Das Funfzehneck oder Pentadekagon ist eine geometrische Figur und ein Vieleck Polygon Es ist bestimmt durch funfzehn Eckpunkte und deren funfzehn Verbindungen namens Strecken Seiten oder Kanten Inhaltsverzeichnis 1 Variationen 2 Regelmassiges Funfzehneck 2 1 Grossen 3 Mathematische Zusammenhange 3 1 Innenwinkel 3 2 Zentriwinkel 3 3 Seitenlange und Umkreisradius 3 4 Inkreisradius 3 5 Hohe 3 6 Flacheninhalt 4 Konstruktion mit Zirkel und Lineal bei gegebenem Umkreis 4 1 Berechnung der Seitenlange 4 2 Berechnung des Inkreisradius 5 Konstruktion mit Zirkel und Lineal bei gegebener Seitenlange 5 1 Berechnung des Umkreisradius 6 Der Goldene Schnitt im Funfzehneck 7 Siehe auch 8 Literatur 9 Weblinks 10 EinzelnachweiseVariationen BearbeitenDas Funfzehneck ist darstellbar als konkaves Funfzehneck in dem mindestens ein Innenwinkel grosser als 180 ist Ein Funfzehneck kann hochstens sieben solche Winkel haben konvexes Funfzehneck in dem alle Innenwinkel kleiner als 180 sind Ein konvexes Funfzehneck kann regelmassig oder unregelmassig sein Sehnenfunfzehneck in dem alle Ecken auf einem gemeinsamen Umkreis liegen aber die Seitenlangen moglicherweise ungleich sind regelmassiges Funfzehneck Es ist bestimmt durch funfzehn Punkte auf einem virtuellen oder realen Kreis Die benachbarten Punkte haben zueinander stets den gleichen Abstand und sind mittels aneinandergereihten Strecken auch Seiten oder Kanten genannt verbunden regelmassiges uberschlagenes Funfzehneck Es ergibt sich wenn beim Verbinden der funfzehn Eckpunkte jedes Mal mindestens einer ubersprungen wird und die somit erzeugten Sehnen gleich lang sind Notiert werden solche regelmassigen Sterne mit Schlafli Symbolen n k displaystyle left n k right nbsp wobei n displaystyle n nbsp die Anzahl der Eckpunkte angibt und jeder k displaystyle k nbsp te Punkt verbunden wird Es gibt nur drei regelmassige Funfzehnstrahlsterne Die Sterne mit den Symbolen 15 3 und 15 12 sind regelmassige Funfecke 15 5 und 15 10 gleichseitige Dreiecke und 15 6 und 15 9 regelmassige Pentagramme Regelmassige Funfzehnstrahlsterne nbsp 15 2 15 13 displaystyle left 15 2 right left 15 13 right nbsp nbsp 15 4 15 11 displaystyle left 15 4 right left 15 11 right nbsp nbsp 15 7 15 8 displaystyle left 15 7 right left 15 8 right nbsp Regelmassiges Funfzehneck BearbeitenDas regelmassige Funfzehneck ist nach Carl Friedrich Gauss und Pierre Laurent Wantzel ein konstruierbares Polygon da die Anzahl seiner Seiten als Produkt einer Zweierpotenz mit paarweise voneinander verschiedenen Fermatschen Primzahlen 15 2 0 3 5 displaystyle 15 2 0 cdot 3 cdot 5 nbsp darstellbar ist 1 Wie beim regelmassigen Funfeck ist der Goldene Schnitt der massgebende Baustein fur eine Konstruktion mit Zirkel und Lineal Grossen Bearbeiten Grossen eines regelmassigen FunfzehnecksInnenwinkel a n 2 n 180 13 15 180 156 displaystyle begin aligned alpha amp frac n 2 n cdot 180 circ frac 13 15 cdot 180 circ amp 156 circ end aligned nbsp nbsp Zentriwinkel Mittelpunktswinkel m 360 15 m 24 displaystyle begin aligned mu amp frac 360 circ 15 mu amp 24 circ end aligned nbsp Seitenlange a R 2 sin 180 15 2 R sin 12 1 4 R 10 2 5 3 15 0 416 R displaystyle begin aligned a amp R cdot 2 cdot sin left frac 180 circ 15 right 2 cdot R cdot sin 12 circ amp frac 1 4 cdot R cdot left sqrt 10 2 cdot sqrt 5 sqrt 3 sqrt 15 right approx 0 416 cdot R end aligned nbsp Umkreisradius R a 2 sin 180 15 a 2 sin 12 1 2 a 5 2 5 3 2 405 a displaystyle begin aligned R amp frac a 2 cdot sin left frac 180 circ 15 right frac a 2 cdot sin 12 circ amp frac 1 2 cdot a cdot left sqrt 5 2 cdot sqrt 5 sqrt 3 right approx 2 405 cdot a end aligned nbsp