener Seitenlange Zuerst werden die beiden Endpunkte der Seitenlange a displaystyle a nbsp mit A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp bezeichnet Beide sind Eckpunkte des entstehenden Achtecks Es folgen ein Kreisbogen mit dem Radius a displaystyle a nbsp um den Punkt B displaystyle B nbsp und ein zweiter mit gleichem Radius um den Punkt A displaystyle A nbsp dabei ergeben sich die beiden Schnittpunkte I displaystyle I nbsp und J displaystyle J nbsp Es geht weiter mit der Halbgeraden ab I displaystyle I nbsp durch J displaystyle J nbsp und dem Zeichnen einer Parallelen zu I J displaystyle overline IJ nbsp ab dem Punkt B displaystyle B nbsp die den Kreisbogen um B displaystyle B nbsp in K displaystyle K nbsp schneidet Nun wird der Punkt K displaystyle K nbsp mit A displaystyle A nbsp verbunden dabei entsteht der Schnittpunkt L displaystyle L nbsp Anschliessend wird die Halbgerade ab B displaystyle B nbsp durch L displaystyle L nbsp gezogen dabei schneidet sie die Halbgerade ab I displaystyle I nbsp in M displaystyle M nbsp Somit ist der Mittelpunkt M displaystyle M nbsp des entstehenden Achtecks bestimmt Die zweite Halbgerade ab A displaystyle A nbsp durch M displaystyle M nbsp fuhrt zum Zentriwinkel 45 displaystyle 45 circ nbsp Nach dem Einzeichnen des Umkreises um M displaystyle M nbsp und durch A displaystyle A nbsp ergeben sich die Ecken C E F displaystyle C E F nbsp und H displaystyle H nbsp des Achtecks Jetzt die zwei noch fehlende Seitenlangen a displaystyle a nbsp auf den Umkreis abtragen sie ergeben die Ecken D displaystyle D nbsp und G displaystyle G nbsp und abschliessend die benachbarten Ecken zu einem fertigen Achteck miteinander verbinden Der Mittelpunktswinkel m displaystyle mu nbsp mit der Winkelweite 45 displaystyle 45 circ nbsp ergibt sich aus den ahnlichen Dreiecken D B L A D A B M displaystyle Delta BLA sim Delta ABM nbsp m B A L A M B 45 displaystyle mu angle BAL angle AMB 45 circ nbsp Parkettierungen mit regelmassigen Achtecken Bearbeiten Eine bestimmte archimedische Parkettierung enthalt regelmassige Achtecke und Quadrate Diese Parkettierung ist periodisch drehsymmetrisch und translationssymmetrisch und enthalt ausschliesslich regelmassige Polygone nbsp Archimedische Parkettierung mit regelmassigen Achtecken und QuadratenPolyeder mit regelmassigen Achtecken Bearbeiten Einige Polyeder haben regelmassige Achtecke als Seitenflachen zum Beispiel der Hexaederstumpf und das Grosse Rhombenkuboktaeder Die genannten Polyeder sind archimedische Korper nbsp Hexaederstumpf nbsp Grosses RhombenkuboktaederVorkommen Bearbeiten nbsp Oktogon Architektur nbsp Gartentisch nbsp Cafe Achteck nbsp Reichskrone in der Wiener Schatzkammer nbsp StoppschildSiehe auch BearbeitenSilberner SchnittWeblinks Bearbeiten nbsp Commons Achteck Sammlung von Bildern Videos und Audiodateien nbsp Wiktionary Achteck Bedeutungserklarungen Wortherkunft Synonyme UbersetzungenEinzelnachweise Bearbeiten Putnam Octagon Problem abgerufen am 8 August 2023 Roger B Nelsen Beweise ohne Worte Deutschsprachige Ausgabe herausgegeben von Nicola Oswald Springer Spektrum Springer Verlag Berlin Heidelberg 2016 ISBN 978 3 662 50330 0 Seite 160 Die Flache eines Putnam Achtecks Problem B1 39 William Lowell Putnam Mathematik Wettbewerb 1978 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Achteck amp oldid 236237660