Inkreisradius r a 1 2 cot 180 15 a 1 2 cot 12 1 4 a 10 2 5 15 3 2 352 a displaystyle begin aligned r amp a cdot frac 1 2 cdot cot left frac 180 circ 15 right a cdot frac 1 2 cdot cot 12 circ amp frac 1 4 cdot a cdot left sqrt 10 2 cdot sqrt 5 sqrt 15 sqrt 3 right approx 2 352 cdot a end aligned nbsp Hohe h r R 4 757 a displaystyle begin aligned h amp r R approx 4 757 cdot a end aligned nbsp Flacheninhalt A 15 4 a 2 cot 180 15 15 4 a 2 cot 12 15 8 a 2 10 2 5 15 3 17 642 a 2 displaystyle begin aligned A amp frac 15 4 cdot a 2 cdot cot left frac 180 circ 15 right frac 15 4 cdot a 2 cdot cot 12 circ amp frac 15 8 cdot a 2 cdot left sqrt 10 2 cdot sqrt 5 sqrt 15 sqrt 3 right approx 17 642 cdot a 2 end aligned nbsp Mathematische Zusammenhange BearbeitenInnenwinkel Bearbeiten Die allgemeine Formel fur Polygone liefert a n 2 n 180 15 2 15 180 13 15 180 156 displaystyle alpha frac n 2 n cdot 180 circ frac 15 2 15 cdot 180 circ frac 13 15 cdot 180 circ 156 circ nbsp Dieser Wert lasst sich auch durch folgende Uberlegungen herleiten Das Funfzehneck lasst sich in funfzehn Dreiecke teilen deren Seiten jeweils eine Seite des Funfzehnecks a displaystyle a nbsp und die Verbindungsstrecken seines Mittelpunktes mit den zwei Endpunkten der Seite sind Die Winkel am Mittelpunkt des Funfzehnecks addieren sich zu 360 displaystyle 360 circ text nbsp sein Zentriwinkel betragt also 24 displaystyle 24 circ text nbsp Da die Winkelsumme in einem Dreieck immer 180 displaystyle 180 circ nbsp betragt und das Dreieck gleichschenklig und damit symmetrisch zur Halbierenden des Zentriwinkels ist schliessen die beiden unbekannten Winkel jeweils 180 24 2 78 displaystyle frac 180 circ 24 circ 2 78 circ nbsp ein Da das fur alle funfzehn Dreiecke gilt addieren sich die beiden Winkel an einem Eckpunkt zu 156 displaystyle 156 circ nbsp Zentriwinkel Bearbeiten Der Zentriwinkel oder Mittelpunktswinkel m displaystyle mu nbsp wird von zwei benachbarten Umkreisradien R displaystyle R nbsp eingeschlossen In der allgemeinen Formel ist fur die Variable n displaystyle n nbsp die Zahl 15 displaystyle 15 nbsp einzusetzen m 360 n 360 15 24 displaystyle mu frac 360 circ n frac 360 circ 15 24 circ nbsp Seitenlange und Umkreisradius Bearbeiten Wieder wird das Funfzehneck in 15 kongruente Dreiecke zerlegt Nimmt man die Halfte eines solchen Dreiecks also ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seiten a 2 displaystyle frac a 2 nbsp R displaystyle R nbsp und r displaystyle r nbsp sowie mit dem halben Zentriwinkel 24 2 12 displaystyle frac 24 circ 2 12 circ nbsp so gilt sin 12 a 2 R a 2 R displaystyle sin 12 circ frac frac a 2 R frac a 2 cdot R nbsp Aus dieser Beziehung folgt a 2 R sin 12 0 416 R displaystyle a 2 cdot R cdot sin 12 circ approx 0 416 cdot R nbsp Lost man nach R displaystyle R nbsp auf so erhalt man R a 2 sin 12 2 405 a displaystyle R frac a 2 cdot sin 12 circ approx 2 405 cdot a nbsp Algebraische Ausdrucke fur a displaystyle a nbsp bzw R displaystyle R nbsp finden sich in den Abschnitten Berechnung der Seitenlange und Berechnung des Umkreisradius Inkreisradius Bearbeiten Auch der Inkreisradius r displaystyle r nbsp lasst sich mithilfe eines halbierten Bestimmungsdreiecks ermitteln Es ergibt sich tan 12 a 2 r a 2 r displaystyle tan left 12 circ right frac frac a 2 r frac a 2 cdot r nbsp Durch Multiplikation mit 2 r displaystyle 2 cdot r nbsp erhalt man 2 r tan 12 a displaystyle 2 cdot r cdot tan left 12 circ right a nbsp und weiter r a 2 tan 12 displaystyle r frac a 2 cdot tan left 12 circ right nbsp wegen 1 tan 12 cot 12 displaystyle frac 1 tan left 12 circ right cot left 12 circ right nbsp gilt auch r a 1 2 cot 12 displaystyle r a cdot frac 1 2 cdot cot left 12 circ right nbsp Algebraische Ausdrucke fur cot 12 displaystyle cot left 12 circ right nbsp bzw r displaystyle r nbsp finden sich im Abschnitt Berechnung des Inkreisradius Hohe Bearbeiten Die Hohe h eines regelmassigen Funfzehneckes ist die Summe aus In und Umkreisradius da die Verlangerung der Hohe eines Teilstuckes uber den Mittelpunkt des Funfzehnecks hinaus auf einen Eckpunkt trifft h R r a 2 sin 12 a 2 tan 12 4 757 a displaystyle h R r frac a 2 cdot sin 12 circ frac a 2 cdot tan 12 circ approx 4 757 cdot a nbsp Flacheninhalt Bearbeiten Der Flacheninhalt eines Dreiecks berechnet sich zu A D 1 2 a h a displaystyle A Delta frac 1 2 cdot a cdot h a nbsp Fur eines der 15 Bestimmungsdreiecke ist die Hohe h a displaystyle h a nbsp gleich dem Inkreisradius r displaystyle r nbsp Der Flacheninhalt des gesamten Funfzehnecks betragt also A 15 2 a r displaystyle A frac 15 2 cdot a cdot r nbsp Zusammen mit dem in Berechnung des Inkreisradius hergeleiteten Ausdruck fur r displaystyle r nbsp folgt daraus A 15 2 a 1 4 a 10 2 5 15 3 15 8 a 2 10 2 5 15 3 17 642 a 2 displaystyle A frac 15 2 cdot a cdot frac 1 4 cdot a cdot left sqrt 10 2 sqrt 5 sqrt 15 sqrt 3 right frac 15 8 cdot a 2 cdot left sqrt 10 2 sqrt 5 sqrt 15 sqrt 3 right approx 17 642 cdot a 2 nbsp Konstruktion mit Zirkel und Lineal bei gegebenem Umkreis BearbeitenIn der hier dargestellten Konstruktion werden ein gleichseitiges Dreieck B E 1 E 6 displaystyle BE 1 E 6 nbsp Schritte 1 3 und die ersten vier Punkte eines regelmassigen Funfecks B E 14 E 2 E 5 E 8 displaystyle BE 14 E 2 E 5 E 8 nbsp Schritte 4 6 in den gegebenen Umkreis eingepasst E 1 E 2 displaystyle overline E 1 E 2 nbsp ist dann die Seite eines regelmassigen Funfzehnecks im gegebenen Umkreis Diese Art der Konstruktion beschrieb schon Euklid in seinem Werk Elemente Die Stoicheia im IV Buch die Konstruktionsdetails des Dreiecks und Funfecks weichen jedoch von seiner Konstruktion ab 2 Das Bestimmen der ersten Seite des Funfzehnecks entspricht der Darstellung von Johannes Kepler 3 A B displaystyle overline AB nbsp bezeichnet die Strecke zwischen den Punkten A displaystyle A nbsp und B displaystyle B text nbsp nbsp Konstruktionsskizze nbsp Animation der Skizze Ist ein Kreis k 1 displaystyle k 1 nbsp der Umkreis um das entstehende Funfzehneck um den Mittelpunkt M displaystyle M nbsp gegeben lasst sich ein regelmassiges Funfzehneck konstruieren durch Zeichnen eines Durchmessers Schnittpunkte mit k 1 displaystyle k 1 nbsp sind A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp Konstruktion eines Radius der orthogonal zu A B displaystyle overline AB nbsp steht Schnittpunkt mit k 1 displaystyle k 1 nbsp ist C displaystyle C nbsp Konstruktion eines Kreisbogens um A displaystyle A nbsp mit dem Radius A M displaystyle overline AM nbsp Schnittpunkte mit k 1 displaystyle k 1 nbsp sind E 1 displaystyle E 1 nbsp und E 6 displaystyle E 6 nbsp Zeichnen von E 1 E 6 displaystyle overline E 1 E 6 nbsp Schnittpunkt mit A B displaystyle overline AB nbsp ist F displaystyle F nbsp Zeichnen eines Kreisbogens um F displaystyle F nbsp mit dem Radius F C displaystyle overline FC nbsp Schnittpunkt mit A B displaystyle overline AB nbsp ist G displaystyle G nbsp viermaliges Abtragen der Strecke C G displaystyle overline CG nbsp auf k 1 displaystyle k 1 nbsp ab B displaystyle B nbsp entgegen dem Uhrzeigersinn Schnittpunkte mit k 1 displaystyle k 1 nbsp sind E 14 displaystyle E 14 nbsp E 2 displaystyle E 2 nbsp E 5 displaystyle E 5 nbsp und E 8 displaystyle E 8 nbsp die Verbindung der Eckpunkte E 1 displaystyle E 1 nbsp mit E 2 displaystyle E 2 nbsp ergibt die erste Seite des entstehenden Funfzehnecks achtmaliges Abtragen der Sehne E 1 E 2 displaystyle overline E 1 E 2 nbsp von k 1 displaystyle k 1 nbsp auf k 1 displaystyle k 1 nbsp ab E 2 displaystyle E 2 nbsp entgegen dem Uhrzeigersinn die Schnittpunkte mit k 1 displaystyle k 1 nbsp sind die restlichen Eckpunkte E 3 displaystyle E 3 nbsp E 4 displaystyle E 4 nbsp E 7 displaystyle E 7 nbsp E 9 displaystyle E 9 nbsp E 10 displaystyle E 10 nbsp E 12 displaystyle E 12 nbsp E 13 displaystyle E 13 nbsp und E 15 displaystyle E 15 nbsp des Funfzehnecks Verbinden der so gefundenen Punkte Berechnung der Seitenlange Bearbeiten Die in obiger Tabelle angegebene Formel a 1 4 R 10 2 5 3 15 displaystyle a frac 1 4 cdot R cdot left sqrt 10 2 cdot sqrt 5 sqrt 3 sqrt 15 right nbsp fur die Seitenlange leitet sich wie folgt her nbsp 1 displaystyle mathsf 1 nbsp Gleichseitiges Dreieck A M E 1 displaystyle AME 1 nbsp 1 1 M E 1 R displaystyle mathsf 1 1 overline ME 1 R nbsp Umkreisradius 1 2 A M M E 1 A E 1 R displaystyle mathsf 1 2 overline AM overline ME 1 overline AE 1 R nbsp nach Konstruktion Schritt 3 1 3 F M 1 2 R displaystyle mathsf 1 3 overline FM frac 1 2 cdot R nbsp 2 displaystyle mathsf 2 nbsp Rechtwinkliges Dreieck F M E 1 displaystyle FME 1 nbsp Es gilt nach dem Satz des Pythagoras M E 1 2 F M 2 F E 1 2 displaystyle overline ME 1 2 overline FM 2 overline FE 1 2 nbsp 2 1 F E 1 M E 1 2 F M 2 R 2 1 2 R 2 R 2 1 4 R 2 3 4 R 2 R 3 4 R 3 2 displaystyle begin aligned 2 1 overline FE 1 amp sqrt overline ME 1 2 overline FM 2 sqrt R 2 left frac 1 2 cdot R right 2 sqrt R 2 frac 1 4 cdot R 2 amp sqrt frac 3 4 cdot R 2 R cdot sqrt frac 3 4 R cdot frac sqrt 3 2 end aligned nbsp nbsp 3 displaystyle mathsf 3 nbsp Rechtwinkliges Dreieck F M C displaystyle FMC nbsp Es gilt nach dem Satz des Pythagoras F C 2 F M 2 M C 2 displaystyle overline FC 2 overline FM 2 overline MC 2 nbsp 3 1 F C F M 2 M C 2 1 2 R 2 R 2 5 4 R 2 R 5 2 displaystyle mathsf 3 1 overline FC sqrt overline FM 2 overline MC 2 sqrt left frac 1 2 cdot R right 2 R 2 sqrt frac 5 4 cdot R 2 R cdot frac sqrt 5 2 nbsp 3 2 F G F C R 5 2 displaystyle mathsf 3 2 overline FG overline FC R cdot frac sqrt 5 2 nbsp nach Konstruktion Schritt 5 nbsp 4 displaystyle mathsf 4 nbsp Rechtwinkliges Dreieck A B E 2 displaystyle ABE 2 nbsp A B E 2 displaystyle angle ABE 2 nbsp bezeichnet den von A B displaystyle overline AB nbsp und B E 2 displaystyle overline BE 2 nbsp eingeschlossenen Winkel b displaystyle beta nbsp 4 1 M G F G F M R 5 2 1 2 R R 5 1 2 displaystyle mathsf 4 1 overline MG overline FG overline FM R cdot frac sqrt 5 2 frac 1 2 cdot R R cdot frac sqrt 5 1 2 nbsp 4 2 A E 2 M G R 5 1 2 displaystyle mathsf 4 2 overline AE 2 overline MG R cdot frac sqrt 5 1 2 nbsp Nach dem Satz des Thales ist das Dreieck A B E 2 displaystyle ABE 2 nbsp rechtwinklig wieder gilt nach dem Satz des Pythagoras A B 2 A E 2 2 B E 2 2 displaystyle overline AB 2 overline AE 2 2 overline BE 2 2 nbsp 4 3 B E 2 A B 2 A E 2 2 2 R 2 R 5 1 2 2 4 R 2 R 2 5 1 2 4 R 4 5 1 2 4 R 16 4 5 2 5 1 4 R 10 2 5 4 R 1 4 10 2 5 R 1 2 2 5 5 displaystyle begin aligned mathsf 4 3 overline BE 2 amp sqrt overline AB 2 overline AE 2 2 sqrt 2 cdot R 2 left R cdot frac sqrt 5 1 2 right 2 sqrt 4 cdot R 2 R 2 cdot frac left sqrt 5 1 right 2 4 amp R cdot sqrt 4 frac left sqrt 5 1 right 2 4 R cdot sqrt frac 16 4 frac left 5 2 cdot sqrt 5 1 right 4 R cdot sqrt frac 10 2 cdot sqrt 5 4 amp R cdot sqrt frac 1 4 cdot left 10 2 cdot sqrt 5 right R cdot frac 1 2 cdot sqrt 2 cdot left 5 sqrt 5 right end aligned nbsp 4 4 sin b A E 2 A B R 1 2 5 1 2 R 1 4 5 1 sin 18 A B E 2 b 18 displaystyle begin aligned mathsf 4 4 sin left beta right amp frac overline AE 2 overline AB frac R cdot frac 1 2 cdot left sqrt 5 1 right 2 cdot R frac 1 4 cdot left sqrt 5 1 right sin left 18 circ right amp Rightarrow angle ABE 2 beta 18 circ end aligned nbsp 4 5 cos b B E 2 A B R 1 2 2 5 5 2 R 1 4 2 5 5 cos 18 displaystyle begin aligned mathsf 4 5 cos left beta right amp frac overline BE 2 overline AB frac R cdot frac 1 2 cdot sqrt 2 cdot left 5 sqrt 5 right 2 cdot R frac 1 4 cdot sqrt 2 cdot left 5 sqrt 5 right cos left 18 circ right end aligned nbsp nbsp 5 displaystyle mathsf 5 nbsp Gleichschenkliges Dreieck E 1 E 2 M displaystyle E 1 E 2 M nbsp 5 1 E 1 E 2 a displaystyle mathsf 5 1 overline E 1 E 2 a nbsp Seitenlange 5 2 H M E 2 1 2 m 12 displaystyle mathsf 5 2 angle HME 2 frac 1 2 cdot mu 12 circ nbsp 5 3 sin 18 1 4 5 1 displaystyle mathsf 5 3 sin left 18 circ right frac 1 4 cdot left sqrt 5 1 right nbsp aus 4 4 5 4 cos 18 1 4 2 5 5 displaystyle mathsf 5 4 cos left 18 circ right frac 1 4 cdot sqrt 2 cdot left 5 sqrt 5 right nbsp aus 4 5 Zur Berechnung der Seitenlange benotigt man den Wert von sin 12 displaystyle sin 12 circ nbsp der sich mithilfe der Additionstheoreme berechnen lasst 6 sin 12 sin 30 18 sin 30 cos 18 cos 30 sin 18 1 2 1 4 2 5 5 1 2 3 1 4 5 1 1 8 10 2 5 3 15 displaystyle begin aligned mathsf 6 sin 12 circ amp sin 30 circ 18 circ amp sin 30 circ cdot cos left 18 circ right cos left 30 circ right cdot sin left 18 circ right amp frac 1 2 cdot frac 1 4 cdot sqrt 2 cdot left 5 sqrt 5 right frac 1 2 cdot sqrt 3 cdot frac 1 4 cdot left sqrt 5 1 right amp frac 1 8 left sqrt 10 2 cdot sqrt 5 sqrt 3 sqrt 15 right end aligned nbsp Damit ergibt sich fur die Seitenlange 7 a 2 R sin 12 2 R 1 8 10 2 5 3 15 1 4 R 10 2 5 3 15 displaystyle begin aligned mathsf 7 a amp 2 cdot R cdot sin left 12 circ right amp 2 cdot R cdot frac 1 8 left sqrt 10 2 cdot sqrt 5 sqrt 3 sqrt 15 right amp frac 1 4 cdot R cdot left sqrt 10 2 cdot sqrt 5 sqrt 3 sqrt 15 right end aligned nbsp Berechnung des Inkreisradius Bearbeiten Die in obiger Tabelle angegebene Formel r 1 4 a 10 2 5 15 3 displaystyle r frac 1 4 cdot a cdot left sqrt 10 2 cdot sqrt 5 sqrt 15 sqrt 3 right nbsp fur den Inkreisradius leitet sich wie folgt her nbsp 1 displaystyle mathsf 1 nbsp Rechtwinkliges Dreieck M H E 2 displaystyle MHE 2 nbsp 1 1 M H r a 1 2 cot 12 displaystyle mathsf 1 1 overline MH r a cdot frac 1 2 cdot cot left 12 circ right nbsp aus Mathematische Zusammenhange Inkreisradius 1 2 H M E 2 1 2 m 12 displaystyle mathsf 1 2 angle HME 2 frac 1 2 cdot mu 12 circ nbsp 1 3 sin 12 1 8 10 2 5 3 15 displaystyle mathsf 1 3 sin left 12 circ right frac 1 8 left sqrt 10 2 cdot sqrt 5 sqrt 3 sqrt 15 right nbsp aus Berechnung der Seitenlange 6 1 Zur Berechnung des Inkreisradius benotigt man fur den Term cot 12 cos 12 sin 12 displaystyle cot 12 circ frac cos 12 circ sin 12 circ nbsp zuerst den Wert von cos 12 displaystyle cos 12 circ nbsp der sich mithilfe der Additionstheoreme berechnen lasst 2 cos 12 cos 30 18 cos 30 cos 18 sin 30 sin 18 1 2 3 1 4 2 5 5 1 2 1 4 5 1 1 8 3 10 2 5 1 8 5 1 1 8 30 6 5 5 1 displaystyle begin aligned mathsf 2 cos 12 circ amp cos 30 circ 18 circ amp cos 30 circ cdot cos left 18 circ right sin left 30 circ right cdot sin left 18 circ right amp frac 1 2 cdot sqrt 3 cdot frac 1 4 cdot sqrt 2 cdot left 5 sqrt 5 right frac 1 2 cdot frac 1 4 cdot left sqrt 5 1 right amp frac 1 8 cdot left sqrt 3 left sqrt 10 2 cdot sqrt 5 right right frac 1 8 cdot left sqrt 5 1 right amp frac 1 8 cdot left sqrt 30 6 sqrt 5 sqrt 5 1 right end aligned nbsp Die folgende hergeleitete Beziehung lasst sich zur Umformung von Rechenausdrucken verwenden 3 10 2 5 5 1 5 2 5 displaystyle begin aligned mathsf 3 sqrt 10 2 sqrt 5 amp sqrt 5 1 sqrt 5 2 sqrt 5 end aligned nbsp denn es gilt 3 1 5 1 5 2 5 5 1 2 5 2 5 5 2 5 1 5 2 5 6 2 5 5 2 5 30 12 5 10 5 20 10 2 5 displaystyle begin aligned mathsf 3 1 sqrt 5 1 sqrt 5 2 sqrt 5 amp sqrt sqrt 5 1 2 5 2 sqrt 5 amp sqrt 5 2 sqrt 5 1 5 2 sqrt 5 amp sqrt 6 2 sqrt 5 5 2 sqrt 5 amp sqrt 30 12 sqrt 5 10 sqrt 5 20 amp sqrt 10 2 sqrt 5 end aligned nbsp 4 sin 12 1 8 10 2 5 3 15 aus 1 3 1 8 5 1 5 2 5 3 5 1 nach 3 1 8 5 1 5 2 5 3 displaystyle begin aligned mathsf 4 sin left 12 circ right amp frac 1 8 left sqrt 10 2 sqrt 5 sqrt 3 sqrt 15 right qquad mbox aus 1 3 amp frac 1 8 left sqrt 5 1 sqrt 5 2 sqrt 5 sqrt 3 sqrt 5 1 right qquad mbox nach 3 amp frac 1 8 sqrt 5 1 left sqrt 5 2 sqrt 5 sqrt 3 right end aligned nbsp 5 cos 12 1 8 30 6 5 5 1 aus 2 1 8 3 10 2 5 5 1 1 8 3 5 1 5 2 5 5 1 nach 3 1 8 5 1 3 5 2 5 1 displaystyle begin aligned mathsf 5 cos left 12 circ right amp frac 1 8 left sqrt 30 6 sqrt 5 sqrt 5 1 right qquad mbox aus 2 amp frac 1 8 left sqrt 3 sqrt 10 2 sqrt 5 sqrt 5 1 right amp frac 1 8 left sqrt 3 sqrt 5 1 sqrt 5 2 sqrt 5 sqrt 5 1 right qquad mbox nach 3 amp frac 1 8 sqrt 5 1 left sqrt 3 sqrt 5 2 sqrt 5 1 right end aligned nbsp Zur abschliessenden Berechnung des Inkreisradius wird nun der Wert von cot 12 displaystyle cot left 12 circ right nbsp ermittelt 6 cot 12 cos 12 sin 12 1 8 5 1 15 6 5 1 1 8 5 1 5 2 5 3 15 6 5 1 5 2 5 3 displaystyle begin aligned mathsf 6 cot left 12 circ right amp frac cos left 12 circ right sin left 12 circ right amp frac frac 1 8 sqrt 5 1 left sqrt 15 6 sqrt 5 1 right frac 1 8 sqrt 5 1 left sqrt 5 2 sqrt 5 sqrt 3 right amp frac sqrt 15 6 sqrt 5 1 sqrt 5 2 sqrt 5 sqrt 3 end aligned nbsp Aus Grunden der besseren Ubersicht sind acht dazwischenliegende Berechnungsschritte nur im Bearbeitungsmodus sichtbar cot 12 2 15 2 3 2 5 2 5 5 1 4 15 3 10 2 5 2 nach 3 1 2 10 2 5 15 3 displaystyle begin aligned cot left 12 circ right amp frac 2 sqrt 15 2 sqrt 3 2 sqrt 5 2 sqrt 5 sqrt 5 1 4 amp frac sqrt 15 sqrt 3 sqrt 10 2 sqrt 5 2 qquad mbox nach 3 amp frac 1 2 left sqrt 10 2 sqrt 5 sqrt 15 sqrt 3 right end aligned nbsp Damit ergibt sich fur den Inkreisradius r displaystyle r nbsp 7 r a 1 2 cot 12 a 1 2 1 2 10 2 5 15 3 1 4 a 10 2 5 15 3 displaystyle begin aligned mathsf 7 r amp a cdot frac 1 2 cdot cot left 12 circ right amp a cdot frac 1 2 cdot frac 1 2 cdot left sqrt 10 2 cdot sqrt 5 sqrt 15 sqrt 3 right amp frac 1 4 cdot a cdot left sqrt 10 2 cdot sqrt 5 sqrt 15 sqrt 3 right end aligned nbsp Konstruktion mit Zirkel und Lineal bei gegebener Seitenlange BearbeitenDie Konstruktion ist nahezu gleich mit der des Funfecks bei gegebener Seitenlange auch darin gelingt die Darstellung mittels Verlangerung der Seite und einer damit generierten Strecke hier F E 2 displaystyle overline FE 2 text nbsp die nach dem Goldenen Schnitt aussere Teilung geteilt ist E 1 E 2 displaystyle overline E 1 E 2 nbsp bezeichnet die Strecke zwischen den Punkten E 1 displaystyle E 1 nbsp und E 2 displaystyle E 2 text nbsp nbsp Konstruktionsskizze nbsp Animation der Skizze Ist eine Seite eines Funfzehnecks gegeben lasst sich ein regelmassiges Funfzehneck konstruieren durch Bezeichnen der Streckenenden mit E 1 displaystyle E 1 nbsp und E 2 displaystyle E 2 nbsp beide sind Eckpunkte des entstehenden Funfzehnecks Verlangern der Strecke E 1 E 2 displaystyle overline E 1 E 2 nbsp ab E 1 displaystyle E 1 nbsp um ca einer Lange dieser Strecke Zeichnen eines Kreisbogens um E 1 displaystyle E 1 nbsp mit dem Radius E 1 E 2 displaystyle overline E 1 E 2 nbsp Konstruktion einer Senkrechten zur Strecke E 1 E 2 displaystyle overline E 1 E 2 nbsp ab E 1 displaystyle E 1 nbsp Schnittpunkt mit dem Kreisbogen um E 1 displaystyle E 1 nbsp ist A displaystyle A nbsp Zeichnen eines Kreisbogens um E 2 displaystyle E 2 nbsp mit dem Radius E 1 E 2 displaystyle overline E 1 E 2 nbsp Schnittpunkte mit Kreisbogen um E 1 displaystyle E 1 nbsp sind B displaystyle B nbsp und C displaystyle C nbsp Zeichnen einer geraden Linie ab C displaystyle C nbsp durch B displaystyle B nbsp Mittelsenkrechte von E 1 E 2 displaystyle overline E 1 E 2 nbsp die etwas mehr als dreimal so lang wie B C displaystyle overline BC nbsp ist Schnittpunkt mit E 1 E 2 displaystyle overline E 1 E 2 nbsp ist D displaystyle D nbsp Zeichnen eines Kreisbogens um D displaystyle D nbsp mit dem Radius D A displaystyle overline DA nbsp Schnittpunkt mit Verlangerung der Strecke E 1 E 2 displaystyle overline E 1 E 2 nbsp ist F displaystyle F nbsp Zeichnen eines Kreisbogens um E 2 displaystyle E 2 nbsp mit dem Radius E 2 F displaystyle overline E 2 F nbsp Schnittpunkt mit der geraden Linie ab C displaystyle C nbsp durch B displaystyle B nbsp ist G displaystyle G nbsp Zeichnen eines kurzen Kreisbogens um E 2 displaystyle E 2 nbsp mit dem Radius C G displaystyle overline CG nbsp Schnittpunkt mit Verlangerung der Strecke C B displaystyle overline CB nbsp ist M displaystyle M nbsp der Mittelpunkt des Umkreises des entstehenden Funfzehnecks Zeichnen des Umkreises k 1 displaystyle k 1 nbsp um M displaystyle M nbsp mit dem Radius M E 2 displaystyle overline ME 2 nbsp Schnittpunkt mit dem Kreisbogen um E 2 displaystyle E 2 nbsp ist Eckpunkt E 3 displaystyle E 3 nbsp elfmaliges Abtragen der Sehne E 1 E 2 displaystyle overline E 1 E 2 nbsp von k 1 displaystyle k 1 nbsp auf k 1 displaystyle k 1 nbsp Schnittpunkte mit k 1 displaystyle k 1 nbsp sind die Eckpunkte E 3 15 displaystyle E 3 dotsc 15 nbsp des Funfzehnecks Verbinden der so gefundenen Eckpunkte Berechnung des Umkreisradius Bearbeiten Die in obiger Tabelle angegebene Formel R a 1 2 5 2 5 3 displaystyle R a cdot frac 1 2 cdot left sqrt 5 2 cdot sqrt 5 sqrt 3 right nbsp fur den Umkreisradius leitet sich wie folgt her nbsp 1 E 1 E 2 E 1 A C E 2 a displaystyle mathsf 1 overline E 1 E 2 overline E 1 A overline CE 2 a nbsp Seitenlange 2 D E 1 D E 2 1 2 a displaystyle mathsf 2 overline DE 1 overline DE 2 frac 1 2 cdot a nbsp 3 displaystyle mathsf 3 nbsp Rechtwinkliges Dreieck A E 1 D displaystyle AE 1 D nbsp Es gilt nach dem Satz des Pythagoras D A 2 E 1 A 2 D E 1 2 displaystyle overline DA 2 overline E 1 A 2 overline DE 1 2 nbsp 3 1 D A E 1 A 2 D E 1 2 a 2 1 2 2 a 2 a 1 1 4 a 5 2 displaystyle mathsf 3 1 overline DA sqrt overline E 1 A 2 overline DE 1 2 sqrt a 2 left frac 1 2 right 2 cdot a 2 a cdot sqrt 1 frac 1 4 a cdot frac sqrt 5 2 nbsp 3 2 D F D A a 5 2 displaystyle mathsf 3 2 overline DF overline DA a cdot frac sqrt 5 2 nbsp nach Konstruktion Schritt 7 4 E 1 F D F D E 1 a 5 2 a 1 2 a 5 2 1 2 a 1 2 5 1 displaystyle mathsf 4 overline E 1 F overline DF overline DE 1 a cdot frac sqrt 5 2 a cdot frac 1 2 a cdot left frac sqrt 5 2 frac 1 2 right a cdot frac 1 2 cdot left sqrt 5 1 right nbsp 5 E 2 F a E 1 F a a 1 2 5 1 a 1 1 2 5 1 a 1 5 2 1 2 a 1 2 5 2 displaystyle begin aligned mathsf 5 overline E 2 F amp a overline E 1 F a a cdot frac 1 2 cdot left sqrt 5 1 right a cdot left 1 frac 1 2 cdot left sqrt 5 1 right right amp a cdot left 1 frac sqrt 5 2 frac 1 2 right a cdot left frac 1 2 frac sqrt 5 2 right end aligned nbsp 5 1 E 2 G E 2 F a 1 2 5 2 displaystyle mathsf 5 1 overline E 2 G overline E 2 F a cdot left frac 1 2 frac sqrt 5 2 right nbsp nach Konstruktion Schritt 8 nbsp 6 displaystyle mathsf 6 nbsp Rechtwinkliges Dreieck D E 2 G displaystyle DE 2 G nbsp Es gilt nach dem Satz des Pythagoras E 2 G 2 D E 2 2 D G 2 displaystyle overline E 2 G 2 overline DE 2 2 overline DG 2 nbsp 6 1 D G E 2 G 2 D E 2 2 a 2 1 2 5 2 2 a 2 1 2 2 a 1 2 5 2 2 1 2 2 a 1 4 5 2 5 4 1 4 a 5 4 2 5 4 a 1 4 5 2 5 a 1 2 5 2 5 displaystyle begin aligned 6 1 overline DG amp sqrt overline E 2 G 2 overline DE 2 2 sqrt a 2 cdot left frac 1 2 frac sqrt 5 2 right 2 a 2 cdot left frac 1 2 right 2 a cdot sqrt left frac 1 2 frac sqrt 5 2 right 2 left frac 1 2 right 2 amp a cdot sqrt frac 1 4 frac sqrt 5 2 frac 5 4 frac 1 4 a cdot sqrt frac 5 4 frac 2 cdot sqrt 5 4 a cdot sqrt frac 1 4 cdot left 5 2 cdot sqrt 5 right a cdot frac 1 2 cdot sqrt 5 2 cdot sqrt 5 end aligned nbsp 7 displaystyle mathsf 7 nbsp Rechtwinkliges Dreieck D C E 2 displaystyle DCE 2 nbsp Es gilt nach dem Satz des Pythagoras C E 2 2 D E 2 2 D C 2 displaystyle overline CE 2 2 overline DE 2 2 overline DC 2 nbsp 7 1 D C C E 2 2 D E 2 2 a 2 a 2 1 2 2 a 1 1 4 a 3 4 a 3 2 displaystyle 7 1 overline DC sqrt overline CE 2 2 overline DE 2 2 sqrt a 2 a 2 cdot left frac 1 2 right 2 a cdot sqrt left 1 frac 1 4 right a cdot sqrt frac 3 4 a cdot frac sqrt 3 2 nbsp Nach Konstruktion Schritt 9 gilt fur den Umkreisradius R displaystyle R nbsp 8 R E 2 M C G D G D C a 1 2 5 2 5 a 3 2 a 1 2 5 2 5 3 2 405 a displaystyle begin aligned 8 R amp overline E 2 M overline CG amp overline DG overline DC a cdot frac 1 2 cdot left sqrt 5 2 cdot sqrt 5 right a cdot frac sqrt 3 2 amp a cdot frac 1 2 cdot left sqrt 5 2 cdot sqrt 5 sqrt 3 right approx 2 405 cdot a end aligned nbsp Der Goldene Schnitt im Funfzehneck BearbeitenSowohl in der Konstruktion bei gegebenem Umkreis als auch in der bei gegebener Seitenlange wird der Goldene Schnitt zur Bestimmung von Konstruktionselementen verwendet nbsp Teil der Konstruktionsskizze bei gegebenem Umkreis nbsp Teil der Konstruktionsskizze bei gegebener Seitenlange In der Konstruktion bei gegebenem Umkreis teilt der Punkt M displaystyle M nbsp die Strecke A G displaystyle overline AG nbsp im Verhaltnis des Goldenen Schnittes A M M G A G A M 1 5 2 F 1 618 displaystyle frac overline AM overline MG frac overline AG overline AM frac 1 sqrt 5 2 Phi approx 1 618 text nbsp In der Konstruktion bei gegebener Seitenlange wird die Seite derart verlangert dass sie die langere Strecke des Verhaltnisses ist E 1 E 2 E 1 F E 2 F E 1 E 2 1 5 2 F 1 618 displaystyle frac overline E 1 E 2 overline E 1 F frac overline E 2 F overline E 1 E 2 frac 1 sqrt 5 2 Phi approx 1 618 text nbsp Siehe auch BearbeitenSehnenvieleck Regelmassiges PolygonLiteratur BearbeitenH Maser Die Teilung des Kreises Artikel 365 in Carl Friedrich Gauss Untersuchungen uber hohere Arithmetik Verlag von Julius Springer Berlin 1889 Gottinger Digitalisierungszentrum Universitat Gottingen abgerufen am 15 Marz 2018 Weblinks BearbeitenEric W Weisstein Pentadecagon In MathWorld englisch abgerufen am 4 Oktober 2015 Einzelnachweise Bearbeiten Jurgen Koller Regelmassiges Vieleck In Mathematische Basteleien 2005 abgerufen am 4 Oktober 2015 Johann Karl Friedrich Hauff EUKLIDS ELEMENTE DAS ERSTE BIS ZUM SECHSTEN SAMMT DEM EILFTEN UND ZWOELFTEN BUCHE neue academische Buchhandlung Marburg 1807 S 129 f eingeschrankte Vorschau in der Google Buchsuche Johannes Kepler WELT HARMONIK XLIV Satz Seite des Funfzehnecks Seite 44 aus dem Internet Archive regeneriert In Google Books R OLDENBURG VERLAG 2006 ubersetzt und eingeleitet von MAX CASPAR 1939 S 401 abgerufen am 19 Juli 2019 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Funfzehneck amp oldid 230159521
